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相关试卷

1、已知 $l$ 为抛物线 $y = x^{2}$ 的切线，且 $l$ 交圆 $M : x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ 于 $A, B$ 两点，则 $|A B|$ 的最大值是（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{13}$ C、 $\sqrt{15}$ D、4

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2、已知 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域均为 $R$ ，且 $f^{'} (x)$ 不是常函数，则命题“ $f (x)$ 是周期函数”是“ $f^{'} (x)$ 是周期函数”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3、2025年，省属“三位一体”综合评价招生政策进行了调整，每位考生限报四所大学.某考生从6所大学中选择4所进行报名，其中甲、乙两所学校至多报一所，则该考生报名的可能情况种数是（）

A、12 B、9 C、6 D、15

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4、已知 $\sin (α - β) = n$ ， $\tan α = 3 \tan β$ ，则 $\sin (α + β) =$ （）

A、 $- 2 n$ B、 $- \frac{n}{2}$ C、 $\frac{n}{2}$ D、 $2 n$

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5、在 ${(\sqrt{x} - \frac{1}{2} x)}^{n}$ 的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，则展开式中 $x^{6}$ 的系数是（）

A、 $\frac{45}{4}$ B、 $- \frac{35}{8}$ C、 $\frac{35}{8}$ D、7

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6、已知向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 2 \sqrt{3}$ ， $\vec{b} \cdot (2 \vec{a} + \vec{b}) = 18$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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7、在数字通信中，信号是由0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为 $p$ 和 $1 - p$ （ $0 < p < 1$ ）；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为 $q$ 和 $1 - q$ （ $0 < p < 1$ ）．假设发送信号0和1是等可能的．

(1)、若 $p = q = \frac{1}{2}$ ，现发送信号3次，记其中接收为正确信号的次数为 $Z$ ，求 $Z$ 的数学期望 $E (Z)$ 和方差 $D (Z)$ ；

(2)、随机变量 $M$ 的分布列为 $P (M = m_{i}) = p_{i} (i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, n)$ ，记事件 $M = m_{i}$ （ $i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, n$ ）发生后给我们的信息量为 $X = - {log}_{4} p_{i}$ ，则称 $H (M) = - \sum_{i = 1}^{n} p_{i} {log}_{4} p_{i}$ （ $i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, n$ ）为 $M$ 的信息熵．设发送信号1次，接收为正确信号的次数为 $M_{1}$ ，求 $M_{1}$ 的信息熵 $H (M_{1})$ 的最大值；

(3)、若 $p = q = \frac{1}{2}$ ，发送信号 $n$ 次，设 $X$ 为出现0的总次数， $Y$ 为第 $n$ 次出现1的次数（0或1次），记 $p (x_{1}, y_{1})$ 表示发送信号 $n$ 次，0恰好出现 $x_{1}$ 次且第 $n$ 次出现1的次数为 $y_{1}$ 的概率，如 $n = 4$ 时， $p (0, 1) = \frac{1}{16}$ ．对于随机变量 $X, Y$ ，记其合并熵为 $H (X, Y) = - [(\sum_{x_{i} = 1}^{n} p (x_{i}, 0)) {log}_{4} p (x_{i}, 0) + \sum_{x_{i} = 1}^{n} p (x_{i}, 1) {log}_{4} p (x_{i}, 1)]$ ，且 $\sum_{x_{i} = 1}^{n} p (x_{i}, 0) + \sum_{x_{i} = 1}^{n} p (x_{i}, 1) = 1$ ．证明：当 $n > 3$ 时， $H (X, Y) < \frac{n}{2} - \frac{1}{2^{n - 1}}$ ．

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8、树人中学篮球训练营有一项三人间的传球训练．训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出．若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记n次传球后球在甲手中的概率为 $P_{n}$ ， $n = 1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot$

(1)、写出 $p_{1}$ ， $p_{2}$ ， $p_{3}$ 的值；

(2)、求 $p_{n + 1}$ 与 $P_{n}$ 的关系式 $(n \in N^{*})$ ，并求 $P_{n}$ ；

(3)、第1次仍由甲将球传出，若首次出现连续两次球没在甲手中，则传球结束，记此时的传球次数为X，求X的期望．

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9、设 $C_{20}^{1} \cdot 2 + C_{20}^{2} \cdot 2^{2} + \cdot \cdot \cdot + C_{20}^{20} \cdot 2^{20}$ 被9除所得的余数为m，则 ${(\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{m}$ 的展开式中的常数项为．

