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相关试卷

1、若随机事件A，B满足 $P (A) = \frac{2}{3}$ ， $P (B) = \frac{1}{2}$ ， $P (B |A) = \frac{1}{4}$ ，则 $P (A |B) =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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2、从5名大学毕业生中挑选3个人，分别担任三个班的实习班主任，甲、乙至少有1人入选，则不同的安排方法有（）种

A、9 B、36 C、54 D、72

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3、已知向量 $\vec{a} = (x, 4, - 2)$ ， $\vec{b} = (- 2, y, 1)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则（）

A、 $x y = - 8$ B、 $x y = - 2$ C、 $x y = 2$ D、 $x y = 8$

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4、某校为促进学生对数学文化的认识，举办了相关竞赛，从所有答卷中随机抽取 $100$ 份作为样本，发现得分均在区间 $[30, 90]$ 内 $.$ 现将 $100$ 个样本数据按 $[30, 40)$ ， $[40, 50)$ ， $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[70, 80)$ ， $[80, 90]$ 分成 $6$ 组，得到如下频率分布直方图．

(1)、求出频率分布直方图中 $x$ 的值；

(2)、请估计样本数据的众数和平均数；

(3)、学校决定奖励成绩排名前20%的学生，学生甲的成绩是 $77$ 分，请判断学生甲能否得到奖励，并说明理由．

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5、已知函数 $f (x) = (x - 2) e^{x} - \frac{a}{3} x^{3} + b x^{2}$ ，其中 $a \geq 0, b \geq 0$ ．

(1)、当 $a = 0, b = 0$ 时，
①若 $x \leq 3$ ，求函数 $f (x)$ 的最大值；
②若直线 $l$ 是曲线 $f (x)$ 的切线，且 $l$ 经过点 $(t, 0)$ ，证明： $| t | \geq 2$ ；

(2)、当 $b > 0$ 时，若 $x = 1$ 是函数 $f (x)$ 的极小值点，求 $b$ 的取值范围．

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6、若抛物线 $y^{2} = m x$ 的焦点与双曲线 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ 的右焦点重合，则实数 $m$ 的值为．

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7、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{n + 1} = a_{n}^{2} - 2 a_{n} (n = 1, 2, \dots)$ ，则（）

A、当 $a_{1} = 3$ 时，对于任意的正整数 $n, a_{n + 1} > a_{n}$ B、当 $a_{1} = 1$ 时，存在正整数 $N$ ，当 $n > N$ 时， $a_{n + 1} > a_{n}$ C、当 $a_{1} \in (2, 3)$ 时，对于任意的正整数 $n, a_{n} \leq 3$ D、当 $a_{1} \in (3, 4)$ 时，存在正整数 $N$ ，当 $n > N$ 时， $a_{n} < 3$

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8、某单位有11名外语翻译人员（每名翻译人员都能从事英语或俄语翻译），其中能从事英语翻译 $x$ 人，且 $x$ 满足 $A_{8}^{x} < 6 A_{8}^{x - 2}$ ，能从事俄语翻译6人．

(1)、问既能从事英语翻译也能从事俄语翻译的有几人？

(2)、现要从中选出8人组成两个翻译小组，其中4人翻译英语，另4人翻译俄语，则有多少种不同的选派方式？

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9、为适应社会化安全宣传新形势新要求，充分发挥区域特色和示范效应，深入推进安全宣传进企业、进农村、进社区、进学校、进家庭，普及安全知识、培育安全文化，某单位用简单随机抽样的方法从A，B两个社区中抽取居民进行满意度调查，调查中有“满意”和“不满意”两个选项，调查的部分数据如下表所示：
社区
居民意见
合计
满意
不满意
A社区
30
45
B社区
55
合计
25

(1)、完成 $2 \times 2$ 列联表，根据小概率值 $α = 0.05$ 的独立性检验，能否认为居民满意度与所在社区有关？

(2)、现从已抽取的“不满意”的居民中随机抽取2位居民进行深入调研，用X表示抽取的“不满意”的居民来自A社区的人数，求随机变量X的分布列及数学期望．
附：参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$P (χ^{2} \geq x_{0})$
0.10
0.05
0.025
0.010
$x_{0}$
2.706
3.841
5.024
6.635

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10、若存在实数a，b使得 $e^{a} + b e^{2} \leq a + ln b + 4$ ，则 $a + b$ 的值为．

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11、南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中画了一张表示二项式系数构成的三角形数阵（如图所示），在“杨辉三角”中，下列选项正确的是（）

A、第10行所有数字的和为1024 B、 $C_{3}^{2} + C_{4}^{2} + C_{5}^{2} + \dots + C_{10}^{2} = 119$ C、第9行所有数字的平方和等于 $C_{18}^{9}$ D、若第 $n$ 行第 $i$ 个数记为 $a_{i}$ ，则 $\sum_{i = 1}^{n + 1} (2^{i - 1} \cdot a_{i}) = 3^{n}$

