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相关试卷

1、小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队，游戏规则为：以0为起点，再从 $A_{1}$ ， $A_{2}, A_{3}, A_{4}, A_{5}, A_{6}, A_{7}, A_{8}$ （如图）这8个点中任取两点分别分终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X．若X=0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．
（1）求小波参加学校合唱团的概率；
（2）求X的分布列和数学期望.

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2、小张同学在罚球线投篮4次，每次投进的概率相同，若投进次数恰好为3的概率取得了最大值，则他恰好投进1次的概率是．

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3、在一个大球内放入4个完全相同的小球，任意两个小球都彼此相切，且它们都和大球相切，若每个小球的半径都是1，则大球的表面积为．

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4、已知函数 $f (x) = x + \frac{1}{x}$ 的图象为双曲线，则其焦点坐标为．

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5、对于函数 $f (x) = x^{3} - 3 x + 1$ ，下列说法中正确的是（）

A、有三个零点 B、零点均分布在 $[- 2, 2]$ 内 C、零点为 $2 \cos 40 °$ ， $2 \cos 80 °$ ， $2 \cos 160 °$ D、零点为 $2 \cos 50 °$ ， $2 \cos 70 °$ ， $2 \cos 140 °$

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6、设集合 $S = \{1, 2, \cdot \cdot \cdot, 10\}$ ， A是S的一个子集．若对任意 $a_{i}$ ， $a_{j} \in A (a_{i} \neq a_{j})$ 总有 $|a_{i} - a_{j}| \notin A$ ，则A中元素个数的最大值是（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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7、设函数 $f (x) = \log_{x} (x + 1)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的定义域是 $(0, + \infty)$ B、 $f (x)$ 在定义域上单调递减 C、 $f (x)$ 在点 $(2, f (2))$ 处的切线斜率为 $- \frac{1}{2}$ D、 $\sum_{n = 100}^{9999} \log_{2} f (n) = 1$

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8、下表反映了12月份（共21个工作日）中，李华同学在每天的数学课上携带教材的情况，以及数学课上坐在李华同桌位置的同学，只有梓晴、陈伟和刘瑞可以作为李华的同桌．

日期	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
教材	无	有	有	无	有	有	无	有	有	无	无
同桌	梓晴	陈伟	刘瑞	梓晴	陈伟	刘瑞	梓晴	陈伟	梓晴	梓晴	陈伟
日期（续）		12	13	14	15	16	17	18	19	20	21
教材（续）		有	有	有	无	无	有	有	无	无	有
同桌（续）		刘瑞	梓晴	陈伟	刘瑞	梓晴	陈伟	刘瑞	梓晴	陈伟	刘瑞

从表格信息，我们可以推断（）：（附： $χ^{2} = \frac{N {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ）

A、有不小于95%的把握认为李华与梓晴同桌时上数学课有更大的概率携带教材 B、有不小于99%的把握认为李华与梓晴同桌时上数学课有更大的概率携带教材 C、有不小于95%的把握认为李华与刘瑞、陈伟同桌时上数学课有相等的概率携带教材 D、若强制刘瑞或陈伟与李华同桌，可能一定程度上提升李华上数学课携带教材的概率

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9、《九章算术》中记载：“今有台，上广二尺，下广四尺，高五尺．”其大致意思为：“现有一个棱台，上底面为边长为2的正方形，下底为边长为4的正方形，高为5”，则这个棱台的体积为（）

A、 $\frac{100}{3}$ B、 $\frac{140}{3}$ C、100 D、140

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10、设 $\vec{a} = (2, 1)$ ， $\vec{b} = (- 1, 3)$ ，则 $\tan 〈 \vec{a}, \vec{b} 〉$ 的值为（）．

A、2 B、3 C、 $4 \sqrt{2}$ D、7

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11、圆 $C : x^{2} + y^{2} = 25$ 在点 $(4, 3)$ 处的切线斜率是（）．

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $- \frac{3}{4}$ C、 $- \frac{4}{3}$ D、 $\frac{4}{3}$

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12、若 $2^{m} + 3^{- n} \geq 2^{n} + 3^{- m}$ ，其中m，n均为实数，则（）

A、 $m + n \leq 0$ B、 $m - n \leq 0$ C、 $m - n \geq 0$ D、 $m + n \geq 0$

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13、如图所示，已知 $△ A B C$ 中，点 $P ， Q ， R$ 依次是边 $B C$ 上的三个四等分点，若 $\vec{A P} \cdot \vec{A R} = 20 ， B C = 8$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} =$ （）

A、 $6$ B、 $8$ C、 $10$ D、 $12$

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14、已知函数 $f (x) = a x + 1 - (a x + 1) e^{- x}$ ， $a \in R$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线方程；

(2)、当 $a \geq 1$ 时，证明： $f (x) \geq x$ ；

(3)、当 $a \leq 0$ 时，证明： $f (x) \leq x (1 - a x)$ .

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15、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $(0, 1)$ ，且过定点 $(1, \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

(1)、求椭圆 $E$ 的方程.

(2)、直线 $l$ ： $y = k x + m (k > 0)$ 与椭圆 $E$ 交于点 $A$ ， $B$ ，若椭圆 $E$ 上存在点 $C$ 使得四边形 $O A C B$ 为平行四边形.
（ⅰ）求 $m$ 的取值范围.
（ⅱ）若 $|A B| = \sqrt{3} |O C|$ ，求 $k$ 的值.

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16、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为平行四边形，且 $P D = A B = 2 A D ， ∠ D A B = \frac{π}{3}$ .

(1)、证明： $A D ⊥ P B$ ；

(2)、求平面 $P A B$ 与平面 $P D B$ 夹角的余弦值.

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17、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中，已知 $a_{1} + a_{2} + 3 a_{4} = 25$ ，且公差 $d = 2$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = a_{n} \cdot \sqrt{3^{a_{n} + 1}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18、在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C$ ，侧面 $P A B ⊥$ 侧面 $P B C$ ，且 $P A = 2$ ， $△ A B C$ 的面积为4.若三棱锥 $P - A B C$ 的各个顶点都在球 $O$ 的球面上，则球 $O$ 表面积的最小值为.

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19、已知双曲线 $C$ ： $x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过点 $F_{1}$ 且不与 $x$ 轴重合的直线与 $C$ 的左、右两支分别交于点 $B$ 和点 $A$ ， $A B$ 的中点为 $D$ ，坐标原点为 $O$ ，则下列说法正确的（）

A、 $F_{2}$ 到该双曲线 $C$ 的渐近线的距离为2 B、若 $D F_{2} // O B$ ，则 $|A F_{2}| + |B F_{2}| = 2 |A B|$ C、 $2 |O D| \leq |B F_{1}| + |A F_{2}|$ D、若 $|A F_{2}| = |B F_{2}|$ ，则 $△ A B F_{2}$ 的面积为 $4 \sqrt{2}$

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20、已知 $x = \frac{π}{4}$ 为函数 $f (x) = a sin x + b cos x (a \neq 0, b \neq 0)$ 的其中一条对称轴，则（）

A、 $a = b$ B、 $f (\frac{π}{4} - x)$ 是偶函数 C、 $f (x)$ 在区间 $(- \frac{π}{4}, \frac{π}{4})$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{3 π}{4}, 0)$ 中心对称

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