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相关试卷

1、设函数 $f (x) = \cos (ω x + φ) (ω > 0, 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的最小正周期为 $π$ ，且 $f (\frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

(1)、求 $ω$ 和 $φ$ 的值；

(2)、填写下表，并在给定坐标系中作出函数 $f (x)$ 在一个周期内的简图；
$ω x + φ$
0
$\frac{π}{2}$
$π$
$\frac{3 π}{2}$
$2 π$
x

$f (x)$

(3)、求函数 $g (x) = f (x + \frac{π}{3}) + f (x - \frac{π}{3})$ ， $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 的值域.

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2、已知 $a \in R$ ，集合 $A = \{x |(x - 1) (x - a) = 0\}$ ， $B = \{1, 3, a^{2}\}$ .

(1)、若 $a = 2$ ，求 $A \cap B$ ， $A \cup B$ ；

(2)、是否存在实数a，使得 $A \cup B = B$ ？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由.

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3、已知实数 $m, n$ 满足 $m > 3 n > 0$ ，则 $\frac{m^{2} - 3 m n + n^{2}}{m n - 3 n^{2}}$ 的最小值为.

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4、在中国古代扇子文化中，扇子不仅是纳凉用品，还是装饰品、艺术品、身份地位的象征.如图扇形中， $A B = 20 cm$ ， $\overset{⌢}{A D} = 21 π cm$ ， $\overset{⌢}{B C} = 7 π cm$ ，则该扇面的面积为 ${cm}^{2}$ .

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5、已知函数 $f (x) = a + \frac{2}{2^{x} + 1} (a \in R)$ 为奇函数，则 $a =$ .

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6、已知 $x_{0}$ 是函数 $f (x) = e^{x} + 3 x - 3$ 的零点（其中 $e = 2.71828 \cdot \cdot \cdot$ 为自然对数的底数），则下列说法正确的是（）

A、 $x_{0} \in (0, 1)$ B、 $x_{0}^{1 - x_{0}} > 1$ C、 $x_{0} \cdot e^{x_{0}} < \frac{3}{4}$ D、 $e^{x_{0}} + \ln (3 - 3 x_{0}) < \frac{7}{3}$

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7、已知函数 $f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{6})$ ，则下列结论正确的是（）

A、函数 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{12}$ 对称 B、把曲线 $y = \sin 2 x$ 上的所有点向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，得到 $y = f (x)$ 的图象 C、若函数 $y = f (ω x) (ω > 0)$ 在 $[0, 2 π]$ 有且只有3个零点，则 $ω \in [\frac{17}{24}, \frac{23}{24})$ D、若函数 $y = f (ω x) (ω > 0)$ 在 $[\frac{π}{2}, π]$ 上单调递减，则 $ω \in [\frac{2}{3}, 1)$

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8、下列不等式正确的是（）

A、若 $a < b$ ，则 $a + 1 < b + 1$ B、若 $a > b$ ，则 $3^{a} > 3^{b}$ C、若 $a > b > 0$ ，则 $a + \frac{9}{a} > b + \frac{9}{b}$ D、若 $a < b < 0$ ，则 $\frac{b}{a} < \frac{a}{b}$

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9、设函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $f (x - 1)$ 为偶函数， $f (x + 1)$ 为奇函数，当 $x \in [1, 3]$ 时， $f (x) = a \cdot 2^{x} + b$ ， $a, b \in R$ .若 $f (9) + f (11) = 6$ ，则 $f (2026) =$ （）

A、 $- 2$ B、2 C、3 D、6

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10、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $A = 2 B$ ， $c = 2 b = 2$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、1 C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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11、从盛有1升纯酒精的容器中倒出 $\frac{1}{3}$ 升，然后用水填满，再倒出 $\frac{1}{3}$ 升，又用水填满，重复进行上述操作，至少经过n次后，容器中的纯酒精少于 $\frac{1}{100}$ 升，则 $n =$ （）
（参考数据： $\lg 2 \approx 0.3010$ ， $\lg 3 \approx 0.4771$ ）

A、10 B、12 C、14 D、16

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12、下列选项中满足最小正周期为 $π$ ，且在 $(0, \frac{π}{4})$ 上单调递减的函数为（）

