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相关试卷

1、某公司邀请棋手与该公司研制的一款机器人进行象棋比赛，规则如下：棋手的初始分为 $200$ ，每局比赛，棋手胜加 $100$ 分；平局不得分；棋手负减 $100$ 分．当棋手总分为 $0$ 时，挑战失败，比赛终止；当棋手总分为 $300$ 时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续．已知每局比赛棋手胜、平、负的概率分别为 $\frac{1}{4}$ 、 $\frac{1}{4}$ 、 $\frac{1}{2}$ ，且各局比赛相互独立.

(1)、求两局后比赛终止的概率；

(2)、在 $3$ 局后比赛终止的条件下，求棋手挑战成功的概率；

(3)、在挑战过程中，棋手每胜 $1$ 局，获奖 $5$ 千元．记 $n (n \geq 10)$ 局后比赛终止且棋手获奖 $1$ 万元的概率为 $P (n)$ ，求 $P (n)$ 的最大值．

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2、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P B = P C$ ， $D$ 为 $B C$ 的中点，平面 $P A D ⊥$ 平面 $P B C$ ．

(1)、证明： $A B = A C$ ；

(2)、若 $A B ⊥ A C$ ， $A B = 2$ ， $P A = P D = 1$ ，求平面 $P A B$ 与平面 $P A C$ 的夹角的正弦值．

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3、设函数 $f (x) = (x - a) (x - b) (x - c)$ ，其中 $a < b < c$ ．若 $f (1 + x) f (2 - x) \leq 0$ 对任意的 $x \in R$ 恒成立，则 $a + b + c =$ ．

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4、已知 $sin 2 α = 2 sin 2 β$ ， $cos 2 α = 4 {sin}^{2} β$ ，则 $cos (2 α + β) =$ ．

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5、已知点 $A$ 在直线 $x - y + 1 = 0$ 上， $\vec{A B} = (2, 0)$ ，则原点 $O$ 与 $B$ 的最短距离为．

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6、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，设 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ ，定义： ${‖A B‖}_{n} = {({|x_{1} - x_{2}|}^{n} + {|y_{1} - y_{2}|}^{n})}^{\frac{1}{n}}$ ．若 $s, t \in N^{*}$ ，且 $s < t$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $A, B$ 关于x轴对称，则 ${‖A B‖}_{s} = {‖A B‖}_{t}$ B、若 $A, B$ 关于直线 $y = x$ 对称，则 ${‖A B‖}_{s} \geq {‖A B‖}_{t}$ C、若 ${‖O A‖}_{s} = 2 {‖O B‖}_{s}$ ，则 ${‖O A‖}_{t} = 2 {‖O B‖}_{t}$ D、若 $P = \{M |{||A M||}_{s} \leq 1\}$ ， $Q = \{M {|||A M||}_{t} \leq 1\}$ ，则 $P \subseteq Q$

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7、已知函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的定义域均为 $R$ ， $f (x) \geq g (x)$ （当且仅当 $x = 0$ 时，等号成立），则下列结论可能正确的是（）

A、 $\forall x \in R$ ， $f (x) \geq f (0)$ ，且 $g (x) \leq g (0)$ B、 $\forall x \in R$ ， $f (x) \geq f (0)$ ，且 $g (x) \geq g (0)$ C、 $\forall x_{1} \in R$ ， $f (x_{1}) \leq f (0)$ ，且 $\exists x_{2} \in R$ ， $g (x_{2}) > g (0)$ D、 $\exists x_{1} \in R$ ， $f (x_{1}) < f (0)$ ，且 $\exists x_{2} \in R$ ， $g (x_{2}) > g (0)$

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8、若函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} \frac{ln x}{x}, x \geq 2 \\ k x, x < 2 \end{array}$ 有最大值，则 $k$ 的最大值为（）

A、 $\frac{ln 2}{4}$ B、 $\frac{ln 2}{2}$ C、 $\frac{1}{2 e}$ D、 $\frac{1}{e^{2}}$

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9、已知4个不全相等的正整数的平均数与中位数都是2，则这组数据的极差为（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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10、已知 $z = \frac{1 - i}{1 + i}$ ，则 $|\bar{z}| =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、4

