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相关试卷

1、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 中的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{2}$ ， $a_{5}$ ， $a_{14}$ 成等比数列， $S_{5} = 25$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若数列 $\{a_{n}\}$ 为递增数列，记 $b_{n} = 2^{n} \cdot a_{n}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项的和 $T_{n}$ ．

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2、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1, a_{n + 1} - a_{n} = 2 n (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = 2^{a_{n} - n^{2}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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3、已知函数 $f (x) = a \ln x - \frac{1}{2} x^{2}$ ， $(a \in R)$ ，在 $x = 1$ 处的切线与直线 $y = x + 1$ 平行.
（1）求实数 $a$ 的值；
（2）求函数 $f (x)$ 的极值.

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4、记 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $4 S_{3} = S_{2} + S_{6}, a_{2} = 2$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = a_{n}^{\frac{1}{a_{n}}}$ ，当 $b_{n}$ 最大时， $n$ 的值为.

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5、有4人到甲､乙､丙三所学校去应聘，若每人恰被一所学校录用，每所学校至少录用其中1人，则所有不同的录用情况种数为.（用数字作答）

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6、已知正项数列 $\{a_{n}\}$ 是递增的等差数列， $\{b_{n}\}$ 是公比为 $q$ 的等比数列，且满足 $a_{1} = b_{1}$ ， $a_{5} = b_{5}$ ，则（）

A、 $a_{6} > a_{3}$ B、 $b_{3} > b_{1}$ C、 $a_{3} > b_{3}$ D、 $a_{6} < b_{6}$

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7、高三（2）班某天安排6节课，其中语文、数学、英语、物理、生物、地理各一节，若要求物理课比生物课先上，语文课与数学课相邻，则编排方案共有（）

A、42种 B、96种 C、120种 D、144种

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8、在等比数列 $\{a_{n}\}$ 中，若 $a_{1} = 27$ ， $a_{5} = \frac{1}{3}$ ，则 $a_{3} =$ （）

A、 $3$ 或 $- 3$ B、 $3$ C、 $- 9$ 或 $9$ D、 $9$

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9、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} = 4$ .

(1)、证明： $a b \geq \frac{1}{2}$

(2)、求 $2 a + b$ 的最小值.

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10、已知 $a > b > c$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $a c^{2} > b c^{2}$ B、 $a - b > b - c$ C、 $a b > b c$ D、 $\frac{1}{a - c} < \frac{1}{b - c}$

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11、如图是 $f (x) = \sin (w x + φ)$ （ $w > 0$ ， $0 < φ < π$ ）的部分图象，则正确的是（）

A、 $φ = \frac{π}{3}$ B、函数在 $(\frac{π}{12}, \frac{π}{2})$ 上无最小值， C、 $f (\frac{π}{15}) = f (\frac{4π}{15})$ D、在 $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ 上， $f (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ 有3个不同的根.

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12、根据下列条件，分别求出直线的一般式方程：

(1)、经过点 $A (2, 4)$ ，平行于直线 $l : 3 x - y + 1 = 0$ ；

(2)、经过点 $A (2, 4)$ ，点 $B (- 1, 1)$ .

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13、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，定义向量 $\vec{O A} = (m, n)$ 为函数 $f (x) = m \sin x + n \cos x$ 的有序相伴向量.

(1)、设 $\vec{O A} = (\sqrt{3}, 1)$ 为函数 $g (x) = sin (x + φ) - cos (\frac{4 π}{3} - x) (|φ| < \frac{π}{2})$ 的有序相伴向量，求实数 $φ$ 的值；

(2)、若 $f (x)$ 的有序相伴向量为 $\vec{O B} = (0, 1)$ ，若函数 $h (x) = f (x) + \sqrt{3} |\sin x|$ ， $x \in [0, 2 π]$ 与直线 $y = k$ 有且仅有四个不同的交点，求实数 $k$ 的取值范围；

(3)、将（1）中所得函数 $g (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 得到函数 $F (x)$ .已知 $M (- 2, 3)$ ， $N (2, 6)$ ，请问在函数 $F (x)$ 图象上是否存在一点 $F$ ，使得 $\vec{F M} ⊥ \vec{F N}$ 成立.若存在，求出 $F$ 点的坐标；若不存在，请说明理由.

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14、如图所示，红星高级中学要在一块扇形空地上修建一个矩形花园，矩形 $C D E F$ 的四个顶点均在边界上，扇形 $A O B$ 的半径 $O A = 30 m$ ， $∠ A O B = 60 °$ ， $∠ C D O = θ$ ， $D O$ ， $E O$ 分别交 $C F$ 于 $H$ ， $G$ .

(1)、当 $θ = \frac{π}{12}$ 时，求边 $D E$ 的长；

(2)、当矩形 $C D E F$ 的面积 $S$ 取最大值时，求 $\frac{H O}{D O}$ 的值.

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15、已知平面向量 $\vec{a}$ 和非零向量 $\vec{b}$ ， $|\vec{a}| = 2$ ， $|\vec{a} - \vec{b}| = 2$ ， $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ = 60 °$ .

(1)、求 $|\vec{b}|$ 及 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ；

(2)、求 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + \vec{b}$ 的夹角 $θ$ .

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16、函数 $f (x) = 2 sin (ω x + φ) (ω > 0, 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则 $f (\frac{π}{4}) =$ .

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17、已知向量 $\vec{a} = (- m, 4), \vec{b} = (m - 1, - 2)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $|\vec{b}| =$ .

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18、已知等边 $△ A B C$ 的边长为3，点 $D$ ， $E$ 为边 $A C$ 的两个三等分点，点 $D$ 靠近点 $A$ ，点 $G$ 在线段 $A B$ 上运动，设 $|\vec{B E} + \vec{D G}|$ 的最大值为 $M$ ，最小值为 $N$ ，则 $M^{2} + 4 N^{2} =$ （）

A、8 B、10 C、19 D、 $\frac{115}{4}$

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19、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，由 $A_{1}$ ， $C_{1}$ ， $B$ ， $D$ 四个点为顶点的正四面体 $B - A_{1} C_{1} D$ 的表面积为 $a^{2}$ ，则该正方体的表面积为（）

A、 $\sqrt{2} a^{2}$ B、 $\sqrt{3} a^{2}$ C、 $2 a^{2}$ D、 $\sqrt{6} a^{2}$

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20、已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 为平面内两个不共线向量， $\vec{A B} = 2 \vec{a} - \vec{b}$ ， $\vec{D C} = 3 \vec{a} - \vec{b}$ ， $\vec{D B} = - \vec{a} + \vec{b}$ ，则下列三点一定共线的是（）

A、 $A$ ， $B$ ， $C$ B、 $A$ ， $B$ ， $D$ C、 $A$ ， $C$ ， $D$ D、 $B$ ， $C$ ， $D$

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