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相关试卷

1、找规律：1，4，9，16，， 36．

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2、2，4，6，8，10， $\dots$ ，第 $2025$ 项为.

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3、设全集 $U = \{1, 2, 3, 4\}$ ，集合 $A = \{x |x^{2} - 5 x + m = 0\}$ ，若 $∁_{U} A = \{2, 3\}$ ，则 $m =$ ．

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4、集合 $A = \{- 1, 0, 1, - 2\}$ ，集合 $B = \{x| - 3 \leq x < 1, x \in Z\}$ ，则 $A \cup B =$ ．

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5、数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n} = 3 n^{2} + n$ ，则 $a_{7} =$ （）

A、140 B、120 C、40 D、50

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6、某校招聘了6名教师，现平均分配给学校的两个校区，其中2名英语教师不能分配在同一个校区，另外3名数学教师也不能全分配在同一个校区，则不同的分配方案共有（）

A、12种 B、14种 C、24种 D、48种

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7、在 $△ A B C$ 中，满足 $a^{2} - b^{2} - c^{2} = b c$ ，则 $∠ A =$ （）

A、60° B、60°或120° C、30°或150° D、120°

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8、计算： $cos \frac{5 π}{12} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

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9、化简： $\cos (α + β) \sin α - \sin (α + β) \cos α =$ （）

A、 $\sin β$ B、 $- \sin β$ C、 $\cos β$ D、 $- \cos β$

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10、2022年7月19日，亚洲奥林匹克理事会宣布杭州亚运会定于2023年9月23日至10月8日举行，用 $a$ 标记亚运会开始的日期，即 $a = 9.23$ ，用 $b$ 表示亚运会结束的日期，即 $b = 10.08$ .那么以实数 $a 、 b$ 为端点的区间可以表示为（）

A、 $\{9.23, 10.08\}$ B、 $[10.08, 9.23]$ C、 $[9.23, 10.08]$ D、 $(- \infty, 9.23] \cup [10.08, + \infty)$

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11、已知 $a > b$ ，下列不等式中一定成立是（）

A、 $a^{2} > b^{2}$ B、 $a c^{2} > b c^{2}$ C、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ D、 $a + 3 > b - 4$

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12、若 $a > b > 0$ ，则下列不等式正确的是（）

A、 $a + 3 < b + 3$ B、 $2 a < 2 b$ C、 $- 2 a > - 2 b$ D、 $a - 1 > b - 1$

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13、已知 $a = 1.732$ ，集合 $A = \{x |x \leq 3\}$ ，则 $a$ 与 $A$ 的关系正确的是（）

A、 $a \notin A$ B、 $a \in A$ C、 $\{a\} = A$ D、 $a = A$

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14、已知集合 $A = \{x |x < 2$ 且 $x \in N\}$ ，集合 $B = {- 1, 0, 1, 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 1}$ B、 ${0, 1}$ C、 ${- 1, 0, 1}$ D、 ${- 1, 0, 1, 2}$

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15、如图1，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = \sqrt{2} A D = 2 \sqrt{3}$ ，点 $E$ 为 $A B$ 的中点，将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 折起到 $△ P D E$ 的位置（如图2），使得 $P C = \sqrt{10}$ .

(1)、求证： $D E ⊥ P C$ ；

(2)、求直线 $P B$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值；

(3)、设 $\vec{P F} = λ \vec{P C} (0 < λ < 1)$ ，若二面角 $P - E F - D$ 的正弦值为 $\frac{5}{\sqrt{26}}$ ，求实数 $λ$ 的值.

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16、下列命题中是真命题的有（）

A、 $\forall x \in R, x^{2} > x - 1$ B、 $\exists x > 0, x^{2} = x$ C、“ $x < 0$ ”是“ $x^{2} - 5 x + 6 > 0$ ”的充分不必要条件 D、“四边形为菱形”是“四边形为正方形”的充分不必要条件

