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相关试卷

1、设 $O x, O y, O z$ 是空间中两两夹角均为 $θ (θ \in (0, \frac{π}{2}])$ 的三条数轴， $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}, \vec{e_{3}}$ 分别是与 $x, y, z$ 轴正方向同向的单位向量，若 $\vec{O P} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}} + z \vec{e_{3}} (x, y, z \in R)$ ，则把有序数对 ${(x, y, z)}_{θ}$ 叫作向量 $\vec{O P}$ 在坐标系 $O x y z$ 中的坐标，则下列结论正确的是（）

A、若向量 $\vec{a} = {(- 1, 3, - 7)}_{θ}$ ，向量 $\vec{b} = {(3, - 2, 4)}_{θ}$ ，则 $\vec{a} + \vec{b} = {(2, 1, - 3)}_{θ}$ B、若向量 $\vec{a} = {(2, 6, - 3)}_{\frac{π}{2}}$ ，向量 $\vec{b} = {(3, - 1, 0)}_{\frac{π}{2}}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ C、若 $|5 \vec{e_{1}} - λ \vec{e_{2}}|$ 的最小值为 $\frac{5}{2} (λ \in R)$ ，则 $θ = \frac{π}{6}$ D、若向量 $\vec{O A} = {(1, 0, 0)}_{\frac{π}{3}}$ ，向量 $\vec{O B} = {(0, 1, 0)}_{\frac{π}{3}}$ ，向量 $\vec{O C} = {(0, 0, 1)}_{\frac{π}{3}}$ ，则二面角 $O - A B - C$ 的余弦值为 $\frac{1}{3}$

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2、古希腊数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值m（ $m > 0$ 且 $m \neq 1$ ）的点的轨迹是圆”．人们将这个圆以他的名字命名为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系xOy中， $A (- 2, 0)$ ， $B (4, 0)$ ，点P满足 $\frac{|P A|}{|P B|} = \frac{1}{2}$ ．设点P的轨迹为C，则下列结论正确的是（）

A、轨迹C的方程为 ${(x + 4)}^{2} + y^{2} = 16$ B、轨迹C与圆M： ${(x - 2)}^{2} + {(y - 8)}^{2} = 36$ 有两条公切线 C、轨迹C与圆O： $x^{2} + y^{2} = 2$ 的公共弦所在直线方程为 $x = - \frac{1}{4}$ D、当A，B，P三点不共线时，射线PO是∠APB的平分线

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3、下面四个结论中正确的是（）

A、若对空间中任一点 $O$ ，有 $\vec{O P} = \frac{1}{6} \vec{O A} + \frac{1}{2} \vec{O B} + \frac{1}{3} \vec{O C}$ ，则 $P, A, B, C$ 四点共面 B、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$ ，则向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角是锐角 C、点 $P (- 1, 2, 3)$ 关于 $x O y$ 平面对称的点的坐标是 $(- 1, 2, - 3)$ D、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 2, |\vec{a} - 2 \vec{b}| = 4$ ，且 $(\vec{b} + 2 \vec{a}) \cdot \vec{b} = 0$ ，则 $|\vec{b}| = 2$

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4、《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的鳖臑 $A - B C D$ 中， $A B ⊥$ 平面 $B C D$ ， $∠ B D C = 90 °$ ， $B D = 2 A B = 2 C D = 2$ ， E是BC的中点，H是 $△ A B D$ 内的动点（含边界），且 $E H / /$ 平面 $A C D$ ，则 $\vec{C A} \cdot \vec{E H}$ 的取值范围是（）

A、 $[0, 3]$ B、 $[\frac{1}{2}, 3]$ C、 $[\frac{1}{2}, \frac{11}{2}]$ D、 $[3, \frac{11}{2}]$

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5、已知不同两点 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ 在曲线 $y = \sqrt{- {(x - 2)}^{2} + 1}$ 上，且满足 $\frac{y_{1} + 1}{x_{1}} = \frac{y_{2} + 1}{x_{2}}$ ，则直线AB斜率的取值范围是（）

A、 $(\frac{4}{3}, + \infty)$ B、 $[1, \frac{4}{3})$ C、 $[1, \frac{4}{3}]$ D、 $(0, \frac{4}{3})$

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6、如图，在棱长为3的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E$ 是棱 $C D$ 上的一点，且 $D E = 2 E C$ ，则点 $B_{1}$ 到平面 $A E C_{1}$ 的距离为（）

A、 $\frac{6 \sqrt{14}}{7}$ B、 $\frac{3 \sqrt{14}}{7}$ C、 $\frac{2 \sqrt{7}}{7}$ D、 $\frac{\sqrt{7}}{7}$

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7、将一枚骰子先后抛掷两次，若先后出现的点数分别记为a，b，则直线 $a x + b y + 2 \sqrt{5} = 0$ 到原点的距离不超过1的概率是（）

A、 $\frac{11}{36}$ B、 $\frac{5}{12}$ C、 $\frac{25}{36}$ D、 $\frac{7}{12}$

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8、如图，在正三棱锥 $P - A B C$ 中，点 $G$ 为 $△ A B C$ 的重心，点 $M$ 是线段 $P G$ 上的一点，且 $P M = 3 M G$ ，记 $\vec{P A} = \vec{a}, \vec{P B} = \vec{b}, \vec{P C} = \vec{c}$ ，则 $\vec{A M} =$ （）