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10、给出下列说法，其中正确的有（）

A、随机变量 $X \sim B (n, p)$ ，若 $E (X) = 60, D (X) = 20$ ，则 $p = \frac{2}{3}$ B、随机变量 $X \sim N (1, σ^{2})$ ，若 $P (X > 1.5) = 0.34$ ，则 $P (X < 0.5) = 0.34$ C、一组数据 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6)$ 的经验回归方程为 $\hat{y} = 4 x + 5$ ，若 $\sum_{i = 1}^{6} x_{i} = 30$ ，则 $\bar{y} = 25$ D、对于独立性检验，随机变量 $χ^{2}$ 的观测值越大，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大

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11、已知定义在R上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x) + f (2 - x) = 0$ ， $f (1 + x) = f (3 - x)$ ，当 $x \in [1, 2]$ 时， $f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x$ ，则方程 $3 f (x) + x - 1 = 0$ 的根个数为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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12、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} x^{2} - 3 x, x \in [0, 2] \\ 2 f (x - 2), x \in (2, + \infty) \end{cases}$ ，则 $f (x)$ 在点 $(3, f (3))$ 处的切线方程为（）

A、 $8 x + y - 40 = 0$ B、 $2 x + y - 10 = 0$ C、 $2 x - y - 10 = 0$ D、 $2 x + y - 2 = 0$

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13、为弘扬中华优秀传统文化，济南市公开招募“泉润非遗”志愿者．现从所有报名的志愿者中，随机选取300人进行调查，其中青年人、中年人、老年人三个年龄段的比例饼状图如图1所示，各年龄段志愿者的性别百分比等高堆积条形图如图2所示，则下列关于样本数据的分析正确的是（）

A、老年男性志愿者人数为90 B、老年女性志愿者人数大于中年女性志愿者人数 C、青年女性志愿者人数为72 D、中年男性志愿者人数大于青年男性志愿者人数

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14、定义二阶行列式 $|\begin{array}{l} a & b \\ c & d \end{array}| = a d - b c$ ，则“ $|\begin{array}{l} x & 1 \\ 2 x & x \end{array}| > |x|$ ”是“ $x^{2} -$ $4 x > 0$ ”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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15、两个等差数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的前n项和分别为 $S_{n}, T_{n}$ ，且 $\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{5 n + 2}{n + 3}$ ，则 $\frac{a_{6}}{b_{5}}$ 的值等于．

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16、

(1)、若 $θ$ 为 $△ A B C$ 的一个内角，且关于x的方程 $5 x^{2} + x + m = 0$ 的两根为 $\sin θ$ ， $\cos θ$ ．求 $\tan θ$ 的值，并判断 $△ A B C$ 的形状．

(2)、是否存在角 $α$ 和 $β$ ，当 $α \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ ， $β \in (0, π)$ 时，方程组 $\{\begin{cases} \sin (2025 π - α) = \sqrt{2} \cos (\frac{2025 π}{2} - β) \\ \sqrt{3} \cos (2026 π - α) = - \sqrt{2} \cos (10001 π + β) \end{cases}$ 有解？若有解，则求出 $α$ 和 $β$ 的值；若无解，请说明理由．

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17、已知函数 $f (x) = \sin x - x \cos x + a x$ ， $x \in (0, π)$ .

(1)、若 $a = 0$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(\frac{π}{2}, 1)$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x) > 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、若 $a = - 1$ ，证明： $f (x)$ 在 $(0, π)$ 上有且只有一个零点.

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18、已知平面四边形 $A B C D$ 中， $A D$ $∥$ $B C, B C ⊥ C D$ ，且 $A D = C D = \frac{\sqrt{2}}{2} A B = 2$ ．以 $A D$ 为腰作等腰直角三角形 $P A D$ ，且 $P A = A D$ ，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$

(1)、证明： $A B ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、已知点 $M$ 是线段 $P D$ 上一点，
①若 $P B$ $∥$ 平面 $M A C$ ，求点 $M$ 到平面 $P B C$ 的距离；
②若直线 $B M$ 与平面 $A B C D$ 夹角的正弦值是 $\frac{\sqrt{14}}{14}$ ，求二面角 $B - A M - C$ 的正弦值．

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19、中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”、“武术”、“书法”、“剪纸”、“京剧”、“刺绣”六门体验课程.

(1)、若体验课连续开设六周，每周一门，求“京剧”课程不排第一周，“剪纸”课程不排最后一周的所有排法种数；

(2)、现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙有且只有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数；

(3)、计划安排 $A, B, C, D, E$ 五名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，教师 $A$ 不任教“围棋”课程，教师 $B$ 只能任教一门课程，求所有课程安排的种数.

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20、已知空间四点 $A (0, 2, 3), B (2, - 2, - 1), C (1, 4, 3), D (- 1, 3, λ)$ ．

(1)、求以 $A B, A C$ 为邻边的平行四边形面积；

(2)、若 $A ､ B ､ C ､ D$ 四点共面，求 $λ$ 的值；

(3)、求直线AB和直线CD夹角余弦值的取值范围．

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