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相关试卷

1、如图，已知四棱锥 $P - A B C E$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C E$ ，平面 $P A B ⊥$ 平面 $P B C$ ，且 $A B = 1$ ， $B C = 2, B E = 2 \sqrt{2}$ ，点 $A$ 在平面 $P C E$ 内的射影恰为 $△ P C E$ 的重心 $G$ .

(1)、证明： $B C ⊥ A B$ ；

(2)、求线段 $P A$ 长；

(3)、求直线 $C G$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值.

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2、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c， $\frac{\cos A}{\cos C} = - \frac{\sqrt{3} a}{2 b + \sqrt{3} c}$ ，点D是边BC上的一点，且 $\frac{\sin ∠ B A D}{b} + \frac{\sin ∠ C A D}{c} = \frac{3}{2 a}$ ．

(1)、求证： $A D = \frac{a}{3}$ ；

(2)、若 $C D = 2 B D$ ，求 $\cos ∠ A D C$ ．

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3、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - (a + 2) x + 2 a \ln x (a \in R)$ .

(1)、当 $a = - 3$ 时，求函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性.

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4、2022年2月22日，中央一号文件发布，提出大力推进数字乡村建设，推进智慧农业发展．某乡村合作社借助互联网直播平台，对本乡村的农产品进行销售，在众多的网红直播中，随机抽取了10名网红直播的观看人次和农产品销售量的数据，如下表所示：
观看人次x（万次）
76
82
72
87
93
78
89
66
81
76
销售量y（百件）
80
87
75
86
100
79
93
68
85
77
参考数据： $\sum_{i = 1}^{10} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} = 600, \sum_{i = 1}^{10} {(y_{i} - \bar{y})}^{2} = 768, \bar{x} = 80$ ．

(1)、已知观看人次 $x$ 与销售量 $y$ 线性相关，且计算得相关系数 $r = \frac{11 \sqrt{2}}{16}$ ，求回归直线方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ；

(2)、规定：观看人次大于等于80（万次）为金牌主播，在金牌主播中销售量大于等于90（百件）为优秀，小于90（百件）为不优秀，对优秀赋分2，对不优秀赋分1．从金牌主播中随机抽取3名，若用 $X$ 表示这3名主播赋分的和，求随机变量 $X$ 的分布列和数学期望．
（附： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ，相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ）

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5、小蒋同学喜欢吃饺子，某日他前往食堂购买16个饺子，其中有 $X$ 个为香菇肉馅，其余为玉米肉馅，且 $P (X = i) = \frac{1}{17}, i = 0, 1, \dots, 16$ .在小蒋吃到的前13个饺子均为玉米肉馅的条件下，这16个饺子全部为玉米肉馅的概率为.

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6、已知拋物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，点 $P$ 在 $C$ 上且位于第一象限，过点 $P$ 作直线垂直于 $C$ 的准线，垂足为 $A$ ，若直线 $A F$ 的倾斜角为 $\frac{5π}{6}$ ，则 $|P F| =$ .

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7、设数列 $\{a_{n}\}$ 是无穷数列，若存在正整数k，使得对任意 $n \in N_{+}$ ，均有 $a_{n + k} > a_{n}$ ，则称 $\{a_{n}\}$ 是间隔递增数列，k是 $\{a_{n}\}$ 的间隔数．则下列说法正确的是（）

A、公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列 B、已知 $a_{n} = n + \frac{4}{n}$ ，则 $\{a_{n}\}$ 是间隔递增数列且最小间隔数是4 C、已知 $a_{n} = 2 n + {(- 1)}^{n}$ ，则 $\{a_{n}\}$ 是间隔递增数列且最小间隔数是3 D、已知 $a_{n} = n^{2} - t n + 2021$ ，若 $\{a_{n}\}$ 是间隔递增数列且最小间隔数是3，则 $4 \leq t < 5$

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8、已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - a x^{2} + x (a \in R)$ ，则下列说法正确的有（）

A、若 $f (x)$ 是 $R$ 上的增函数，则 $a \in [- 1, 1]$ B、当 $a > 1$ 时，函数 $f (x)$ 有两个极值 C、当 $a > 1$ 时，函数 $f (x)$ 有三个零点 D、若关于 $x$ 的方程 $f (x) = t$ 恰有两个非零的实数根 $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，则 $x_{1} + 2 x_{2} = 3 a$

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9、已知如图是函数 $f (x) = 2 \cos (ω x + φ), (ω > 0, - \frac{π}{2} < φ < 0)$ 的部分图象，则（）

