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相关试卷

1、在三角函数领域，为了三角计算的简便并且追求计算的精确性，曾经出现过以下两种少见的三角函数：定义 $1 - cos θ$ 为角 $θ$ 的正矢（ $V e r \sin e$ 或 $V e r s e d \sin e$ ），记作 $ver \sin θ$ ；定义 $1 - sin θ$ 为角 $θ$ 的余矢（Coversed或coversedsine），记作 $covers θ$ ．

(1)、设函数 $f (x) = \sqrt{3} ver \sin x + cov ers x - 1 - \sqrt{3}$ ，求函数 $f (x)$ 的单调递减区间；

(2)、当 $x \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ 时，设函数 $g (x) = \{\begin{array}{l} \sqrt{2 - versin 2 x}, versin x \leq covers x \\ 2 - |covers 2 x|, versin x > covers x \end{array}$ ，若关于 $x$ 的方程 $g (x) = k$ 的有三个实根 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，则：
①求实数 $k$ 的取值范围；
②求 $\frac{k + 1}{versin 4 x_{3} + 3 k} + covers (x_{1} + x_{2})$ 的取值范围．

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2、如图，在锐角 $△ A B C$ 中， $2 B D = C D, A E = D E, \vec{A B} = λ \vec{A P}, \vec{A C} = μ \vec{A Q}, A B = 4, A C = 3$ ， $S_{△ A B C} = 3 \sqrt{3}$ ；

(1)、用 $\vec{A B}, \vec{A C}$ 表示 $\vec{A D}$ ；

(2)、若 $λ = 2 μ$ ，求 $P Q$ 的长度；

(3)、当 $\frac{1}{λ} + \frac{2}{μ}$ 取最小值时，求 $\vec{A D} \cdot \vec{P Q}$ ．

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3、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，且 $2 b sin C - a sin B = b tan B cos A$ ．

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $△ A B C$ 的周长为8，外接圆的面积为 $3 π$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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4、如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中， $C D = 4 \sqrt{3}, B C = 2 \sqrt{3}, ∠ B D C = 30 °, B C ⊥ A D$ ．

(1)、求证：平面 $B C D ⊥$ 平面 $A B D$ ；

(2)、当 $A B = A D = 4$ 时，求二面角 $A - B C - D$ 的正弦值．

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5、已知 $α \in (0, π), \sin α + \cos α = \frac{1}{5}$ ．

(1)、求 $tan (α + \frac{π}{4})$ 的值；

(2)、若 $β \in (0, \frac{π}{2}), tan β = \frac{1}{2}$ ，求 $cos (α + β)$ 的值．

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6、若存在实数 $m$ ，使得对于任意的 $x \in [a, b]$ ，不等式 $m^{2} + sin x cos x \leq 2 cos (x + \frac{π}{4}) \cdot m$ 恒成立，则 $b - a$ 的最大值为．

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7、如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到达 $A$ 处时测得公路右侧一山底 $C$ 在西偏北 $30 °$ 的方向上；行驶 $100 m$ 后到达 $B$ 处，测得此山底 $C$ 在西偏北 $75 °$ 的方向上，山顶 $D$ 的仰角为 $60 °$ ，则此山的高度 $C D =$ $m$ ．

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8、 $△ A B C$ 按斜二测画法得到 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，如图所示，其中 $A^{'} O^{'} = B^{'} O^{'} = C^{'} O^{'} = 1$ ，那么 $△ A B C$ 的面积为．

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9、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，下列说法正确的是（）

A、直线 $A C_{1}$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正切值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、若点 $P$ 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 表面上运动且满足 $C_{1} P = \frac{\sqrt{6}}{2}$ ，则点 $P$ 的轨迹的长度为 $\frac{\sqrt{2}}{4} π$ C、四棱锥 $B_{1} - A B C D$ 与四棱锥 $C_{1} - A B C D$ 公共部分的体积为 $\frac{5}{24}$ D、设直线 $A C_{1}$ 与平面 $A_{1} B D$ 交于点 $M$ ，则三棱锥 $M - A_{1} B_{1} B$ 外接球的表面积为 $3 π$

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10、已知 $z_{1}, z_{2}$ 是复数，则下列说法正确的是（）

