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相关试卷

1、已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $\frac{2 \sin C}{\sin A + \sin B} = \frac{a - b}{c}$ ，则角 $C$ 的最大值为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{2π}{3}$

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2、已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 $A = \frac{π}{6}$ ， $b = 10$ ，则使得 $△ A B C$ 有两组解的a的值可以为（）

A、10 B、8 C、5 D、4

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3、 $\frac{1 - 2 \sin^{2} 35^{\circ}}{\sqrt{1 - \sin 40^{\circ}} - \cos 20^{\circ}}$ 的值等于（）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- 2$ D、2

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4、设 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是平面内两个不共线的非零向量，已知 $\vec{A B} = 2 \vec{e_{1}} + k \vec{e_{2}}$ ， $\vec{B C} = \vec{e_{1}} + 3 \vec{e_{2}}$ ， $\vec{C D} = - 2 \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ ，若 $A$ ， $B$ ， $D$ 三点共线，则实数 $k$ 的值为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $2$ C、 $8$ D、 $- 8$

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5、函数 $y = 3 x - 2$ 的零点是（）

A、 $- 2$ B、 $(0, - 2)$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $(\frac{2}{3}, 0)$

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6、已知函数 $f (x) = x + 1, g (x) = x^{2} + 2$ ．定义 $\min {a, b} = \{\begin{array}{l} a, a \leq b \\ b, a > b \end{array}$ ，设 $m (x) = \min {f (| x - t |), g (| x - 2 t |)}, x \in R$ ， $t$ 为常数．

(1)、当 $t = 0$ 时，判断函数 $m (x)$ 的奇偶性；

(2)、已知 $a \geq 3$ ，求使得等式 $\min \{2 f (|x - 1|), x^{2} - 2 a x + 4 a\} = x^{2} - 2 a x + 4 a$ 成立的 $x$ 取值范围；

(3)、定义区间 $(p, q)$ 的长度为 $q - p$ ．若 $m (x) < t$ 的解集为 $D$ ，问是否存在 $t$ ，使得 $D$ 的全部区间长度之和等于6，若存在，求出 $t$ 的值；若不存在，说明理由．

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7、函数 $f (x) = x + \frac{1}{2 x^{2}} (x > 0)$ ；

(1)、判断并用定义证明函数 $f (x)$ 在 $(0, 1)$ 上的单调性；

(2)、若 $x_{2} > x_{1} > 0, x_{1} + x_{2} = 2$ ，求证： $f (x_{1}) > f (x_{2})$ ；

(3)、若 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，求证： $x_{1} + x_{2} > 2$ ．

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8、如图，在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ．已知 $b c = 8, ∠ B A C = \frac{2 π}{3}$ ， $\vec{A D} = 3 \vec{D B}, P$ 为CD上一点，且满足 $\vec{A P} = m \vec{A C} + \frac{1}{2} \vec{A B}$ ．

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、求 $| \vec{A P} |$ 的最小值．

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9、已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ， $\vec{e}$ 满足 $|\vec{a}| = 3$ ， $|\vec{e}| = 1$ ， $|\vec{b} - \vec{a}| = 1$ ， $< \vec{a}, \vec{e} > = \frac{2 π}{3}$ ，且对任意的实数 $t$ ，均有 $|\vec{c} - t \vec{e} |\geq| \vec{c} - 2 \vec{e}|$ ，则 $|\vec{c} - \vec{b}|$ 的最小值为.

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10、如图，函数 $f (x) = 2 \cos (ω x + φ) (ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 的图像经过 $A (0, \sqrt{3}), B (\frac{π}{3}, 0)$ ，则（）

A、 $φ = - \frac{π}{6}$ B、方程 $f (x) = \frac{1}{2} (x - \frac{π}{3})$ 所有根的和为 $\frac{4 π}{3}$ C、若 $f (x + m)$ 为偶函数，则正数 $m$ 的最小值为 $\frac{π}{12}$ D、若 $f (λ x)$ 在 $(\frac{π}{3}, \frac{π}{2})$ 上无零点，则正数 $λ$ 的取值范围为 $(0, \frac{2}{3}] \cup [1, \frac{5}{3}] \cup [\frac{5}{2}, \frac{8}{3}]$