A、 $y = \cos x$ B、 $y = \sin 2 x$ C、 $y = \tan x$ D、 $y = \sin (2 x + π)$

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13、“函数 $f (x) = x^{2} - 2 m x + 3 (m \in R)$ 在 $(1, + \infty)$ 上单调递增”是“ $m < 2$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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14、已知函数 $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 2}$ ，则 $f (x)$ 在 $[- 2, 1]$ 上的最小值为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{4}$

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15、已知角 $α$ 的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边在直线 $y = 3 x$ 上，则 $\tan α =$ （）

A、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、3

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16、已知集合 $A = \{x |0 < x < 2\}$ ， $B = \{x |- 1 \leq x \leq 1\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{x |- 1 \leq x < 0\}$ B、 $\{x |1 \leq x < 2\}$ C、 $\{x |0 < x \leq 1\}$ D、 $\{x |- 1 \leq x < 2\}$

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17、若 $a > 1$ ， $b > 1$ ，且 $a (\ln b + 2) = (b + 1) (\ln a + 1)$ ，则（）

A、 $a > b$ B、 $a < b$ C、 $a^{2} > b$ D、 $a^{2} < b$

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18、给定正整数 $k \geq 2$ ，设集合 $A_{(n, k)} = \{(a_{1}, \cdot \cdot \cdot, a_{n}) |a_{1}, \cdot \cdot \cdot, a_{n} \in \{1, \cdot \cdot \cdot, k\}\}$ ，若集合 $T \subseteq A_{(n, k)}$ ，且T中存在元素 $(a_{1}^{(1)}, \cdot \cdot \cdot, a_{n}^{(1)}), \cdot \cdot \cdot, (a_{1}^{(n + 1)}, \cdot \cdot \cdot, a_{n}^{(n + 1)})$ （ $(1), \cdot \cdot \cdot, (n + 1)$ 是为了区分元素而设置的角标），对任意的 $i \in \{1, \cdot \cdot \cdot, n\}$ 满足 $a_{i}^{(1)} = \cdot \cdot \cdot = a_{i}^{(i)} < a_{i}^{(i + 1)} = \dots = a_{i}^{(n + 1)} (n \geq 1)$ ，则称集合T为集合 $A_{(n, k)}$ 的“典范子集”．

(1)、写出集合 $A_{(2, 2)}$ 的所有“典范子集”；

(2)、设集合 $A_{(2, 3)}$ 的子集 $T_{1}, \cdot \cdot \cdot, T_{s}$ 均不是集合 $A_{(2, 3)}$ 的“典范子集”，且 $T_{1} \cup \cdot \cdot \cdot \cup T_{s} = A_{(2, 3)}$ ，求s的最小值；

(3)、若集合 $A_{(n, k)}$ 的任意元素个数为m的子集都是集合 $A_{(n, k)}$ 的“典范子集”，求m的最小值（用含有n、k的式子表示）．

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19、设三角形 $A B C$ 满足 $b (1 - \cos C) = c \cos B$ ，其中 $a, b, c$ 分别为 $A, B, C$ 的对边．

(1)、证明： $A C = B C$ ；

(2)、设三角形 $A B C$ 中， $D$ 为边 $A B$ 靠近 $A$ 的三等分点，且 $A B = 3$ ， $∠ A C B = \frac{2 π}{3}$ ，将三角形 $A B C$ 向上翻折（如图），若平面 $A C D ⊥$ 平面 $A C B$ ，求二面角 $B - A D - C$ 的余弦值．

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20、已知函数 $f (x) = {(x - a)}^{2} (x - b) (a, b \in R, a < b)$ .

(1)、当 $a = 1, b = 2$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2, f (2))$ 处的切线方程；

(2)、设 $x_{1}, x_{2}$ 是 $f (x)$ 的两个极值点， $x_{3}$ 是 $f (x)$ 的一个零点，且 $x_{3} \neq x_{1}, x_{3} \neq x_{2}$ .是否存在实数 $x_{4}$ ，使得 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ 按某种顺序排列后构成等差数列？若存在，求 $x_{4}$ ；若不存在，说明理由.

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$ω x + φ$	0	$\frac{π}{2}$	$π$	$\frac{3 π}{2}$	$2 π$
x
$f (x)$