A、若 $z_{1} \cdot z_{2} = 0$ ，则 $z_{1} = 0$ 或 $z_{2} = 0$ B、若 $z_{1} - z_{2} > 0$ ，则 $z_{1} > z_{2}$ C、若 $z_{1}^{2} + z_{2}^{2} = 0$ ，则 $z_{1} = z_{2} = 0$ D、若 $z = \sqrt{3} (cos θ + isin θ)$ ，则 $|z - 2 - 4 i|$ 的最大值为 $2 \sqrt{5} + \sqrt{3}$

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11、在 $△ A B C$ 中， $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ， $a = 2$ ， $A = \frac{π}{6}$ ，若 $△ A B C$ 有两个解，则 $b$ 的值可以为（）

A、2 B、3 C、4 D、 $\sqrt{5}$

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12、 $△ A B C$ 中， $A B = \sqrt{2}$ ，点 $P$ 为 $△ A B C$ 平面内一点，且 $\vec{P B} \cdot \vec{B C} = - \frac{1}{2}, \vec{P C} \cdot \vec{B C} = \frac{1}{2}, O 、 H$ 分别为 $△ A B C$ 的外心和内心，当 $tan ∠ B A C$ 的值最大时， $O H$ 的长度为（）

A、 $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、1

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13、已知 $\sqrt{2} tan (\frac{π}{4} - α) = \frac{1}{cos (α + \frac{π}{4})}$ ，则 $sin 2 α =$ （）

A、 $- 1$ B、0 C、 $\frac{2}{3}$ D、1

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14、柳编技艺在我国已有上千年的历史，如今柳编产品已经选入国家非物质文化遗产名录．如图，若柳条编织的米斗可近似看作上底面圆半径为2，下底面圆半径为1，体积为 $14 π$ 的圆台，则该圆台的侧面积为（）

A、 $3 \sqrt{37} π$ B、 $6 \sqrt{37} π$ C、 $(3 \sqrt{37} + 1) π$ D、 $(3 \sqrt{37} + 4) π$

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15、要得到函数 $y = \frac{1}{2} sin 2 x - \frac{\sqrt{3}}{2} cos 2 x$ 的图象，只需将函数 $y = {cos}^{2} x - {sin}^{2} x$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{5 π}{6}$ 个单位长度 B、向右平移 $\frac{5 π}{6}$ 个单位长度 C、向左平移 $\frac{5 π}{12}$ 个单位长度 D、向右平移 $\frac{5 π}{12}$ 个单位长度

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16、点 $M$ 满足向量 $2 \vec{O M} = 3 \vec{O A} - \vec{O B}$ ，则点 $M$ 与 $A B$ 的位置关系是（）

A、点 $M$ 为线段 $A B$ 的中点 B、点 $M$ 在线段 $A B$ 延长线上 C、点 $M$ 在线段 $B A$ 的延长线上 D、点 $M$ 不在直线 $A B$ 上

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17、已知 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (- 1, 1)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $(\frac{1}{2}, 1)$ B、 $(\frac{1}{2}, - \frac{1}{2})$ C、 $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ D、 $(2, 4)$

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18、已知复数 $z = \frac{2}{1 - i}$ ，则 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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19、在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = 6$ ， $∠ A C B$ 的平分线交AB于点D， $A D = 2 D B$ .平面α过直线AB，且与 $△ A B C$ 所在的平面垂直.

(1)、求直线CD与平面 $α$ 所成角的大小；

(2)、设点 $E \in α$ ，且 $∠ E C D = 30 °$ ，记E的轨迹为曲线Γ.
（i）判断Γ是什么曲线，并说明理由；
（ii）不与直线AB重合的直线l过点D且交Γ于P，Q两点，试问：在平面α内是否存在定点T，使得无论l绕点D如何转动，总有 $∠ P T C = ∠ Q T C$ ？若存在，指出点T的位置；若不存在，说明理由.

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20、定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”，例如：数列1，3，5经过第一次“和扩充”后得到数列 $1, 4, 3, 8, 5$ ；第二次“和扩充”后得到数列 $1, 5, 4, 7, 3, 11, 8, 13, 5$ .设数列 $a, b, c$ 经过 $n$ 次“和扩充”后得到的数列的项数为 $P_{n}$ ，所有项的和为 $S_{n}$ .

(1)、若已知数列 $3, 4, 5$ ，求 $P_{2}, S_{2}$ ；

(2)、求不等式 $P_{n} \geq 2049$ 的解集；

(3)、是否存在不全为0的数列 $a, b, c (a, b, c \in R)$ ，使得数列 $\{S_{n}\}$ 为等差数列？请说明理由.

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