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相关试卷

1、函数 $f (x) = \frac{\sin x - x}{\cos x - x^{2}}$ 在 $[- π, π]$ 的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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2、某学校需要从3名男生和2名女生中选出4人，到甲、乙、丙三个社区参加活动，其中甲社区需要选派2人，且至少有1名是女生；乙社区和丙社区各需要选派1人．则不同的选派方法的种数是（）

A、18 B、21 C、36 D、42

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3、已知函数 $f (x) = sin x - \sqrt{3} cos x$ ，如图所示的函数曲线所对应的函数解析式可以为（）

A、 $y = f (\frac{1}{2} x + \frac{2π}{3})$ B、 $y = f (\frac{1}{2} x - \frac{π}{3})$ C、 $y = f (2 x + \frac{2π}{3})$ D、 $y = f (2 x - \frac{π}{3})$

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4、 ${(x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n} (n \in N^{*})$ 的展开式中二项式系数的和为64，则展开式中的常数项为（）

A、8 B、12 C、15 D、 $- 20$

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5、要得到 $y = \lg x - 1$ 的图象，只需将函数 $y = \lg x$ 的图象上所有点的横坐标（）

A、缩小到原来的 $\frac{1}{10}$ 倍（纵坐标不变） B、扩大到原来的10倍（纵坐标不变） C、向左移动1个单位（纵坐标不变） D、向右移动1个单位（纵坐标不变）

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6、“ $\exists x \in [- 2, 1]$ ， $x^{2} - 2 a > 0$ ”为假命题的一个充分不必要条件是（）

A、 $a \leq 0$ B、 $a \geq 3$ C、 $a \leq 2$ D、 $a \geq 1$

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7、样本数据2，6，5，13，4，8的第60百分位数为（）

A、2 B、4 C、6 D、13

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8、已知 $△ A B C$ 中， $a, b, c$ 分别为内角 $A, B, C$ 的对边，且 $2 a \sin A = (2 b + c) \sin B + (2 c + b) \sin C$ ，

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、设点 $D$ 为 $B C$ 上一点， $A D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线，且 $b = 3, c = 6$ ，求 $A D$ 的长度．

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9、如图，已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象顶点在第一象限，且经过 $A (- 1, 0)$ 、 $B (0, 1)$ 两个点.则下列说法正确的是：① $a b c < 0$ ；② $- 1 < a < 0$ ；③ $0 < b < 1$ ；④ $0 < a + b + c < 2$ .（）

A、①③ B、②③④ C、①②④ D、①②③④

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10、在体育比赛中，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐.传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的资格，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率.假设最终进入半决赛的有四支队伍，传统的淘汰赛制下，会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军；双败赛制下，两两分组，胜者进入胜者组，败者进入败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入总决赛，败者进入败者组，之前进入败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军（赛制流程图如图所示）.双败赛制下会发生一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其他的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？这里我们简单研究一下两个赛制：假设四支队伍分别为 $A, B, C, D$ ，其中 $A$ 对阵其他三个队伍时获胜的概率均为 $p (0 < p < 1)$ ，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，最初分组时， $A, B$ 同组， $C, D$ 同组.

(1)、若 $p = \frac{3}{4}$ ，在淘汰赛赛制下， $A, C$ 获得冠军的概率分别为多少？

(2)、分别计算两种赛制下 $A$ 获得冠军的概率（用 $p$ 表示），并分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？

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11、某公司为了提高生产效率，决定投入160万元买一套生产设备，预计使用该设备后，前 $x (x \in N^{*})$ 年的支出成本为 $(10 x^{2} - 2 x)$ 万元，每年的销售收入98万元.使用若干年后对该设备处理的方案有两种：
方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；
方案二：当年平均盈利额（注：年平均盈利额 $= \frac{总盈利额}{年度}$ ）达到最大值时，该设备以30万元的价格处理.

(1)、设前 $x$ 年的总盈利额为 $y$ （不含设备处理收益），写出方案一中 $y$ 与 $x$ 的函数关系式

(2)、哪种方案较为合理？并说明理由.