A、 $- \frac{3}{4} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{c}$ B、 $- \frac{3}{4} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{c}$ C、 $- \frac{1}{4} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{c}$ D、 $- \frac{1}{4} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{c}$

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9、已知 $\overset{⃑}{a}$ 为平面α的法向量， A，B是直线 $b$ 上的两点，则 $\overset{⃑}{a}$ · $\overset{⃑}{A B}$ =0是直线b∥α的（）条件

A、必要不充分 B、充分不必要 C、充要 D、既不充分又不必要

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10、设 $x \in R$ ，向量 $\vec{a} = (x, 1, 1), \vec{b} = (1, - 2, 1)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b}| =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $4$ D、 $3$

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11、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $△ P A D$ 是以 $A D$ 为斜边的等腰直角三角形， $B C // A D$ ， $C D ⊥ A D$ ， $A D = 2 D C = 2 C B = 2$ ， $E$ 为 $P D$ 的中点.

(1)、证明： $C E //$ 平面 $P A B$ ；

(2)、若 $∠ P A B = 60 °$ ，求平面 $P A B$ 与平面 $P B C$ 的夹角的余弦值.

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12、某工厂引进了一条生产线，为了解产品的质量情况，现从生产线上随机抽取100件产品，测量其技术参数，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)、由频率分布直方图，估计样本技术参数的平均数和75%分位数（精确到0.1）；

(2)、现从技术参数位于区间 $[40 ， 50)$ ， $[50 ， 60)$ ， $[60 ， 70)$ 的三组中，采用分层抽样的方法抽取6件产品，再从这6件产品中任选3件产品，记事件 $A =$ “这3件产品中技术参数位于区间 $[40 ， 50)$ 内的产品至多1件”，事件 $B =$ “这3件产品中技术参数位于区间 $[50 ， 60)$ 内的产品至少1件”，求事件 $A \cap B$ 的概率.

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13、如图，在几何体 $A B C D E F$ 中，平面 $C D E F ⊥$ 平面 $A B C D, ∠ E A D = 60^{\circ}$ .四边形 $C D E F$ 为矩形.在四边形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C, A D ⊥ A B, A B = B C = 2 A D$ .

(1)、点 $G$ 在线段 $B E$ 上，且 $\overset{⃑}{B G} = μ \overset{⃑}{B E}$ ，是否存在实数 $μ$ ，使得 $A G / / D F$ ？若存在，求出 $μ$ 的值；若不存在，请说明理由.

(2)、若 $P$ 为线段 $D F$ 的中点，求直线 $B P$ 与平面 $A B E$ 所成角的正弦值.

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14、如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，以顶点 $A$ 为顶点的三条棱的长均为2，且两两所成角均为60°，则 $| \overset{⃑}{A C_{1}} | =$ .

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15、正四面体 $A - B C D$ 的棱长为2，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ， $\vec{A D} = \vec{c}$ ，则 $\vec{a} \cdot (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) =$ .

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16、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $M$ 在线段 $B C_{1}$ 上运动，则下列说法正确的是（）

A、几何体 $A_{1} B C_{1} - A C D_{1}$ 的外接球半径 $r = \sqrt{2}$ B、 $A_{1} M //$ 平面 $A C D_{1}$ C、异面直线 $C D$ 与 $A_{1} M$ 所成角的正弦值的取值范围为 $[\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{2}}{2}]$ D、面 $A_{1} D M$ 与底面 $A B C D$ 所成角正弦值的取值范围为 $[\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{2}]$

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17、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，点 $E ､ O$ 分别是 $A_{1} B_{1} ､ A_{1} C_{1}$ 的中点， $P$ 满足 $\overset{⃑}{A P} = \frac{3}{4} \overset{⃑}{A B} + \frac{1}{2} \overset{⃑}{A D} + \frac{2}{3} \overset{⃑}{A A_{1}}$ ，则下列说法正确的是（）

A、点 $A$ 到直线 $B E$ 的距离是 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、点 $O$ 到平面 $A B C_{1} D_{1}$ 的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ C、平面 $A_{1} B D$ 与平面 $B_{1} C D_{1}$ 间的距离为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、点 $P$ 到直线 $A B$ 的距离为 $\frac{25}{36}$

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18、下列说法正确的有（）

A、若 $A$ ， $B$ 为对立事件，则 $P (A) + P (B) = 1$ B、若 $A$ ， $B$ 为互斥事件，则 $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$ C、若 $P (A) = P (B)$ ，则 $A$ ， $B$ 相互独立 D、对于任意事件 $A$ ， $B$ ，有 $P (A B) = P (A) P (B)$

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19、已知 $A (2, 1, 3)$ ， $B (2, - 2, 6)$ ， $C (3, 6, 6)$ ，则 $\vec{A C}$ 在 $\vec{A B}$ 上的投影向量为（）

A、 $(0, - 1, 1)$ B、 $(0, - \sqrt{2}, \sqrt{2})$ C、 $(0, \sqrt{2}, - \sqrt{2})$ D、 $(0, 1, - 1)$

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20、如图，在空间四边形 $O A B C$ 中， $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，且 $O M = 2 M A$ ， $B N = N C$ ，则 $\vec{M N}$ 等于（）

A、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$

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