A、 $f (x)$ 的图象关于 $(\frac{3 π}{2}, 0)$ 中心对称 B、 $f (x)$ 在 $(- 1, 2)$ 单调递增 C、若 $f (x)$ 在 $[0, θ]$ 上的值域为 $[1, 2]$ ，则 $θ$ 的最大值为 $\frac{4π}{3}$ D、 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{2 π}{3}$ 个单位长度后为偶函数的图象

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10、设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{3} + a_{5} = 20$ ，则 $S_{7} =$ （）

A、70 B、80 C、120 D、140

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11、已知复数 $z = \frac{2 - i}{1 + 3 i}$ （其中 $i$ 为虚数单位），则 $|z| =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{5}$

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12、若复数 $z = 3 - 4 i$ ，则 $\frac{\bar{z}}{|z|} =$ （）

A、 $\frac{3}{5} + \frac{4}{5} i$ B、 $\frac{3}{5} - \frac{4}{5} i$ C、 $- \frac{3}{5} + \frac{4}{5} i$ D、 $- \frac{3}{5} - \frac{4}{5} i$

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13、2024年奥运会在巴黎举行，中国代表团获得了40枚金牌、27枚银牌、24枚铜牌，共91枚奖牌.为了增加学生对奥运知识的了解，弘扬奥运精神，某校组织高二年级学生进行了奥运知识能力测试.根据测试成绩，将所得数据按照 $[40, 50)$ ， $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[70, 80)$ ， $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ 分成6组，其频率分布直方图如图所示.

(1)、求该样本的第80百分位数；

(2)、试估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分（同一组中的数据以该组数据所在区间的中点值为代表）；

(3)、该校准备对本次奥运知识能力测试成绩在 $[60, 80)$ 内的学生，采用按比例分配的分层随机抽样方法抽出6名同学，再从抽取的这6名同学中随机抽取2名同学了解情况，求这2名同学中，有一人成绩在 $[60, 70)$ 内，另一人成绩在 $[70, 80)$ 内的概率.

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14、△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $\sqrt{3} c = b (sin A + \sqrt{3} cos A)$ ， $cos (\frac{π}{3} - A) sin (\frac{π}{6} + A) = \frac{3}{4}$ ，则△ABC的形状为（）

A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、不确定

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15、已知 $f (x) = x^{2} - 2 a \ln x$ ， $a \in R$ ．

(1)、讨论 $y = f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $y = f (x)$ 有两个零点 $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ．
（ⅰ）求实数 $a$ 的取值范围；
（ⅱ） $x_{0}$ 是 $y = f (x)$ 的极值点，求证： $x_{1} + 3 x_{2} > 4 x_{0}$ ．

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16、设 ${(x + 3)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n}$ .

(1)、求 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$ ；

(2)、若 $a_{5}$ 是 $a_{0}$ ， $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $\dots$ ， $a_{n}$ 中唯一的最大值，求 $n$ 的所有可能取值；

(3)、若 ${(x + 3)}^{n} = b_{0} + b_{1} (x + 2) + b_{2} {(x + 2)}^{2} + \dots + b_{n} {(x + 2)}^{n}$ ，求 $\sum_{r = 1}^{n} \frac{b_{r - 1}}{r}$ .

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17、根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量 $y$ （单位：百千克）与某种液体肥料每亩使用量 $x$ （单位：千克）之间的对应数据的散点图如图所示．

(1)、依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合 $y$ 与 $x$ 的关系，请计算相关系数 $r$ ，并说明线性相关性的强弱（相关系数 $r$ 精确到小数点后2位，若 $| r | > 0.75$ ，则线性相关程度很高）；

(2)、求 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量 $y$ 约为多少百千克．
附：数据和公式： $\sum_{i = 1}^{5} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = 6; \sum_{i = 1}^{5} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} = 20; \sum_{i = 1}^{5} {(y_{i} - \bar{y})}^{2} = 2; \sqrt{10} \approx 3.16$ ；回归方程： $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，其中 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．相关系数： $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \cdot \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ．

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18、若 ${(3 x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n}$ 展开式前三项的二项式系数之和为22．

(1)、求展开式中二项式系数最大的项及所有二项式系数和；

(2)、求展开式中的常数项．

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19、在 $(\frac{x}{2} - y) {(x + y)}^{6}$ 的展开式中，x²y⁵项的系数是.

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20、学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为 $n$ 的样本，其频率直方图如图所示，其中支出在[20，30）内的同学有10人，则 $n$ 的值为．

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观看人次x（万次）	76	82	72	87	93	78	89	66	81	76
销售量y（百件）	80	87	75	86	100	79	93	68	85	77