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17、随着科技的进步，近年来，我国新能源汽车产业迅速发展，各大品牌新能源汽车除了靠不断提高汽车的性能和质量来提升品牌竞争力，在广告投放方面的花费也是逐年攀升.某校数学兴趣小组对某品牌新能源汽车近 5 年的广告费投入（单位：亿元）进行了统计，具体数据见下表：
年份代号 $x$
1
2
3
4
5
广告费投入 $y$
4.8
5.6
6. 2
7. 6
8. 8
并随机调查了 400 名市民对该品牌新能源汽车的认可情况，得到的部分数据见下表：

认可
不认可
50 岁以下
140
60
50 岁及以上
120
80

(1)、求广告费投入 $y$ 与年份代号 $x$ 之间的线性经验回归方程；

(2)、依据小概率值 $α = 0.05$ 的 $χ^{2}$ 独立性检验，能否认为市民的年龄与对该品牌新能源汽车的认可度有关联?
附： ① 经验回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中， $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} ， \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ；
② $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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18、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且 $\frac{\sqrt{3} a}{b} = 2 \sin (C + \frac{π}{3})$ ．

(1)、求B；

(2)、若 $b = 2$ ，过点B作 $B D ⊥ A C$ ， D为垂足，求BD的最大值．

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19、根据相关研究报告显示，预计 $2025$ 年电商交易额突破 $18$ 亿元，网购用户规模接近 $9$ 亿．下表为某网店统计的近 $5$ 个月的利润 $y$ （单位：万元），其中 $x$ 为月份代号．
月份
2024年12月
2025年1月
2025年2月
2025年3月
2025年4月
月份代号 $x$
1
2
3
4
5
利润 $y$ ／万元
8
6.3
5.1
3.2
2.4

(1)、依据表中的统计数据，计算样本相关系数 $r$ （ $r$ 精确到 $0.01$ ），判断是否可以用线性回归模型拟合 $y$ 与 $x$ 的关系；若可用，求出 $y$ 关于 $x$ 的经验回归方程，并估计 $2025$ 年 $5$ 月该网店利润；若不可用，请说明理由；

(2)、该专营店为了吸引顾客，推出两种抽奖方案．方案一：一次性购物金额超过 $800$ 元可抽奖三次，每次中奖的概率均为 $\frac{1}{4}$ ，且每次抽奖互不影响，中奖一次打 $9$ 折，中奖两次打 $8$ 折，中奖三次打 $6$ 折，其余情况不打折．方案二：从装有 $8$ 个形状大小、完全相同的小球（其中红球 $3$ 个，白球 $1$ 个，黑球 $4$ 个）的抽奖盒中，一次性摸出 $2$ 个球，其中奖规则为：若摸出 $1$ 个红球和 $1$ 一个白球打六折，摸出 $2$ 个黑球打八折，其余情况不打折．某顾客计划在此网店购买 $1000$ 元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠．
参考： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{b} = \bar{y} - \hat{a} \bar{x}$ ， $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$

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20、Labubu已然成为2025年年轻人的新宠，它为年轻人提供了情绪价值，成为了很多年轻人的精神寄托.现有国内一家工厂决定在国内专项生产销售此款玩具，已知生产这种玩具的年固定成本为15万元，每生产x千件需另投入 $c (x)$ 万元.其中 $c (x)$ 与x之间的关系为： $c (x) = \{\begin{array}{l} a x^{2} + b x, 0 < x < 20, x \in N^{*} \\ 22 x + \frac{c}{x - 2} - 950, x \geq 20, x \in N^{*} \end{array}$ ，且函数 $c (x)$ 的图象过 $A (3, 9)$ ， $B (6, 24)$ ， $C (82, 1054)$ 三点.通过市场分析，公司决定每千件Labubu售价定为12万元，且该厂年内生产的此款玩具能全部销售完.

(1)、求a，b，c的值，并写出年利润 $L (x)$ （万元）关于年产量的x（千件）的函数解析式；

(2)、当年产量为多少千件时，该厂所获年利润最大？并求出最大年利润.

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月份	2024年12月	2025年1月	2025年2月	2025年3月	2025年4月
月份代号 $x$	1	2	3	4	5
利润 $y$ ／万元	8	6.3	5.1	3.2	2.4

年份代号 $x$	1	2	3	4	5
广告费投入 $y$	4.8	5.6	6. 2	7. 6	8. 8

	认可	不认可
50 岁以下	140	60
50 岁及以上	120	80

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828