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相关试卷

1、若“ $\forall α \in (0, \frac{π}{2})$ ， $\frac{1}{{sin}^{2} α} + \frac{4}{{cos}^{2} α} \geq m$ 恒成立”为真命题，则实数 $m$ 的取值范围是．

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2、若向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 3$ ， $|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{23}$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b}| =$ ．

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3、如图，棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E，F分别是 $A A_{1}, A_{1} D_{1}$ 的中点，点P为底面ABCD内（包括边界）的动点，则下列说法正确的是（）

A、过B，E，F三点的平面截正方体所得截面图形是梯形 B、存在点P，使得 $C_{1} P ⊥$ 平面 $B E F$ C、若点P到直线BB₁与到直线AD的距离相等，则点P的轨迹为抛物线的一部分 D、若直线D₁P与平面BEF无公共点，则点P的轨迹长度为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

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4、已知抛物线 $E : y^{2} = 8 x$ 的焦点为 $F$ ，顶点为 $O$ ，过点 $F$ 作直线 $l_{1}$ ，交抛物线 $E$ 于 $A$ ， $B$ 两点，点 $A$ 在 $x$ 轴上方，分别过点 $A$ ， $B$ 作直线 $l_{2} : x = - 2$ 的垂线，垂足分别为 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ，则下列说法正确的是（）

A、直线 $l_{2}$ 是抛物线 $E$ 的准线 B、若直线 $l_{1}$ 的斜率为2，则 $|A B| = 10$ C、 $△ A B O$ 面积的最小值为4 D、 $|A A_{1}| + 4 |B B_{1}|$ 的最小值为18

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5、已知函数 $f (x) = 2 sin (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 在区间 $[0, \frac{π}{3}]$ 上的值域为 $[1, 2]$ ，则 $ω$ 的取值范围为（）

A、 $[1, 2]$ B、 $[1, \frac{3}{2}]$ C、 $[1, 3]$ D、 $[\frac{1}{2}, 2]$

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6、已知奇函数 $f (x)$ 的定义域为R ，且函数 $y = f (x)$ 图象关于 $x = 2$ 对称．当 $x \in [0, 2]$ 时， $f (x) = x$ ，则 $f (11) =$ （）

A、1 B、 $- 1$ C、2 D、 $- 2$

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7、已知直线 $l : m x + y - m + 1 = 0$ 与圆 $O : x^{2} + y^{2} = 4$ 相交于 $A, B$ 两点，则 $|A B|$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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8、设 $cos (α + \frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{2}}{4}$ ，则 $sin (α - \frac{π}{6}) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ B、 $- \frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{14}}{4}$ D、 $- \frac{\sqrt{14}}{4}$

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9、若复数 $z = 1 - i^{2025}$ ，则 $|\frac{\bar{z}}{z}| =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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10、函数 $y = f (x)$ 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x)$ 为奇函数，该结论可以推广为：函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $P (a, b)$ 成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数．已知函数 $g (x) = \frac{2}{2^{x} + m} (m > 0)$ ．（）

A、若 $m = 1$ ，则函数 $y = g (x) - 1$ 为奇函数 B、若 $m = 1$ ，则 $g (- 10) + g (- 9) + \cdot \cdot \cdot + g (9) + g (10) = 20$ C、函数 $g (x)$ 的图象必有对称中心 D、 $\forall x \in R$ ， $g [\log_{2} (2 m) + x] + g [\log_{2} (2 m) - x] < \frac{2}{m}$

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11、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} |x + 1|, x \leq 0 \\ |{l o g}_{4} x|, x > 0 \end{matrix}$ ，若方程 $f (x) = k$ 有4个不同的根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，则 $\frac{4}{x_{3} x_{4}^{2}} - x_{4} (x_{1} + x_{2})$ 的取值范围是（）

A、 $[4 \sqrt{2}, 6)$ B、 $[2, 4 \sqrt{2})$ C、 $(2, 4 \sqrt{2}]$ D、 $[4 \sqrt{2}, 9]$

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12、已知函数 $f (x) = 2^{x} + 2^{- x} - 2$ ．

(1)、判断并证明函数 $f (x)$ 的奇偶性；

(2)、设函数 $g (x) = f (2 x) - k f (x)$ ，若对 $\forall x > 0$ 都有 $g (x) > 0$ ，求 $k$ 的最大值；

(3)、设函数 $h (x) = \{\begin{array}{l} \frac{4}{f (x - a) + 2}, x < 2, \\ \frac{4 a x}{x^{2} + 4}, x \geq 2. \end{array}$ 若对 $\forall x_{1} \in [2, + \infty)$ ，均 $\exists x_{2} \in (- \infty, 2)$ ，使得 $h (x_{1}) = h (x_{2})$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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13、已知函数 $f (x) = x^{2} + m x + n$ ．

(1)、当 $m = n = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的值域；

(2)、当 $n = 1$ 时，解关于 $x$ 的不等式 $f (x) > 0$ ；

(3)、设函数 $g (x) = (1 - x^{2}) f (x)$ ，且函数 $g (x)$ 的图象关于直线 $x = 2$ 对称，试求函数 $g (x)$ 的最大值．

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14、已知定义在 $[- 1, 1]$ 上的函数 $f (x) = \frac{a x + b}{x^{2} + 1}$ 为奇函数，且 $f (1) = 1$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、用定义证明：函数 $f (x)$ 在 $[- 1, 1]$ 上的单调性；

(3)、若 $f (x) + f (x - 1) > 0$ ，求 $x$ 的取值范围．

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15、（1）计算： $100^{\frac{1}{2}} - \sqrt{{(1 - \sqrt{2})}^{2}} - 8 \times {(\sqrt{5} - \sqrt{3})}^{0} + 8^{\frac{1}{6}}$ ；
（2）已知集合 $A = \{x |- 3 \leq x \leq 5\}$ ， $B = \{x |2 m - 1 < x < m + 1\}$ ，若 $A \cup B = A$ ，求实数 $m$ 的取值范围．

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16、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} - 2 x, x < 0, \\ 2 x - 1, x \geq 0. \end{array}$

(1)、求 $f (2)$ ， $f (f (- 1))$ 的值；

(2)、若 $f (a) = 3$ ，求实数 $a$ 的值．

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17、已知定义在 $[1, + \infty)$ 上的单调函数 $f (x)$ 满足 $f (f (x) - \sqrt{x} + \frac{1}{x}) = 1$ ，若方程 $f (x) - a + |a x - 2 a| = 0$ 有2个不相等的实数根，则实数 $a$ 的取值范围是．

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18、已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - m - 1) x^{m^{2} + m - 3}$ 为定义在 $R$ 上的增函数，则 $f (2) =$ ．

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19、若集合 $A = \{1, 2, 3\}$ ，则集合 $A$ 的真子集有个．

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20、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $2 f (x + y) = f (x) f (y) + f (x) + f (y) - 1$ ，当 $x > 0$ 时， $f (x)$ 的值域为 $(1, + \infty)$ ，且 $f (1) = 3$ ．则下列说法正确的是（）

A、 $f (0) = 1$ B、 $f (x)$ 的值域为 $[- 1, + \infty)$ C、 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增 D、 $f (f (x)) \geq \frac{7 - f (x)}{1 + f (x)}$ 的解集是 $[0, + \infty)$

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