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相关试卷

1、已知单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $(\vec{a} + \vec{b}) ∥ (\vec{a} - \vec{b})$ B、 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为 $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{b}$ C、若 $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{3}$ ，则 $θ = \frac{2 π}{3}$ D、若 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{a} = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{a}$ ，则 $\vec{a} ∥ \vec{b}$

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2、已知 $\sin α \sin (α + \frac{π}{6}) = \cos α \sin (\frac{π}{3} - α)$ ，则 $\tan (2 α + \frac{π}{4})$ =（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $2 - \sqrt{3}$ D、 $- 2 - \sqrt{3}$

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3、设 $a$ ， $b$ 都是不等于1的正数，则“ ${log}_{a} 4 > {log}_{b} 4 > 1$ ”是“ $4^{a} < 4^{b}$ ”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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4、在复平面内，复数 $z = (3 + i) (1 - i)$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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5、已知集合 $A = {- 1, 0, 1, 2, 3}$ ， $B = \{x | x^{3} - 2 x < 4\}$ ，则 $A \cap B$ 的真子集的个数为（）

A、8 B、7 C、16 D、15

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6、已知线段 $A B$ 是圆 $C : {(x - 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 4$ 的一条动弦， $| A B | = 2 \sqrt{3}$ ，直线 $l_{1} : m x - y + 3 m + 1 = 0$ 与直线 $l_{2} : x + m y + 3 m + 1 = 0$ 相交于点 $P$ ，下列说法正确的是（）

A、直线 $l_{1}$ 恒过定点 $(- 3, 1)$ B、直线 $l_{2}$ 与圆 $C$ 恒相交 C、直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的交点 $P$ 在定圆 $x^{2} + y^{2} + 4 x + 2 y = 0$ 上 D、若 $G$ 为 $A B$ 中点，则 $P G$ 的最小值为 $4 - \sqrt{5}$

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7、已知 $A (- 3,0)$ ， $B (3,0)$ 及两直线 $l_{1}$ ： $x - y + 1 = 0$ ， $l_{2}$ ： $x - y - 1 = 0$ ，作直线 $l_{3}$ 垂直于 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ，且垂足分别为C、D，则 $| C D | =$ ， $| A C | + | C D | + | D B |$ 的最小值为

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8、已知正三棱锥的高为 $h$ ，且各顶点都在同一球面上. 若该球的体积为 $\frac{32}{3} π$ ，则三棱锥体积的最大值是（）

A、 $\frac{32 \sqrt{3}}{27}$ B、 $\frac{64 \sqrt{3}}{27}$ C、 $\frac{128 \sqrt{3}}{27}$ D、 $\frac{256 \sqrt{3}}{27}$

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9、已知定义：函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，我们称函数 $f^{'} (x)$ 的导函数 $f^{″} (x)$ 为函数 $f (x)$ 的二阶导函数，如果一个连续函数 $f (x)$ 在区间I上的二阶导函数 $f^{″} (x) \geq 0$ ，则称 $f (x)$ 为I上的凹函数；二阶导函数 $f^{″} (x) \leq 0$ ，则称 $f (x)$ 为I上的凸函数.若 $f (x)$ 是区间I上的凹函数，则对任意的 $x_{1}, x_{2}, \dots$ $x_{n} \in I$ ，有不等式 $f (\frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n}) \leq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2}) + \dots + f (x_{n})}{n}$ 恒成立（当且仅当 $x_{1} = x_{2} = \dots = x_{n}$ 时等号成立）.若 $f (x)$ 是区间I上的凸函数，则对任意的 $x_{1}, x_{2}, \dots x_{n} \in I$ ，有不等式 $f (\frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n}) \geq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2}) + \dots + f (x_{n})}{n}$ 恒成立（当且仅当 $x_{1} = x_{2} = \dots = x_{n}$ 时等号成立）.已知函数 $f (x) = \frac{x}{1 + x}$ ， $x \in (0, \frac{π}{2}]$ .

(1)、试判断 $f (x)$ 在 $(0, \frac{π}{2}]$ 为凹函数还是凸函数?

(2)、设 $x_{1}, x_{2}$ ， $\dots$ ， $x_{n} > 0$ ， $n \geq 2$ ，且 $x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n} = 1$ ，求 $W = \frac{x_{1}}{1 + x_{1}} + \frac{x_{2}}{1 + x_{2}} + \dots + \frac{x_{n}}{1 + x_{n}}$ 的最大值；

(3)、已知 $a \in N^{*}$ ，且当 $x \in (0, \frac{π}{2}]$ ，都有 $sin x + sin (a x) - 3 (1 + x) f (x) cos x > 0$ 恒成立，求实数a的所有可能取值.

