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相关试卷

1、若复数 $z$ 满足 $(z - 1) i + z = 0$ ，则 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、1 D、 $- 1$

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2、若a＞b，c＞d，则（）

A、 $a c^{2} > b c^{2}$ B、a－c＞b－d C、a－d＞b－c D、ac＞bd

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3、已知函数 $f (x) = 2 x \ln x - x^{2} + 1$ .

(1)、证明： $f (x) < 1$ ；

(2)、证明： $f (x)$ 在上 $(0, + \infty)$ 单调递减；

(3)、若 $0 < x_{1} < x_{2}$ ，且 $f (x_{1}) + f (x_{2}) = 0$ ，证明： $x_{1} + x_{2} > 2$ .

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4、如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且椭圆 $E$ 过点 $A (2 ， 0)$ ，过点 $A$ 作斜率为 $k (k \neq 0)$ 的直线 $l$ 交椭圆 $E$ 于点 $B$ ，交 $y$ 轴于点 $C$ ．

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、已知 $P$ 为 $A B$ 的中点，是否存在定点 $Q$ ，对于任意的 $k (k \neq 0)$ 都有 $\vec{O P} ⊥ \vec{C Q}$ ，若存在，求出点 $Q$ 的坐标：若不存在说明理由．

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5、已知抛物线 $C$ 的方程为 $y^{2} = 4 x$ ，直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点， $A$ ， $B$ 两点分别位于 $x$ 轴的上下两侧，且 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = 5$ ，其中 $O$ 为坐标原点.过抛物线 $C$ 的焦点 $F$ 向 $l$ 作垂线交 $l$ 于点 $H$ ，动点 $H$ 的轨迹为 $L$ ，则 $L$ 所在曲线的方程为，直线 $O H$ 斜率的最大值为.

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6、已知圆锥 $P O$ 的底面半径为 $\sqrt{3}$ ， $O$ 为底面圆心， $P A$ ， $P B$ 为圆锥的母线， $∠ A O B = 120 °$ ，若 $△ P A B$ 的面积等于 $\frac{9 \sqrt{3}}{4}$ ，则该圆锥的体积为.

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7、已知 $\frac{π}{4} \leq α \leq π ， π \leq β \leq \frac{3 π}{2} ， sin 2 α = \frac{4}{5} ， cos (α + β) = - \frac{\sqrt{2}}{10}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $cos 2 α = \frac{3}{5}$ B、 $sin α - cos α = \frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $sin (α + β) = \frac{7 \sqrt{2}}{10}$ D、 $β - α = \frac{3 π}{4}$

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8、 ${(x^{2} + x + y)}^{5}$ 的展开式中， $x^{5} y^{2}$ 的系数为

A、10 B、20 C、30 D、60

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9、甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在第1位，且甲或乙在第4位的概率是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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10、已知 $\log_{4} 5 = a$ ， $\log_{25} 2 = b$ ，则 $a b =$ ．

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11、已知函数 $f (x) = a x^{2} - 2 a x - 1$ ， $a \in R$ ．

(1)、若不等式 $f (x) < 0$ 的解集为R，求a的取值范围；

(2)、求关于x的不等式 $f (x) > x - 3$ 的解集．

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12、将进货单价为8元的商品按10元一个销售时，每天可以卖出100个，若这种商品的销售价每个上涨1元，则销量就减少10个，为了争取最大利益，此商品的售价应定为多少元?

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13、设集合 $A = \{x | x^{2} - x - 6 >0\}, B = \{x | - 4 < 3 x - 7 <8\}$ .
(1)求 $A \cup B, A \cap B$ ；
(2)已知集合 $C = \{x | a < x <2 a + 1\}$ ，若 $C \subseteq B$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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14、已知 $f (x) = \frac{2 x + 1}{x + 1}$ ．

(1)、判断 $f (x)$ 的奇偶性，并说明理由；

(2)、用定义法证明 $f (x)$ 在 $(- 1, + \infty)$ 上是增函数.

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15、设函数 $f (x) = x^{2} -2 x + 3, x \in [0, 3]$ ，则该函数的值域为．

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16、函数 $f (x) = \frac{1}{\sqrt{13 - x^{2}}}$ 的定义域为．

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17、函数 $f (x) = \sqrt{x^{2} - x - 12}$ 的单调递减区间为.

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18、已知集合 $A = \{1, 3, 6\}$ ，则集合A的真子集个数为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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19、定义：若对 $\forall k \in N^{*}, k \geq 2, a_{k - 1} + a_{k + 1} \leq 2 a_{k}$ 恒成立，则称数列 $\{a_{n}\}$ 为“上凸数列”．

(1)、若 $a_{n} = \sqrt{n^{2} - 1}$ ，判断 $\{a_{n}\}$ 是否为“上凸数列”，如果是，给出证明；如果不是，请说明理由．

(2)、若 $\{a_{n}\}$ 为“上凸数列”，则当 $m \geq n + 2 (m, n \in N^{*})$ 时， $a_{m} + a_{n} \leq a_{m - 1} + a_{n + 1}$ ．
（ⅰ）若数列 $S_{n}$ 为 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，证明： $S_{n} \geq \frac{n}{2} (a_{1} + a_{n})$ ；
（ⅱ）对于任意正整数序列 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots, x_{i}, \dots, x_{n}$ （ $n$ 为常数且 $n \geq 2, n \in N^{*}$ ），若 $\sum_{i = 1}^{n} \sqrt{x_{i}^{2} - 1} \geq \sqrt{{(\sum_{i = 1}^{n} x_{i} - λ)}^{2} - 1}$ 恒成立，求 $λ$ 的最小值．

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20、设函数 $f (x) = x^{2} + a x - \ln x (a \in R)$ .

(1)、若 $a = 1$ ，求函数 $y = f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $(0, 1]$ 上是减函数，求实数a的取值范围；

(3)、过坐标原点O作曲线 $y = f (x)$ 的切线，证明：切线有且仅有一条，且求出切点的横坐标.

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