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相关试卷

1、已知四面体 $A B C D$ 的所有棱长均为2，M，N分别为棱 $A D$ ， $B C$ 的中点，F为棱 $A B$ 上异于A，B的动点．下列结论正确的是（）

A、若点G为线段 $M N$ 上的动点，则无论点F与G如何运动，直线 $F G$ 与直线 $C D$ 都是异面直线 B、线段 $M N$ 的长度为 $\sqrt{2}$ C、异面直线 $M N$ 和 $C D$ 所成的角为 $\frac{π}{4}$ D、 $F M + F N$ 的最小值为2

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2、已知复数 $z_{1} = 1 - 3 i$ ， $z_{2} = 3 + i$ ，则（）

A、 $|z_{1} + z_{2}| = 6$ B、 $\bar{z_{1}} - z_{2} = - 2 + 2 i$ C、 $z_{1} z_{2} = 6 - 8 i$ D、 $z_{1} z_{2}$ 在复平面内对应的点位于第四象限

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3、如图，在 $△ A B C$ 中， $\vec{A D} = 2 \vec{D B}$ ， $P$ 为 $C D$ 上一点，且 $\vec{A P} = \frac{1}{3} \vec{A C} + λ \vec{A B}$ ，若 $|A C| = 1$ ， $|A B| = 3$ ， $∠ B A C = \frac{π}{3}$ ，则 $\vec{A P} \cdot \vec{B C}$ 的值为（）

A、 $- \frac{23}{6}$ B、 $- \frac{7}{2}$ C、 $\frac{9}{2}$ D、4

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4、已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $\vec{a} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = 3$ ，且 $|\vec{a}| = 2$ ， $|\vec{b}| = 1$ ，则向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量为（）

A、 $- \vec{a}$ B、 $- \vec{b}$ C、 $- \frac{1}{4} \vec{a}$ D、 $- \frac{1}{4} \vec{b}$

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5、△ABC的三个内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，若 $A = 45 °, B = 75 °$ ， $c = 3 \sqrt{2}$ ，则 $a$ ＝（）

A、2 B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、3

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6、如图，梯形 $A B C D$ 是圆台 $O_{1} O_{2}$ 的轴截面，E，F分别在底面圆 $O_{1}$ ， $O_{2}$ 的圆周上，EF为圆台的母线， $∠ D O_{1} E = 60 °$ ，已知 $C D = 4$ ， $A B = 8$ ， G，H分别为 $O_{2} B$ ， $B F$ 的中点.

(1)、证明：平面 $C G H / /$ 平面 $O_{1} O_{2} F E$ .

(2)、若三棱锥 $C - G B H$ 的体积为 $\frac{5 \sqrt{3}}{3}$ ，求圆台 $O_{1} O_{2}$ 的侧面积.

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7、如图，在平面四边形 $A B C D$ 中， $∠ A C B$ 与 $∠ D$ 互补， $\cos ∠ A C B = \frac{1}{3}, A C = B C = 2 \sqrt{3}$ ， $A B = 4 A D$
（1）求 $A B$ 的长；
（2）求 $\sin ∠ A C D$ .

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8、如图所示， $O^{'} A^{'} B^{'} C^{'}$ '为四边形 $O A B C$ 的斜二测直观图，其中 $O^{'} A^{'} = 3$ ， $O^{'} C^{'} = 1$ ， $B^{'} C^{'} = 1$ .

(1)、求平面四边形 $O A B C$ 的面积；

(2)、若该四边形 $O A B C$ 以 $O A$ 为旋转轴旋转一周，求旋转形成的几何体的体积.

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9、如图， $△ A B C$ 中， $\vec{C A} = \vec{a}, \vec{C B} = \vec{b}$ ， D是AC的中点， $\vec{C B} = 2 \vec{B E}$ ， AB与DE交于点M．

(1)、用 $\vec{a}, \vec{b}$ 表示 $\vec{D E}$ ﹔

(2)、设 $\vec{B M} = λ \vec{B A}$ ，求 $λ$ 的值；

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10、在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 是边 $A B$ 上的动点（点 $D$ 异于 $A$ ， $B$ ），且 $\vec{C E} = \frac{1}{3} \vec{C D}$ ，若 $\vec{C E} = λ \vec{C A} + μ \vec{C B}$ ，则 $\frac{3}{λ} + \frac{1}{μ}$ 的最小值为.

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11、如图，有一圆锥形粮堆，其轴截面是边长为4m的正 $△ A B C$ ，粮堆母线 $A C$ 的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是m．

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12、如果一个圆锥的底面直径和高都等于球 $O$ 的直径，那么这个圆锥的侧面积和球 $O$ 的表面积之比为.

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13、水平放置的 $△ A B C$ 的直观图如图所示，其中 $B^{'} O^{'} = C^{'} O^{'} = 1$ ， $A^{'} O^{'} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，那么原 $△ A B C$ 是一个（）

A、等边三角形 B、等腰非等边三角形 C、三边互不相等的三角形 D、面积为 $\sqrt{3}$ 的三角形

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14、如图，在正方体ABCD— $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2$ ，点E为AB中点，点F为BC中点，则过点A与 $B_{1} E$ ， $C_{1} F$ 都平行的平面α被正方体ABCD— $A_{1} B_{1} C_{1} D$ 截得的截面面积为（）

A、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ B、 $\frac{5 \sqrt{3}}{4}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{3}{2}$

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15、已知直线 $l_{1} : x - 2 y + 3 = 0, l_{2} : 2 x + 3 y - 8 = 0$ ．

(1)、求经过点 $A (1, 4)$ 且与直线 $l_{2}$ 垂直的直线方程；

(2)、求经过直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．

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16、已知点P在直线 $x - y - 1 = 0$ 上，点 $A (1, - 2), B (2, 6)$ ，则 $| P A | - | P B |$ 的最小值为

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17、如图中的直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ， $l_{3}$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ， $k_{3}$ ，则（）

A、 $k_{1} < k_{2} < k_{3}$ B、 $k_{3} < k_{1} < k_{2}$ C、 $k_{3} < k_{2} < k_{1}$ D、 $k_{1} < k_{3} < k_{2}$

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18、设集合 $A = {x |x \geq 1}, B = \{x |x^{2} - x - 2 < 0\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${x |x > - 1}$ B、 ${x |x \geq 1}$ C、 ${x |- 1 < x < 1}$ D、 ${x |1 \leq x < 2}$

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19、直线 $x = - \frac{\sqrt{3}}{3} y + 1$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{5 π}{6}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{6}$

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20、已知函数 $f (x) = m x ln x - x^{2} + n (m, n \in R)$ ， $g (x) = \frac{f (x)}{x}$ .

(1)、当 $m = 2$ ， $n = 0$ 时，求 $g (x)$ 在区间 $[1, e]$ 上的最值；

(2)、当 $n = 1$ 时，若 $f (x)$ 有三个零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3} （ x_{1} < x_{2} < x_{3} ）$ ，
①求 $m$ 的取值范围；
②判断 $x_{1} + x_{3} - x_{2}$ 与 $\frac{m^{4} - m^{2} + 1}{m^{2}}$ 的大小关系，并给出证明.

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