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相关试卷

1、定义 $max \{a, b\} = \{\begin{array}{l} a, a \geq b, \\ b, a < b . \end{array}$ 已知函数 $f (x) = max \{2^{x}, x + \frac{1}{x}\}$ ，则下列说法正确的是（）

A、当 $x < 0$ 时， $f (x) = 2^{x}$ B、若方程 $f (x) - k = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $k \in (2, + \infty)$ C、若方程 $|f (x) - 1| - k = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $k = 1$ D、若 $0 < x_{1} < x_{2}$ ，则 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) < \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$

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2、下列命题是真命题的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $a + c > b + c$ B、若 $a < b < 0$ ，则 $a c < b c$ C、若 $a > b > 0$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ D、若 $a < b < 0$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$

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3、已知 $x \geq 0$ ， $y \geq 0$ ， $2 x y + x + y = 1$ ，则（）

A、 $x y$ 的最大值为 $1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $x y$ 的最大值为 $\frac{1}{8}$ C、 $3 x + y$ 的最小值为 $2 \sqrt{3} - 2$ D、 $3 x + y$ 的最小值为1

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4、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{2} + 2 m x + m, x < 2, \\ (6 - m) x + 3 m, x \geq 2. \end{array}$ 对任意的 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (0, + \infty)$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，满足 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ ，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 6)$ B、 $[2, 6)$ C、 $[2, 4]$ D、 $[4, 6)$

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5、关于 $x$ 的不等式“ $x < 1$ ”是“ $\frac{x + 1}{x - 1} < \frac{1}{2}$ ”成立的（）

A、充分不必要条件 B、充分必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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6、嘉兴粽子以糯而不糊，肥而不腻，香糯可口，咸甜适中而著称，尤以鲜肉粽最为出名，被誉为“粽子之王”．小嘉销售一批嘉兴肉粽，每个肉粽的最低售价为10元．若按最低售价出售，每天能卖出40个；若每个肉粽的售价每提高1元，日销售量将减少2个．那么小嘉一天能获得的最大收入是（）

A、440元 B、450元 C、460元 D、470元

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7、下列各组函数表示相同函数的是（）

A、 $y = x$ ， $y = |x|$ B、 $y = 2^{x}$ ， $y = x^{2}$ C、 $y = \sqrt{x^{2}}$ ， $y = {(\sqrt{x})}^{2}$ D、 $y = \frac{x^{3} + x}{x^{2} + 1}$ ， $y = x$

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8、下列函数中，既是偶函数，又在 $(0, + \infty)$ 上单调递减的是（）

A、 $y = - x^{2}$ B、 $y = x$ C、 $y = |x|$ D、 $y = \frac{1}{x}$

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9、命题“ $\forall x < 0$ ， $2 x^{2} - 1 < 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x < 0$ ， $2 x^{2} - 1 > 0$ B、 $\exists x < 0$ ， $2 x^{2} - 1 \geq 0$ C、 $\forall x < 0$ ， $2 x^{2} - 1 > 0$ D、 $\forall x < 0$ ， $2 x^{2} - 1 \geq 0$

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10、已知集合 $A = \{1, 2, 3\}$ ，集合 $B = \{x |2 \leq x \leq 4\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{2\}$ B、 $\{2, 3\}$ C、 $\{1, 2, 3\}$ D、 $\{2, 3, 4\}$

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11、若 $\forall θ \in R$ ， $\exists x \in [\frac{π}{3} + θ, m + θ]$ ，使得 $\sin x \leq \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则 $m$ 的最小值为（）

A、 $\frac{2 π}{3}$ B、 $\frac{5 π}{6}$ C、 $\frac{7 π}{6}$ D、 $\frac{4 π}{3}$

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12、若角 $θ$ 的终边过点 $P (- 1, - 2)$ ，则 $\tan (θ + \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $- 3$ C、 $\frac{1}{3}$ D、3

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13、已知正数 $x, y$ 满足 $x + y + x y = 3$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $x y$ 的最大值为1 B、 $x + y$ 的最小值为4 C、 $\frac{3 - x - y}{x^{2} + y^{2}}$ 的最大值为 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{y + 1}$ 的最小值为1

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14、已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，过 $F$ 的直线交抛物线于 $A, B$ ， $Q$ 为抛物线上一个动点， $P (2, 1)$ ，则（）

A、 $F$ 的坐标为 $(1, 0)$ B、 $|A B|$ 的最小值为2 C、若 $Q (1, 2)$ ，则过 $Q$ 与抛物线相切的直线的方程为 $y = x + 1$ D、 $|P Q| + |Q F|$ 的最小值为3

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15、已知函数 $f (x), g (x)$ 是定在 $R$ 上的函数，且满足关系 $g (x) = f (x) \cdot f (x + \frac{π}{2})$ ．

(1)、若 $f (x) = |\sin x| + \cos x$ ，若 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ ，求 $y = g (x)$ 的值域；

(2)、若 $f (x) = |\sin x| + \cos x$ ，存在 $x_{1}, x_{2} \in R$ ，对任意 $x \in R$ ，有 $g (x_{1}) \leq g (x) \leq g (x_{2})$ 恒成立，求 $|x_{1} - x_{2}|$ 的最小值；

(3)、若 $f (x) = \cos x + \sin x$ ，要使得 $F (x) = a \sin x + g (x)$ 在 $(0, n π) (n \in N^{*})$ 内恰有2022个零点，请求出所有满足条件的 $a$ 与 $n$ ．

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16、已知函数 $f (x) = 2 sin x cos x + \frac{{tan}^{2} x - 1}{{tan}^{2} x + 1}$

(1)、化简 $f (x)$

(2)、在锐角 $△ A B C$ 中，内角 $A$ 满足 $f (A) = \frac{\sqrt{2}}{3}$ ，求 $cos 2 A$ 的值

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17、已知 $|\vec{a}| = 4$ ， $|\vec{b}| = 2$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $120 °$ ，求：

(1)、 $|2 \vec{a} - \vec{b}|$ ；

(2)、若向量 $\vec{a} - λ \vec{b}$ 与 $λ \vec{a} - 4 \vec{b}$ 的夹角为锐角，求实数 $λ$ 的取值范围．

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18、设i为虚数单位，复数 $z$ 的共轭复数为 $\bar{z}$ ，若 $\bar{z} = \frac{2 + i}{i^{2025}}$ ，则 $z$ 在复平面内对应的点位于第象限

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19、已知 $△ A B C$ 为锐角三角形，且 $A B = 5$ ， $A C = 6$ ， $△ A B C$ 的面积为9，则 $B C =$ ．

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20、已知向量 $\vec{a} = (2, 1)$ ， $\vec{b} = (1, - 1)$ ， $\vec{c} = (m - 2, n)$ ，其中 $m, n$ 均为正数，且 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{c}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为锐角 B、向量 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $\frac{\sqrt{2}}{2} \vec{b}$ C、 $m + 2 n = 2$ D、 $m n$ 的最大值为1

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