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11、在一个不透明的口袋中装有大小、形状完全相同的n个小球，将它们分别编号为 $1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, n$ ．每次从口袋中随机抽取一个小球，记录编号后放回，直至取遍所有小球后立刻停止摸球．记总的摸球次数为 $X_{n}$ ，其期望为 $E (X_{n})$ ．

(1)、求 $P (X_{2} = 4)$ 与 $P (X_{3} = 5)$ ；

(2)、求 $E (X_{2})$ ；

(3)、证明： $E (X_{n}) > n \ln (n + 1)$ ．
附：①若随机变量 $X$ 的可能取值为 $1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, n, \cdot \cdot \cdot$ ，则 $E (X) = \sum_{i = 1}^{+ \infty} (k \cdot P (X = k)) = \lim_{n \to + \infty} \sum_{i = 1}^{n} (k \cdot P (X = k))$
②若随机变量 $X = \sum_{i = 1}^{n} ξ_{i}$ ，则 $E (X) = \sum_{i = 1}^{n} E (ξ_{i})$ ．

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12、在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，下列说法正确的有（）

A、 $A_{1} C_{1} / /$ 平面 $A C D_{1}$ B、 $B_{1} D ⊥$ 平面 $A C D_{1}$ C、点 $D$ 到平面 $A C D_{1}$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $A B$ 与平面 $A C D_{1}$ 所成的角为 $30 °$

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13、九宫格的起源可以追溯到远古神话中的洛书，洛书上的图案正好对应着从1到9九个数字，并且纵向、横向、斜向三条线上的三个数字的和（这个和叫做幻和）都等于15，即现代数学中的三阶幻方.根据洛书记载：“以五居中，五方皆为阳数，四隅为阴数”，其意思为：九宫格中5位于居中位置，四个顶角为偶数，其余位置为奇数.如图所示，若随机填写一组幻和等于15的九宫格数据，记事件 $A = “ a + b \geq 9$ ”，则 $P (A)$ 的值为.
$a$
$d$
$f$
$b$
5
$g$
$c$
$e$
$h$

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14、已知正数 $x, y$ 满足 $\frac{2}{x + 1} + \frac{8}{y} = 1$ ，则 $x + y$ 的最小值是（）

A、17 B、16 C、15 D、14

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15、已知随机变量 $X$ 的分布列为 $P (X = i) = \frac{i}{a} (i = 1, 2, 3, 4)$ ，则 $E (a X + 4) =$ （）

A、 $104$ B、 $100$ C、 $34$ D、 $7$

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16、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} - x^{2} + 2 a x + 4 ， x \leq 1 \\ \frac{1}{x} ， x > 1 \end{matrix}$ 是 $[- \frac{1}{2}, + \infty)$ 上的减函数，则 $a$ 的取值范围是（　　）

A、 $[- 1, - \frac{1}{2}]$ B、 $（ - \infty, - 1]$ C、 $[- 1, - \frac{1}{2})$ D、 $（ - \infty, 1]$

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17、中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的立体为“牟合方盖”，但刘徽未能求得牟合方盖的体积，约200年后，祖冲之的儿子祖暅提出“幂势既同，则积不容异”，后世称为祖暅原理，即：两等高立体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立体体积相等．图1为棱长为r的正方体截得的“牟合方盖”的八分之一，图2为棱长为r的正方体的八分之一，图3是底面边长为r的正方体的一个底面和底面以外的顶点作的正四棱锥，由祖暅原理计算知，牟合方盖的体积与其外切正方体的体积之比为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{16}$ D、 $\frac{9}{16}$

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18、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点，过 $F_{1}$ 的直线与圆 $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 相切且分别交双曲线的左、右两支于A、B两点，若|AB|=|BF₂|，则双曲线的渐近线方程为．

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19、记 $S_{n}$ 为等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{3} = \frac{1}{4}, S_{3} = \frac{3}{4}$ ，则公比 $q =$ ．

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20、如图，直线 $l : y = m (m > 0)$ 与函数 $f (x) = 2 \sin (ω x - \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的图象依次交于A，B，C三点，若 $| B C | = 2 | A B |$ ， $| A C | = 6$ ，则（）

A、 $m = 1$ B、 $ω = π$ C、 $x = - \frac{1}{2}$ 是曲线 $y = f (x)$ 的一条对称轴 D、曲线 $y = f (x)$ 向右平移1个单位后关于原点对称

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