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相关试卷

1、已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上一点 $P (\sqrt{2}, \frac{3 \sqrt{2}}{2})$ 到两焦点的距离之和为 $4 \sqrt{2}$ ．

(1)、求椭圆C的方程．

(2)、不经过点 $Q (2, 0)$ 的直线l与x轴垂直，与椭圆C交于A，B两点，若直线BQ与椭圆C的另一交点为D，则直线AD是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

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2、图1是直角梯形ABCD， $A B / / C D$ ， $∠ D = 90 °$ ， $A B = 2$ ， $D C = 3$ ， $A D = \sqrt{3}$ ， $D E = 1$ ，以 $B E$ 为折痕将 $△ B C E$ 折起，使点 $C$ 到达点 $C_{1}$ 的位置，且二面角 $A - E B - C_{1}$ 的平面角为 $120^{°}$ ，如图2．

(1)、证明： $A C_{1} ⊥ B E$ ．

(2)、求平面 $C_{1} A D$ 与平面 $C_{1} B E$ 夹角的余弦值．

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3、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差为整数，其前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} = 95$ ， $S_{47} > 0$ ， $S_{49} < 0$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${\frac{1}{(a_{n} - 90) (a_{n + 1} - 90)}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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4、已知动点M到点 $(- 10, 0)$ 的距离比它到直线 $x - 12 = 0$ 的距离小2，记动点M的轨迹为C．

(1)、求C的方程；

(2)、直线l与C相交于A，B两点，若线段AB的中点坐标为 $(- 6, - 4)$ ，求直线l的方程．

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5、若正整数m，n的公约数只有1，则称m，n互质．对于正整数n， $φ (n)$ 是小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数．函数 $φ (n)$ 以其首名研究者欧拉的名字命名，称为欧拉函数，例如 $φ (3) = 2$ ，则 $φ (9) =$ ．若数列 $\{\frac{φ (2^{n})}{φ (3^{n})}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{n} =$ ．

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6、在空间四边形OABC中， $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，且 $\vec{A M} = 2 \vec{M C}$ ， $\vec{O N} = 4 \vec{N B}$ ，则 $\vec{M N} =$ ．（用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 作基底）

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7、已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{33} = 1$ 的两个焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，双曲线C上有一点P，若 $|P F_{1}| = 10$ ，则 $|P F_{2}| =$ ．

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8、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E，F分别是棱 $B_{1} C_{1}$ ， $C_{1} D_{1}$ 的中点，P在线段 $B_{1} D_{1}$ 上，Q在底面 $A B C D$ 内，则下列结论正确的是（）

A、三棱锥 $P - Q E F$ 的体积为定值 $\frac{1}{3}$ B、若 $P Q / /$ 平面 $C E F$ ，则点Q的轨迹长度为 $\sqrt{2}$ C、存在 $P Q ⊥$ 平面 $C E F$ D、平面 $C E F$ 截以P为球心，PQ长为半径的球所得的截面面积的取值范围为 $[\frac{32 π}{9}, \frac{104 π}{9}]$

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9、已知圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} - 6 x + 8 y = 0$ 与直线 $l$ ： $3 x - 4 y + 10 = 0$ ，点 $P$ 在圆 $C$ 上，点 $Q$ 在直线 $l$ 上，则（）

A、直线 $l$ 与圆 $C$ 相离 B、过点 $(1, - 1)$ 的直线被圆 $C$ 截得的弦长的最小值为 $2 \sqrt{3}$ C、 ${|P Q|}_{\min} = 2$ D、从点 $Q$ 向圆 $C$ 引切线，切线长的最小值是 $2 \sqrt{6}$

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10、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差 $d \neq 0$ ，等比数列 $\{b_{n}\}$ 的公比 $q \neq 1$ ，则下列选项正确的是（）

A、若 $d > 0$ ，则 $\{a_{n}\}$ 单调递增 B、若 $q > 1$ ，则 $\{b_{n}\}$ 单调递增 C、 $\{a_{n}^{2}\}$ 可能为等差数列 D、 $\{|b_{n}| + 1\}$ 可能为等比数列

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11、已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，右顶点为A，上顶点为B，P为线段AB上一点，直线 $F_{2} P$ 与直线 $F_{1} B$ 交于点Q，若 $\vec{Q F_{1}} = 2 \vec{Q B}$ ，且 $∠ Q F_{1} F_{2} = ∠ Q P B$ ，则椭圆C的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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12、已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，焦距为2c，直线l： $3 x + 4 y + 3 c = 0$ 与双曲线C的右支交于点P，若 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内切圆半径为 $\frac{8 c}{15}$ ，则双曲线C的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{3}{4} x$ B、 $y = \pm \frac{4}{3} x$ C、 $y = \pm \frac{3}{5} x$ D、 $y = \pm \frac{5}{4} x$

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13、对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋科学家沈括首创的“隙积术”就与高阶等差级数求和有关.现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第 $n$ 层货物的个数为 $a_{n}$ ，则 $a_{19} =$ （）

A、210 B、209 C、211 D、207

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14、若直线 $2 x + (m - 1) y + 4 = 0$ 与 $m x + 3 y + 6 = 0$ 互相平行，则 $m =$ （）

A、 $- 2$ B、3 C、 $- 2$ 或3 D、 $- 3$

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15、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} = sin (\frac{n π}{2} + \frac{π}{6})$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{2025} =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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16、已知点 $M$ 是点 $N (6, 7, 8)$ 在坐标平面 $x O z$ 内的射影，则 $|\vec{O M}| =$ （）

A、 $\sqrt{85}$ B、10 C、 $\sqrt{113}$ D、100

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17、已知数列 $1, - 3, 5, - 7, 9, \dots$ ，则该数列的第211项为（）

A、 $- 421$ B、421 C、 $- 423$ D、423

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18、若函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + 4 a x + 5, x \leq 2 \\ 2 a x + 1, x > 2 \end{array}$ 是 $R$ 上的减函数，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[- 2, - 1]$ B、 $[- 2, 0)$ C、 $(- \infty, - 1]$ D、 $[- 1, 0)$

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19、已知函数 $f (x) = a x - \ln (\ln x)$ ．

(1)、当 $a = \frac{1}{e}$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若对任意 $x \in [e, + \infty)$ ，都有 $f (x) + \ln a \geq 0$ 成立，求a的取值范围．

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20、已知函数 $f (x) = \frac{1 - x}{a x} + ln x$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 在 $[1, + \infty)$ 上是增函数，求正实数 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 在 $[\frac{1}{2}, 2]$ 上的最大值和最小值；

(3)、当 $a = 1$ 时，对任意的正整数 $n (n > 1)$ ，求证： $f (\frac{n}{n - 1}) > 0$ .

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