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相关试卷

1、若 $sin (α - \frac{π}{6}) = \frac{1}{3}$ ，则 $cos (α - \frac{2 π}{3}) =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{7}{9}$ D、 $- \frac{7}{9}$

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2、已知角 $α$ 的终边在第二象限，且终边上有一点 $P (- 2, \sqrt{2} m)$ ， $sin α = \frac{\sqrt{2}}{4} m$ ，则 $m =$ （）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $- \sqrt{6}$ C、2 D、 $\pm \sqrt{2}$

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3、若 $a = {(\frac{1}{3})}^{\frac{2}{3}}$ ， $b = \log_{\frac{2}{3}} \frac{1}{3}$ ， $c = {(\frac{2}{3})}^{\frac{1}{3}}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $c > a > b$ B、 $b > c > a$ C、 $b > a > c$ D、 $a > c > b$

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4、设偶函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，在区间 $[0, 4]$ 上单调递减，则（）

A、 $f (π) < f (- 3) < f (- 2)$ B、 $f (π) < f (- 2) < f (- 3)$ C、 $f (- 2) < f (- 3) < f (π)$ D、 $f (- 3) < f (- 2) < f (π)$

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5、下列函数是增函数的是（）

A、 $f (x) = - x$ B、 $f (x) = - \frac{1}{3 x}$ C、 $f (x) = x^{2} + 1$ D、 $f (x) = \sqrt[3]{x - 1}$

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6、已知函数 $f (2 x + 1) = x^{2} + 4 x$ ，则 $f (3) =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、5

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7、不等式 $- 2 x^{2} + 3 x + 5 > 0$ 的解集为（）

A、 $\{x |- 1 < x < \frac{5}{2}\}$ B、 $\{x |- \frac{5}{2} < x < 1\}$ C、 $\{x |x < - \frac{5}{2} 或 x > 1\}$ D、 $\{x |x < - 1 或 x > \frac{5}{2}\}$

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8、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{3} + a_{5} = 22$ ， $1 + 2 a_{2} = a_{4}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n + 1}^{2} = b_{n} b_{n + 2}$ ， $b_{2} = 2 b_{1}$ ， $b_{4} = 8$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；

(3)、求数列 $\{a_{n} b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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9、若定义在 $R$ 上的函数 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 分别存在导函数 $f^{'} (x)$ 和 $g^{'} (x)$ ，且对任意实数 $x$ ，都存在常数 $k$ ，使 $f^{'} (x) \geq k g^{'} (x)$ 成立，则称函数 $y = f (x)$ 是函数 $y = g (x)$ 的“ $k -$ 控制函数”，称 $k$ 为控制系数．

(1)、求证：函数 $f (x) = 3 x + 1$ 是函数 $g (x) = cos x$ 的“ $3 -$ 控制函数”；

(2)、若函数 $f (x) = - x^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} - 20 x$ 是函数 $g (x) = e^{x}$ 的“ $k -$ 控制函数”，求控制系数 $k$ 的取值范围；

(3)、若函数 $p (x) = e^{x} + m e^{- x}$ ，函数 $y = q (x)$ 为偶函数，函数 $y = p (x)$ 是函数 $y = q (x)$ 的“ $1 -$ 控制函数”，求证：“ $m = 1$ ”的充要条件是“存在常数 $c$ ，使得 $p (x) - q (x) = c$ 恒成立”．

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10、11分制乒乓球比赛规则如下：在一局比赛中，每两球交换发球权，每赢一球得1分，先得11分且至少2分领先者胜，该局比赛结束；当某局比分打成10：10后，每一球交换发球权，领先2分者胜，该局比赛结束．现有甲、乙两人进行一场五局三胜且每局制的乒乓球比赛，比赛开始前通过抛掷一枚质地均匀的硬币来确定谁先发球．假设甲发球时甲得分的概率为 $\frac{3}{4}$ ，乙发球时乙得分的概率为 $\frac{2}{3}$ ，各球的比赛结果相互独立，且各局的比赛结果也相互独立．已知第一局目前比分为10：10，且接下来轮到甲发球．