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12、一个不透明箱子中有大小形状均相同的两个红球､两个白球，从中不放回地任取2个球，每次取1个.记事件 $A_{i}$ 为“第 $i$ 次取到的球是红球 $(i = 1, 2)$ ”，事件 $B$ 为“两次取到的球颜色相同”，事件 $C$ 为“两次取到的球颜色不同”，则（）

A、 $A_{1}$ 与 $A_{2}$ 互斥 B、 $P (A_{2}) = \frac{1}{2}$ C、 $P (A_{1}| C) = \frac{1}{2}$ D、 $A_{1}$ 与 $B$ 相互独立

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13、若函数 $f (x) = x^{2} - a \ln x + 1$ 在 $(1, 2)$ 上单调递增，则实数a的取值范围是（）

A、 $[0, 2]$ B、 $(- \infty, 2)$ C、 $[8, + \infty)$ D、 $(- \infty, 2]$

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14、下列说法不正确的是（）

A、在做回归分析时，可以用决定系数 $R^{2}$ 刻画模型的回归效果，若 $R^{2}$ 越大，则说明模型拟合的效果越好 B、若随机变量 $ξ ~ N (2, σ^{2})$ ，且 $P (ξ > 5) = 0.2$ ，则 $P (- 1 < ξ < 5) = 0.6$ C、若随机变量 $ξ ~ B (9, \frac{2}{3})$ ，则方差 $D (ξ) = 2$ D、若甲、乙两组数据的相关系数分别为 $- 0.911$ 和0.89，则乙组数据的线性相关性更强

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15、 $(x^{2} + 2) {(\frac{1}{\sqrt{x}} - 1)}^{5}$ 展开式中的常数项为（）

A、3 B、-3 C、7 D、-7

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16、如图，已知四棱锥 $P - A B C E$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C E$ ，平面 $P A B ⊥$ 平面 $P B C$ ，且 $A B = 1$ ， $B C = 2, B E = 2 \sqrt{2}$ ，点 $A$ 在平面 $P C E$ 内的射影恰为 $△ P C E$ 的重心 $G$ .

(1)、证明： $B C ⊥ A B$ ；

(2)、求线段 $P A$ 长；

(3)、求直线 $C G$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值.

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17、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c， $\frac{\cos A}{\cos C} = - \frac{\sqrt{3} a}{2 b + \sqrt{3} c}$ ，点D是边BC上的一点，且 $\frac{\sin ∠ B A D}{b} + \frac{\sin ∠ C A D}{c} = \frac{3}{2 a}$ ．

(1)、求证： $A D = \frac{a}{3}$ ；

(2)、若 $C D = 2 B D$ ，求 $\cos ∠ A D C$ ．

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18、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - (a + 2) x + 2 a \ln x (a \in R)$ .

(1)、当 $a = - 3$ 时，求函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性.

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19、2022年2月22日，中央一号文件发布，提出大力推进数字乡村建设，推进智慧农业发展．某乡村合作社借助互联网直播平台，对本乡村的农产品进行销售，在众多的网红直播中，随机抽取了10名网红直播的观看人次和农产品销售量的数据，如下表所示：
观看人次x（万次）
76
82
72
87
93
78
89
66
81
76
销售量y（百件）
80
87
75
86
100
79
93
68
85
77
参考数据： $\sum_{i = 1}^{10} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} = 600, \sum_{i = 1}^{10} {(y_{i} - \bar{y})}^{2} = 768, \bar{x} = 80$ ．

(1)、已知观看人次 $x$ 与销售量 $y$ 线性相关，且计算得相关系数 $r = \frac{11 \sqrt{2}}{16}$ ，求回归直线方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ；

(2)、规定：观看人次大于等于80（万次）为金牌主播，在金牌主播中销售量大于等于90（百件）为优秀，小于90（百件）为不优秀，对优秀赋分2，对不优秀赋分1．从金牌主播中随机抽取3名，若用 $X$ 表示这3名主播赋分的和，求随机变量 $X$ 的分布列和数学期望．
（附： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ，相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ）

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20、小蒋同学喜欢吃饺子，某日他前往食堂购买16个饺子，其中有 $X$ 个为香菇肉馅，其余为玉米肉馅，且 $P (X = i) = \frac{1}{17}, i = 0, 1, \dots, 16$ .在小蒋吃到的前13个饺子均为玉米肉馅的条件下，这16个饺子全部为玉米肉馅的概率为.

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社区	居民意见		合计
社区	满意	不满意
A社区	30		45
B社区			55
合计		25

$P (χ^{2} \geq x_{0})$	0.10	0.05	0.025	0.010
$x_{0}$	2.706	3.841	5.024	6.635

观看人次x（万次）	76	82	72	87	93	78	89	66	81	76
销售量y（百件）	80	87	75	86	100	79	93	68	85	77