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12、解下列二次不等式（答案用集合或者区间表示）

(1)、 $2 x^{2} + 3 x - 2 \leq 0$

(2)、 $x^{2} - x - 6 > 0$

(3)、 $- x^{2} + 2 x - 1 < 0$

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13、如图，已知矩形 $U$ 表示全集， $A ､ B$ 是 $U$ 的两个子集，则阴影部分可表示为（）

A、 $∁_{U} (A \cup B)$ B、 $∁_{U} (A \cap B)$ C、 $A \cap (∁_{U} B)$ D、 $B \cap (∁_{U} A)$

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14、在数轴的坐标原点放置一个机器人，它每过1秒都将以 $\frac{1}{2}$ 的概率向数轴正方向或负方向移动1个单位长度，机器人每次经过 $- 2$ 或3时都会向雷达发送一次信息，且雷达会瞬间收到.设事件 $\{A_{n}\}$ 表示“机器人的前 $n$ 次移动均未向雷达发送信息”.

(1)、求 $P (A_{2})$ ， $P (A_{4});$

(2)、已知①②两个结论：① $P (A_{n + 2} |A_{n}) < \frac{3}{4}$ ；②设 $\{X_{n}\} (n \in N^{*})$ 是一列无穷个事件，若存在正数 $N$ ，对于任意的 $n$ 均有 $\sum_{i = 1}^{n} P (X_{i}) < N$ ，则“ $\{X_{n}\}$ 中只有有限个事件同时发生”的概率为1.
（i）证明： $\sum_{i = 1}^{n} P (A_{2 i}) < 3$ 事件；“雷达会收到信息”的概率为1；
（ii）求机器人首次发送信息时所在位置为3的概率.

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15、已知函数 $f (x) = e^{x} - e^{2 - x} + a x + \frac{b}{x - 1}$ .

(1)、若 $b = 0$ ，且 $f^{'} (x) \geq 0$ ，求a的最小值；

(2)、证明：曲线 $y = f (x)$ 是中心对称图形；

(3)、若 $f (x) > e^{2} - 1$ 当且仅当 $1 < x < 2$ ，求b的取值范围.

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16、已知 $\{a_{n}\}$ 是等差数列，公差不为 $0$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ .若 $a_{2}$ ， $a_{4}$ ， $a_{7}$ 构成等比数列， $S_{3} = 12$ .

(1)、求 $a_{n}$ 及 $S_{n}$ ；

(2)、数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $\frac{1}{b_{n + 1}} - \frac{1}{b_{n}} = a_{n}$ ， $n \in N^{*}$ ， $b_{1} = \frac{1}{3}$ ， $T_{n}$ 为数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，求 $T_{n}$ .

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17、若函数 $f (x) = a (e^{x} + a) - x$ 的最小值为2，则实数a的值是.

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18、已知 $P (A) = 0.9$ ， $P (\bar{B} |A) = 0.6$ ， $P (\bar{B} |\bar{A}) = 0.5$ ，则 $P (A |\bar{B}) =$ .

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19、著名数学家笛卡尔根据他所研究的一簇花瓣和叶形曲线特征，列出了方程 $x^{3} + y^{3} - 3 a x y = 0$ ，该方程表示的曲线C就是优美的“笛卡尔叶形线”（如图），它具有非常完美的对称性，则下列说法正确的是（）

A、曲线C过点 $(\frac{3 a}{2}, \frac{3 a}{2})$ B、曲线C关于 $y = x$ 对称 C、若 $a = 2$ ，曲线C在第一象限的点的纵坐标的最大值为3 D、若 $a = 2$ ，曲线C上任一点 $(x, y)$ 均满足 $- 2 < x + y \leq 6$

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20、有一组样本数据1，2，3，4，5，现加入两个正整数 $x$ ， $y$ 构成新样本数据，与原样本数据比较，下列说法正确的是（）

A、若平均数不变，则 $x + y = 6$ B、若极差不变，则 $x + y = 6$ C、若 $x + y = 6$ ，则中位数不变 D、若 $x + y = 6$ ，则方差不变

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