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相关试卷

1、函数 $f (x) = \sqrt{x^{2} - x - 12}$ 的单调递减区间为.

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2、已知集合 $A = \{1, 3, 6\}$ ，则集合A的真子集个数为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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3、定义：若对 $\forall k \in N^{*}, k \geq 2, a_{k - 1} + a_{k + 1} \leq 2 a_{k}$ 恒成立，则称数列 $\{a_{n}\}$ 为“上凸数列”．

(1)、若 $a_{n} = \sqrt{n^{2} - 1}$ ，判断 $\{a_{n}\}$ 是否为“上凸数列”，如果是，给出证明；如果不是，请说明理由．

(2)、若 $\{a_{n}\}$ 为“上凸数列”，则当 $m \geq n + 2 (m, n \in N^{*})$ 时， $a_{m} + a_{n} \leq a_{m - 1} + a_{n + 1}$ ．
（ⅰ）若数列 $S_{n}$ 为 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，证明： $S_{n} \geq \frac{n}{2} (a_{1} + a_{n})$ ；
（ⅱ）对于任意正整数序列 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots, x_{i}, \dots, x_{n}$ （ $n$ 为常数且 $n \geq 2, n \in N^{*}$ ），若 $\sum_{i = 1}^{n} \sqrt{x_{i}^{2} - 1} \geq \sqrt{{(\sum_{i = 1}^{n} x_{i} - λ)}^{2} - 1}$ 恒成立，求 $λ$ 的最小值．

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4、设函数 $f (x) = x^{2} + a x - \ln x (a \in R)$ .

(1)、若 $a = 1$ ，求函数 $y = f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $(0, 1]$ 上是减函数，求实数a的取值范围；

(3)、过坐标原点O作曲线 $y = f (x)$ 的切线，证明：切线有且仅有一条，且求出切点的横坐标.

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5、锐角 $△ A B C$ 中， $C = 2 B, B C$ 边上的高为4，则 $△ A B C$ 面积的取值范围为．

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6、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} \sin 2 x$ .若曲线 $y = f (x)$ 在点 $A (x_{1}, f (x_{1}))$ 处的切线与其在点 $B (x_{2}, f (x_{2}))$ 处的切线相互垂直，则 $x_{1} - x_{2}$ 的一个取值为.

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7、设 $\bar{z}$ 为复数 $z$ 的共轭复数，若复数 $z$ 满足 $z^{2} + z + 3 = 0$ ，则 $z + \bar{z} =$ ．

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8、已知函数 $f (x) = \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x} - x$ ，设 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 是曲线 $y = f (x)$ 与直线 $y = a$ 的三个交点的横坐标，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，则（）

A、存在实数 $a$ ，使得 $x_{2} - x_{1} > 1$ B、对任意实数 $a$ ，都有 $x_{3} - x_{1} > 3$ C、存在实数 $a$ ，使得 $x_{3} - x_{2} > 3$ D、对任意实数 $a$ ，都有 $x_{3} - x_{2} > 1$

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9、知名数学教育家单墫曾为中学生写了一个小册子《十个有趣的数学问题》，其中提到了开普勒的将球装箱的方法：考虑一个棱长为2的正方体，分别以该正方体的8个顶点及6个面的中心为球心作半径为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 的球，这些球在正方体内的体积之和与正方体的体积之比为（）

A、 $\frac{4 \sqrt{2}}{3} π$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3} π$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{3} π$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{6} π$

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10、已知函数 $f (x) = \frac{2^{x} - 8^{x}}{x \cdot a^{x}} (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 是偶函数，则 $a =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、2 D、4

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11、命题“ $\forall x \in [1 ， 2] ， x^{2} － a \leq 0$ ”为真命题的一个充分不必要条件是（）

A、 $a \geq 4$ B、 $a \leq 4$ C、 $a > 4$ D、 $a < 4$

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12、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $\frac{2 a}{b} - 1 = \frac{\tan C}{\tan B}$ ．