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10、已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x}$ ．

(1)、当 $x > 0$ 时，求函数 $f (x)$ 的最小值；

(2)、设方程 $f (x) = \frac{x + 1}{x^{2}}$ 的所有根之和为T，且 $T \in (n, n + 1)$ ，求整数n的值；

(3)、若关于x的不等式 $f (x) \geq a x - a \ln x + e - 1$ 恒成立，求实数a的取值范围．

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11、如图所示的几何体中，四边形 $A B C D$ 为矩形， $A F ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $E F / / A B$ ， $A D = 2$ ， $A B = A F = 2 E F = 1$ ，点 $P$ 为棱 $D F$ 的中点.

(1)、求证： $B F / /$ 平面 $A P C$ ；

(2)、求平面 $A C P$ 与平面 $B C F$ 的夹角的余弦值；

(3)、求点 $F$ 到平面 $A C P$ 的距离.

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12、在 $△ A B C$ 中，角A， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且满足 $2 b - a = 2 c \cos A$ ， $△ A B C$ 的外接圆的半径为 $R = 1$ .

(1)、求角 $C$ 的值；

(2)、如果 $2 \sin A = \sin B$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(3)、求内切圆半径 $r$ 的最大值.

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13、已知函数 $f (x) = a \ln x - x^{2} + b$ ，若对任意 $x \in (0, 1)$ ，有 $f (x) f (x + 1) < 0$ ，则正整数 $a$ 的最小值为．
（参考值： $\ln 2 \approx 0.69$ ， $\ln 3 \approx 1.1$ ）

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14、已知正四面体 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $P_{1}$ 、 $P_{2}$ ， …， $P_{n}$ 在线段 $A B$ 上，且 $|A P_{1}| = |P_{1} P_{2}| = \dots = |P_{n - 1} P_{n}| = |P_{n} B|$ ，过点 $P_{k}$ （ $k = 1$ 、 $2$ 、…、 $n$ ）作平行于直线 $A C$ 、 $B D$ 的平面，截面面积为 $a_{k}$ ，则所有截面积之和为.

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15、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 为线段 $A_{1} C_{1}$ 的中点， $Q$ 为线段 $B C_{1}$ 上的动点（不包括端点），则（）

A、存在点 $Q$ ，使得 $P Q // B D$ B、存在点 $Q$ ，使得 $P Q ⊥$ 平面 $A B_{1} C_{1} D$ C、对于任意点Q， $P Q ⊥ B D$ 均不成立 D、三棱锥 $Q - A P D$ 的体积是定值

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16、无穷等比数列 $\{a_{n}\}$ 的首项为 $a_{1}$ 公比为q，下列条件能使 $\{a_{n}\}$ 既有最大值，又有最小值的有（）

A、 $a_{1} > 0$ ， $0 < q < 1$ B、 $a_{1} > 0$ ， $- 1 < q < 0$ C、 $a_{1} < 0$ ， $q = - 1$ D、 $a_{1} < 0$ ， $q < - 1$

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17、在锐角 $△ A B C$ 中，已知 $sin (2 B + A) = 2 sin A - sin C$ ，则 $A$ ， $C$ 的大小关系为（）

A、 $C > A$ B、 $C = A$ C、 $C < A$ D、无法确定

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18、在1和15之间插入 $m$ 个数，使得这 $m + 2$ 个数成等差数列．若这 $m$ 个数中第1个为 $a$ ，第 $m$ 个为 $b$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{25}{b}$ 的最小值是（）

A、 $\frac{5}{4}$ B、2 C、 $\frac{9}{4}$ D、3

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19、甲、乙、丙、丁四位同学在玩一个猜数字游戏．甲、乙、丙共同写出三个集合A，B，C，然后他们三人各用一句话来正确描述集合中“ $Δ$ ”表示的数字，并让丁同学猜出该数字．已知集合 $A = {x ∣ 0 < Δ x < 2}$ ， $B = \{x | - 3 \leq x \leq 5\}$ ， $C = \{x | x (3 x - 2) < 0\}$ ．甲、乙、丙三位同学描述如下．甲：此数为小于5的正整数；乙： $x \in B$ 是 $x \in A$ 的必要不充分条件；丙： $x \in C$ 是 $x \in A$ 的充分不必要条件．则“ $Δ$ ”表示的数字是（）

A、1或2 B、2或3 C、3或4 D、1或3

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20、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A C_{1}$ 与 $B D_{1}$ 的交点 $O$ 称为正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的中心，若平面 $α$ 经过该正方体的中心 $O$ ，且顶点 $B_{1}$ ， $C$ 到平面 $α$ 的距离相等，则符合条件的平面 $α$ 的个数为（）

A、1个 B、2个 C、12个 D、无数个

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