(1)、求再打两个球甲新增的得分X的分布列和均值；

(2)、求第一局比赛甲获胜的概率 $p_{0}$ ；

(3)、现用 $P_{0}$ 估计每局比赛甲获胜的概率，求该场比赛甲获胜的概率．

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11、已知函数 $f (x) = (a - 1) ln x + x + \frac{a}{x} (a \in R) ．$

(1)、若 $a = - 2$ ，求函数 $f (x)$ 的单调区间和极值；

(2)、若存在 $x \in (1, + \infty)$ ，使得 $f (x) \leq \frac{a}{x}$ 成立，求a的取值范围．

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12、结合排列组合，解决下列问题 $． ($ 结果用数字作答 $)$

(1)、将4封不同的信放到3个不同的信箱中，有多少种放法？

(2)、将4封不同的信放到3个不同的信箱中，每个信箱至少有一封信，有多少种放法？

(3)、将4封标有序号A，B，C，D的信放到四个标有A，B，C，D的信箱中，恰有一组序号相同，则有多少种放法？

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13、已知 ${(x + \frac{2}{x})}^{n}$ 的展开式中共有11项．

(1)、求展开式中含 $x^{4}$ 的项的系数； $($ 结果用数字作答 $)$

(2)、求二项式系数最大的项．

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14、在如图所示的圆环形花园种花，将圆环平均分成A，B，C，D四个区域，现有牡丹、芍药、月季、玫瑰、蝴蝶兰五种花可供选择，要求每个区域只种一种花且相邻区域的花不同，则不同的种植方法有种．

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15、已知随机变量 $X \sim B (n, p)$ ，若 $E (X) = \frac{5}{2}$ ， $D (X) = \frac{5}{4}$ ，则 $p =$ .

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16、数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布 $B (n, p)$ ，那么当n比较大时，X近似服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，其密度函数为 $φ_{μ ， σ} (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π} σ} e^{- \frac{（ x - μ ）^{2}}{2 σ^{2}}}$ ， $x \in R ．$ 任意正态分布 $X ~ N (μ, σ^{2})$ ，可通过变换 $Z = \frac{X - μ}{σ}$ 转化为标准正态分布 $Z ~ N (0, 1) ．$ 当 $Z ~ N (0, 1)$ 时，对任意实数x，记 $Φ (x) = P (Z < x)$ ，则（）

A、当 $x > 0$ 时， $P (- x \leq Z < x) = 1 - 2 Φ (x)$ B、 $Φ (x) + Φ (- x) = 1$ C、随机变量 $X ~ N (μ, σ^{2})$ ，当 $μ$ ， $σ$ 都减小时，概率 $P (|X - μ| < σ)$ 增大 D、随机变量 $X ~ N (μ, σ^{2})$ ，当 $μ$ 增大， $σ$ 减小时，概率 $P (|X - μ| < σ)$ 保持不变

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17、已知 $(3 x + 1) {(x - 1)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{8} x^{8}$ ，其中 $a_{8} \neq 0$ ，则（）

A、 $n = 7$ B、 $a_{5} = 126$ C、 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{8} = 1$ D、 $a_{0} + a_{2} + a_{4} + a_{6} + a_{8} = 128$

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18、下列函数的导数运算正确的是（）

A、 ${({log}_{3} x)}^{'} = \frac{1}{x ln 3}$ B、 ${(ln 3)}^{'} = \frac{1}{3}$ C、 ${(x cos x)}^{'} = cos x + x sin x$ D、 ${(e^{- x})}^{'} = - e^{- x}$

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19、以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心，其内容如下：如果函数 $y = f (x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，在开区间 $(a, b)$ 内可导，则 $(a, b)$ 内至少存在一个点 $x_{0} \in (a, b)$ ，使得 $f (b) - f (a) = f^{'} (x_{0}) (b - a)$ ，其中 $x = x_{0}$ 称为函数 $y = f (x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上的“中值点”．请问函数 $f (x) = x^{3} - 2 x$ 在区间 $[- 1, 1]$ 上的“中值点”的个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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20、某校有5名学生打算前往观看电影《哪吒2》，《战狼》，《流浪地球2》，每场电影至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看电影《哪吒2》的方案种数有（）

A、30 B、45 C、60 D、75

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