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，求 $\sin A + \sin B + \sin C$ 的取值范围；

(3)、若 $D$ 是 $△ A B C$ 外一点（ $C$ ， $D$ 分别位于 $A B$ 两侧），且 $A C = 3$ ， $A D = 2$ ， $B D = 1$ ， $∠ A D B = 120 °$ ，求 $\sin ∠ C B D$ 的值．

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13、在长方形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $A D = 3$ ，点 $E$ ， $F$ 分别为边 $B C$ 和 $C D$ 上两个动点（含端点），设 $\vec{B E} = λ \vec{B C}$ ， $\vec{D F} = μ \vec{D C}$ ．

(1)、当 $∠ E A F = \frac{π}{4}$ 时，求 $\vec{A E} \cdot \vec{A F}$ 的取值范围；

(2)、当 $E F = \frac{5}{2}$ 时，求 $|\vec{A E} + \vec{A F}|$ 的最大值．

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14、如图，在 $△ A B C$ 中， $M$ 是线段 $B C$ 上一点，且满足 $B M = 2 M C$ ，点 $P$ 满足 $\vec{A P} = 3 \vec{P M}$ ，过 $P$ 的一条直线 $l$ 分别交线段 $A B$ 、 $A C$ 于点 $E$ 、 $F$ ．设 $\vec{A E} = x \vec{A B}$ ， $\vec{A F} = y \vec{A C}$ ，其中 $x$ 、 $y \in (0, 1)$ ．记 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ .

(1)、试用 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 表示 $\vec{A P}$ ；

(2)、求 $x + 2 y$ 的最小值；

(3)、若直线 $l$ 交 $C B$ 的延长线于点 $G$ ，并有 $M B = B G$ ，求 $\frac{x}{y}$ 的值．

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15、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin 2 x + 2 m \cos^{2} x + 3 (x \in R, m \in R)$ 的最大值为 $6$ ．

(1)、求实数 $m$ 的值；

(2)、将函数 $y = f (x)$ 的图象向左平移 $φ (0 < φ < \frac{π}{2})$ 个单位长度后得到偶函数 $g (x)$ 的图象，当 $x \in [- \frac{π}{6}, \frac{π}{3}]$ 时，求函数 $g (x)$ 的最小值．

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16、在 $△ A B C$ 中，已知 $A C = 3$ ， $A B = 4$ ， $∠ B A C = 60^{\circ}$ ， $A D$ 是 $∠ B A C$ 的平分线，则 $A D =$ ．

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17、函数 $f (x) = 2 \cos (2 x - \frac{π}{3})$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的零点是．

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18、如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则这些函数为“互为生成函数”．下列函数中，与 $f (x) = \sin x - \cos x$ 构成“互为生成函数”的有（）

A、 $f_{1} (x) = \sqrt{2} (\sin x + 1)$ B、 $f_{2} (x) = \sqrt{2} (\sin x - \cos x)$ C、 $f_{3} (x) = \sqrt{2} \cos x$ D、 $f_{4} (x) = 2 \cos \frac{x}{2} (\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2})$

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19、已知 $△ A B C$ 中角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，满足 $a^{2} + c^{2} - b^{2} = \frac{4 \sqrt{3}}{3} S_{△ A B C}$ ，则下列条件能使 $△ A B C$ 成为锐角三角形的是（）

A、 $A = \frac{π}{6}$ B、 $a = \sqrt{3}$ ， $c = 3$ C、 $a = 2$ ， $b = 3$ D、 $b = 1.5$ ， $c = 2$

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20、已知平面向量 $\vec{a} = (2, \sin θ)$ ， $\vec{b} = (- 1, \cos θ)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 不可能垂直 B、 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 不可能共线 C、 $|\vec{a} - \vec{b}|$ 不可能为 $4$ D、若 $θ = \frac{π}{2}$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为 $- 2 \vec{b}$

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