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相关试卷

1、已知 $α \in \{- 2, - 1, \frac{1}{2}, 1, 2\}$ ，若函数 $y = x^{α}$ 在 $(0, + \infty)$ 上 $y$ 随 $x$ 增大而减小，且图像关于 $y$ 轴对称，则 $α =$ .

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2、函数 $f (x) = \sqrt{x} + \frac{1}{x - 1}$ 的定义域为．

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3、已知函数 $f (x)$ 是偶函数，若在 $(0, + \infty)$ 上单调递增， $f (1) = 0$ ，则 $\frac{f (x)}{x} < 0$ 的解集为（）

A、 $(- 1, 0) \cup (1, + \infty)$ B、 $(- \infty, - 1) \cup (0, 1)$ C、 $(- \infty, - 1) \cup (1, + \infty)$ D、 $(- 1, 0) \cup (0, 1)$

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4、函数 $y = \frac{x a^{x}}{|x|} (0 < a < 1)$ 的图象大致形状为（）

A、 B、 C、 D、

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5、“ $a > 1$ ”是“ $\frac{1}{a} < 1$ ”的（）条件

A、充要 B、充分不必要 C、必要不充分 D、既不充分也不必要

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6、下列函数既是奇函数又在区间 $(0, 1)$ 上单调递减的是（）

A、 $y = \frac{1}{x}$ B、 $y = - | x |$ C、 $y = x^{3}$ D、 $y = - x^{2} + 1$

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7、已知集合 $A = \{0\}$ ， $B = \{- 1, 0, 1\}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $A = \emptyset$ B、 $A \in B$ C、 $A \cap B = {0}$ D、 $A \cup B = \{0\}$

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8、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，右顶点为 $A$ ，上顶点为 $B$ ，点 $O$ 为坐标原点，线段 $O A$ 的中点恰好为 $F$ ，点 $F$ 到直线 $A B$ 的距离为 $\frac{\sqrt{21}}{7}$ ．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、设点 $E$ 在直线 $x = 4$ 上，过 $F$ 作 $E F$ 的垂线交椭圆 $C$ 于 $M, N$ 两点．记 $△ M O E$ 与 $△ N O E$ 面积分别为 $S_{1}, S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的值．

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9、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P C ⊥$ 底面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为菱形， $∠ B A D = 60 °$ ， $A B = P C = 2, M, N$ 分别为 $P D, P B$ 的中点.

(1)、证明： $M N ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、求二面角 $C - P B - D$ 的正弦值.

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10、随机数表是人们根据需要编制出来的，由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字组成，表中每一个数都是用随机方法产生的，随机数的产生方法主要有抽签法、抛掷骰子法和计算机生成法．现有甲、乙、丙三位同学合作在一个正二十面体（如图）的各面写上0~9这10个数字（相对的两个面上的数字相同），这样就得到一个产生0~9的随机数的骰子．依次投掷这个骰子，并逐个记下朝上一面的数字，就能按顺序排成一个随机数表，若甲、乙、丙依次投掷一次，按顺序记下三个数，三个数恰好构成等差数列的概率为．

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11、中国传世数学著作《九章算术》卷五“商功”主要讲述了以立体问题为主的各种形体体积的计算公式.例如在推导正四棱台（古人称方台）体积公式时，将正四棱台切割成九部分进行求解.下图（1）为俯视图，图（2）为立体切面图. $E$ 对应的是正四棱台中间位置的长方体， $B, D, H, F$ 对应四个三棱柱， $A, C, I, G$ 对应四个四棱锥.若这四个三棱柱的体积之和为12，四个四棱锥的体积之和为4，则该正四棱台的体积为.

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12、 ${(\sqrt{x} - \frac{a}{x^{2}})}^{5}$ 的展开式中的常数项是10，则 $a =$ .

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13、已知复数 $z = a - i (a \in R)$ ，且 $\frac{6 i}{z}$ 的虚部为3，则（）

A、 $a = 1$ B、 $|\frac{3}{z}| = 2 \sqrt{2}$ C、 $(z + 2) \cdot (1 - 3 i)$ 为纯虚数 D、 $\frac{2 + i}{z + 2}$ 在复平面内对应的点在第二象限

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14、已知抛物线 $C : y^{2} = 8 x$ ，圆 $F : {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4$ ，直线 $l : y = k (x - 2) (k \neq 0)$ 自上而下顺次与上述两曲线交于 $M_{1}, M_{2}, M_{3}, M_{4}$ 四点，则下列各式结果为定值的是

A、 $| M_{1} M_{3} | \cdot | M_{2} M_{4} |$ B、 $| F M_{1} | \cdot | F M_{4} |$ C、 $| M_{1} M_{2} | \cdot | M_{3} M_{4} |$ D、 $| F M_{1} | \cdot | M_{1} M_{2} |$

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15、已知曲线 $y = e^{x} (a x - \ln x)$ 在点 $(1, a e)$ 处的切线方程为 $y = k x$ ，则 $k =$ （）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、 $e$

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16、已知向量 $\vec{a} = (- 1, 2)$ ， $\vec{b} = (3, λ)$ ，若 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 与 $2 \vec{a} - \vec{b}$ 平行，则实数 $λ$ 的值为（）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、6 D、 $- 6$

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17、已知集合 $A = {x | - 27 < x^{3} < 8}$ ， $B = {x | | x - 2 | \leq 3, x \in Z}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 0\}$ B、 $\{0, 1\}$ C、 $\{- 1, 0, 1\}$ D、 $\{0, 1, 2\}$

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18、已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的准线方程为 $x = - 1$ ．

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、直线 $l$ ： $y = x - 1$ 交抛物线 $C$ 于 $A$ 、 $B$ 两点，求弦长 $|A B|$ ．

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19、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} a x^{2} - (2 a + 1) x + 2 \ln x + 4 a (a > 0)$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、设 $g (x) = x^{2} - 2 x$ ，若对任意 $x_{1} \in (0, 2]$ ，均存在 $x_{2} \in (0, 2]$ ，使得 $f (x_{1}) < g (x_{2})$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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20、定义在R上的奇函数 $f (x)$ ，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = - x^{2} + 4 x$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、当 $f (x)$ 的定义域为 $[a, b]$ （ $a \geq 0$ ）时， $f (x)$ 的值域为 $[a, b]$ ，求 $a, b$ 的取值.

(3)、是否存在实数 $a, b$ ，使得当 $f (x)$ 的定义域为 $[a, b]$ 时， $f (x)$ 的值域为 $[\frac{8}{b}, \frac{8}{a}]$ ，如果存在，求出 $a, b$ 的值；若不存在，请说明理由.

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