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相关试卷

1、对于实数 $a$ ， $b$ ， $m$ ，下列说法正确的是（）

A、设 $p$ ： $a m^{2} > b m^{2}$ ， $q$ ： $a > b$ ，则 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件 B、命题“ $\forall x > 1$ ， $x^{2} - x > 0$ ”的否定是“ $\exists x_{0} \leq 1$ ， $x_{0}^{2} - x_{0} \leq 0$ ” C、若 $b > a > 0$ ， $m > 0$ ，则 $\frac{a + m}{b + m} > \frac{a}{b}$ D、若 $a > b > 0$ ，且 $|ln a| = |ln b|$ ，则 $2 a + b$ 的最小值为 $2 \sqrt{2}$

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2、已知不等式 $a e^{x} \leq sin x$ 在区间 $[\frac{π}{4}, \frac{π}{3}]$ 上恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, \frac{\sqrt{3}}{2} e^{- \frac{π}{3}}]$ B、 $(- \infty, \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- \frac{π}{4}}]$ C、 $(- \infty, \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- \frac{π}{3}}]$ D、 $(- \infty, \frac{\sqrt{3}}{2} e^{- \frac{π}{4}}]$

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3、已知直线 $l$ ： $3 x + 4 y + 12 = 0$ 及抛物线 $x^{2} = 8 y$ 上一动点 $M (x_{M}, y_{M})$ ，记 $M$ 到 $l$ 的距离为 $d$ ，则 $y_{M} + d$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、2 C、4 D、 $\sqrt{5} - 2$

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4、已知实数 $a, b$ 满足等式 ${(\frac{1}{2})}^{a} = {(\frac{1}{3})}^{b}$ ，其中不可能成立的关系式为（）

A、 $0 < b < a$ B、 $0 < a < b$ C、 $a < b < 0$ D、 $a = b$

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5、已知双曲线的两条渐近线为 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ ，且过点 $(\sqrt{3}, 2)$ ，则双曲线的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{5} - \frac{y^{2}}{\frac{3}{5}} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ C、 $\frac{y^{2}}{3} - \frac{x^{2}}{9} = 1$ D、 $\frac{y^{2}}{\frac{3}{5}} - \frac{x^{2}}{5} = 1$

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6、某圆台形无盖水桶的表面积为 $220 {πcm}^{2}$ ，水桶下底面的半径为5cm，上底面的半径为10cm，则该水桶的容积为（）（水桶壁与底的厚度忽略不计）

A、 $600 {πcm}^{3}$ B、 $700 {πcm}^{3}$ C、 $800 {πcm}^{3}$ D、 $900 {πcm}^{3}$

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7、若 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（）

A、 $\vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ B、 $\vec{b} + \vec{c}$ ， $\vec{a}$ ， $\vec{c}$ C、 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ ， $\vec{a} - 2 \vec{b}$ ， $\vec{a}$ D、 $\vec{a} + 2 \vec{b} + 2 \vec{c}$ ， $\vec{b} + \vec{c}$ ， $\vec{a}$

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8、在复平面内，复数 $z = \frac{1}{1 + i}$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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9、已知集合 $A = \{y |y = 2^{x}\}$ ， $B = \{x |y = l g (x - 1)\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(0, + \infty)$ B、 $(1, + \infty)$ C、 $(0, 1)$ D、 $\emptyset$

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10、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是直角梯形， $A D ⊥ C D$ ， $A B / / C D$ ， $C D = P D = 2 A D = 2 A B = 2$ ，点 $E$ 是棱 $P C$ 上的动点，且 $\frac{P E}{P C} = λ (0 < λ < 1)$ ．

(1)、若 $λ = \frac{1}{3}$ ，证明： $P A / /$ 平面 $B D E$ ；

(2)、若 $P B$ 与平面 $B D E$ 所成角的正弦值为 $\frac{2}{3}$ ，求 $λ$ 的值．

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11、若直线 $y = \frac{1}{2} x - 1$ 与曲线 $y = ln x + a$ 相切，则实数 $a =$ ．

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12、已知函数 $f (x) = \sqrt{1 - x} sin x + \sqrt{1 + x} cos x$ ， $x \in [0, 1]$ ，此时设 $sin φ = \sqrt{\frac{1 + x}{2}}$ .

(1)、求 $f (0)$ ， $f (1)$ 及 $\sin φ$ 的取值范围；

(2)、求 $f (x)$ 的最大值；

(3)、若 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ， $x_{1} < x_{2}$ ，求证： $x_{1} + x_{2} < \frac{π}{3}$ .

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13、设 $a \in R$ ， $A = [a, + \infty)$ ，函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x (x - a), x \in A \\ x (a - x), x \notin A \end{array}$ ，对于集合 $P \subseteq R$ ，记 $f [P] = {f (x) | x \in P}$ .

(1)、若 $a = 2$ ，求 $f [A]$ 和 $f [∁_{R} A]$ ；

(2)、已知 $a > 0$ ，设 $B = [b, + \infty)$ ，若 $f [A] = f [B]$ ，求 $b$ 的最小值；

(3)、若 $\forall P \subseteq R$ ，都有 $∁_{R} f [P] = f [∁_{R} P]$ ，求 $a$ .

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14、已知函数 $f (x) = 2^{x} + a \cdot 2^{- x}$ 满足 $f (0) = f (2)$ .

(1)、证明： $\forall x \in R$ ， $f (x) = f (2 - x)$ ；

(2)、求 $f (x)$ 的单调区间（不要求证明）；

(3)、若 $f (x + 1) \geq f (\frac{3}{2})$ ，求 $x$ 的取值范围.

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15、对于实数 $a < b$ ，规定区间 $(a, b)$ ， $[a, b)$ ， $(a, b]$ ， $[a, b]$ 的长度均等于 $b - a$ .

(1)、若集合 $A = {x | | x + 1 ∣\leq 2}$ ， $B = \{x ∣ \frac{x - 2}{x} < 0\}$ ，求 $A \cup B$ 的区间长度；

(2)、若函数 $f (x) = \sqrt{{log}_{0.5} (4 x - 3)}$ 的定义域为区间 $C$ ，求 $C$ 的区间长度.

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16、已知函数 $f (x) = sin x cos x$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、求 $f (x)$ 的单调递增区间.

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17、若函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} (x - a) (x - 2 a), x < 1, \\ {log}_{2} (x + 1) + a, x \geq 1 \end{array}$ 恰有2个零点，则 $a$ 的取值范围为.

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18、已知 $sin (\frac{π}{6} + θ) = \frac{3}{5}$ ， $\frac{π}{3} < θ < \frac{5 π}{6}$ ，则 $cos θ =$ .

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19、 $4^{\frac{1}{2}} + lg 10 =$ .

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20、已知正方形 $A B C D$ 的边长为1， $M$ ， $N$ 分别是边 $A B$ ， $A D$ 上的动点（不含端点），记 $A M = a$ ， $A N = b$ ， $M N = c$ ， $∠ M C N = θ$ ，则（）

A、若 $θ$ 为定值，则 $a$ 是关于 $b$ 的减函数 B、若 $a$ 为定值，则 $θ$ 是关于 $b$ 的增函数 C、若 $a + b = 1$ ，则 $tan θ = \frac{3}{4}$ D、若 $a + b + c = 2$ ，则 $θ = \frac{π}{4}$

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