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11、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 1$ ， $\vec{b} = (\sqrt{3}, 1)$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $\vec{a} = (\frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{1}{2})$ 则 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ B、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量坐标为 $(\frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{1}{4})$ C、若 $λ \vec{a} + \vec{b} = \vec{0}$ ，则 $λ = - 2$ D、 $|\vec{a} + \vec{b}|$ 最大值为 $3$

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12、若 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (x + y) + f (x - y) = \frac{1}{2} f (x) f (y)$ ， $f (1) = 2$ ，则 $f (2025) =$ （）

A、-4 B、-2 C、2 D、4

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13、已知 $p : |\frac{b}{a}| < 1$ ， $q : b < |a|$ ，则p是q的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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14、已知集合 $A = \{x ∣ 2 x^{2} - 3 x > 0\}, B = (1, 2)$ ，则 $(∁_{R} A) \cap B =$ （）

A、 $(\frac{2}{3}, 2)$ B、 $[0, \frac{2}{3})$ C、 $(0, 2)$ D、 $(1, \frac{3}{2}]$

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15、设抛物线 $C_{1} : y^{2} = 2 p x$ （ $p$ 为常数，且 $p > 0$ ）的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ，点 $A$ 在 $C_{1}$ 上且位于第一象限，过点 $A$ 作 $l$ 的垂线，垂足为 $H$ ．

(1)、若点 $A$ 的坐标为 $(1, 4)$ ，求 $|H F|$ ．

(2)、设过 $F$ ， $A$ ， $H$ 三点可作椭圆 $C_{2}$ ，且 $C_{2}$ 的两个焦点均在 $x$ 轴上，记 $x$ 轴正半轴上的焦点为 $B$ ，且 $B$ 在 $F$ 的左侧．
（ⅰ）证明： $△ A H B$ 的周长为定值．
（ⅱ）证明： $C_{2}$ 的离心率大于 $\frac{1}{4}$ ．

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16、若直线 $m^{2} x - 8 y - 1 = 0$ 与直线 $m^{3} x + 4 y - 7 = 0$ 垂直，则 $m =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、2 D、 $\frac{1}{2}$

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17、已知函数 $f_{n} (x) = e^{x} - \frac{x^{n}}{n!}, (n \in N_{+})$ .

(1)、求函数 $y = f_{1} (x)$ 在 $(0, f_{1} (0))$ 处的切线方程；

(2)、记函数 $y = f_{n} (x) - \frac{1 + {(- 1)}^{n - 1}}{2}$ 的最小零点为 $a_{n}$ ，证明：
（i） $- 2 < a_{2} < 0$ 且 $f_{3} (a_{2}) > 0$ ；
（ii） $a_{2 n + 2} < a_{2 n} < \frac{a_{2 n + 1}}{2}$ .

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18、已知点 $P (4, p + 2)$ 为抛物线 $Γ : y^{2} = 2 p x$ 上一点.

(1)、求 $Γ$ 的标准方程；

(2)、过点 $(4, 0)$ 的直线 $l$ 与 $Γ$ 交于A，B两点，以AB为直径的圆与 $Γ$ 交于异于A，B的两个不同点M，N（ $M$ 在 $N$ 左边）．
（i）若 $l$ 斜率为 $- 4$ ，求M，N坐标；
（ii）设 $△ N A B$ 的内切圆与外接圆半径分别为r，R，则当 $\frac{r}{R}$ 取最大值时，求直线 $l$ 的方程.

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19、如图，多面体ABCDEF的体积为1，四边形ABCD为矩形，平面 $A E D ⊥$ 平面ABCD， $E F / / A B, B C = 2 E F = 2 A B = 2$ .

(1)、证明： $E D ⊥ C D$ ；

(2)、若 $E D ⊥ A D$ ，求直线BD和直线CE夹角的余弦值；

(3)、若 $\vec{D P} = λ \vec{D F} (0 < λ < 1)$ ，且直线BD和平面BCP所成角的正弦值为 $\frac{1}{5}$ ，求 $λ$ 的值.

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20、已知 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足 $b \cos A = (2 c - a) \cos B$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{3}, D$ 为线段AC上一点，满足 $B D = C D = 2 A D$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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