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相关试卷

1、关于空间向量，以下说法不正确的是（）

A、若两个不同平面α，β的法向量分别是 $\vec{u} ， \vec{ν}$ ，且 $\vec{n} = (1 ， 2 ， - 2) ， \vec{ν} = (2 ， 1 ， 2)$ ，则 $α ⊥ β$ B、若直线l的方向向量为 $\vec{e} = (1 ， 0 ， 3)$ ，平面α的法向量为 $\vec{n} = (- 2 ， 0 ， \frac{2}{3})$ ，则直线l//α C、若对空间中任意一点O，有 $\vec{O P} = \frac{1}{4} \vec{O A} + \frac{1}{4} \vec{O B} + \frac{1}{2} \vec{O C}$ ，则P，A，B，C四点共面 D、两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线

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2、在空间直角坐标系下，点 $P (- 1, 5, 2)$ 关于 $y O z$ 平面的对称点的坐标为（）

A、 $(- 1, 5, 2)$ B、 $(1, 5, - 2)$ C、 $(1, 5, 2)$ D、 $(- 1, - 5, - 2)$

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3、已知直线 $l : \sqrt{3} x + y + 3 = 0$ ，下列结论正确的是（）

A、直线 $l$ 的倾斜角为 $\frac{π}{3}$ B、直线 $l$ 的法向量为 $(\sqrt{3}, - 1)$ C、直线 $l$ 的方向向量为 $(1, \sqrt{3})$ D、直线 $l$ 的斜率为 $- \sqrt{3}$

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4、已知 $a > 0, b > 0$ 且 $a + b = 2$ ，则下列不等式恒成立的是（）

A、 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值为2 B、 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ 的最小值为 $3 + 2 \sqrt{2}$ C、ab的最大值为 1 D、 $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ 的最大值为2

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5、某公司携高端智能产品亮相展会，宣布将大举进军贵阳市场.该产品年固定研发成本为50万，每台产品生产成本为60元，展现了公司对技术创新的坚定投入与市场拓展的雄心壮志.贵阳市场将成为其展示智能科技魅力、引领生活新风尚的重要舞台.设该公司一年内生产该产品x万台且全部售完，每万台的销售收入为 $G (x)$ 万元， $G (x) = \{\begin{array}{l} 240 - 3 x, 0 < x \leq 20 \\ 50 + \frac{3000}{x + 1} - \frac{6000}{x (x + 1)}, x > 20 \end{array} (x \in N^{*})$ .

(1)、求年利润s（万元）关于年产量x（万台）的函数解析式；（利润 $=$ 销售收入 $-$ 成本）

(2)、当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？并求出最大利润.

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6、设正实数x，y满足 $x + y = 1$ ，则下列选项正确的有（）

A、 $x y$ 的最小值是 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值是4 C、 $x^{2} + y^{2}$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$ D、 $\sqrt{x} + \sqrt{y}$ 的最大值为2

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7、如图中的图象所表示的函数的解析式为（）

A、 $y = \frac{5}{2} - \frac{5}{2} |x - 1| (0 \leq x \leq 2)$ B、 $y = \frac{5}{2} |x - 1| (0 \leq x \leq 2)$ C、 $y = \frac{5}{2} - |x - 1| (0 \leq x \leq 2)$ D、 $y = 1 - |x - 1| (0 \leq x \leq 2)$

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8、如图所示，平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = 1, A A_{1} = 2, ∠ B A D = \frac{π}{2}, ∠ B A A_{1} = ∠ D A A_{1} = \frac{π}{3}$ ．

(1)、用向量 $\vec{A B}, \vec{A D}, \vec{A A_{1}}$ 表示向量 $\vec{B D_{1}}$ ，并求 $|\vec{B D_{1}}|$ ；

(2)、求 $\cos ⟨\vec{B D_{1}}, \vec{A C}⟩$ ．

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9、如图，在三棱锥 $O - A B C$ 中，设 $\vec{O A} = \vec{a}, \vec{O B} = \vec{b}, \vec{O C} = \vec{c}$ ，若 $\vec{A N} = \vec{N B}$ ， $2 \vec{B M} = 5 \vec{M C}$ ，则 $\vec{M N} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{6} \vec{b} - \frac{2}{3} \vec{c}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{6} \vec{b} + \frac{2}{3} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{3}{14} \vec{b} - \frac{5}{7} \vec{c}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{5}{14} \vec{b} - \frac{3}{7} \vec{c}$

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10、以下一些说法，其中正确的有（）

A、一年按365天计算，两名学生的生日相同的概率是 $\frac{2}{365}$ B、买彩票中奖的概率是0.001，那么买1000张彩票一定能中奖 C、乒乓球比赛前，用抽签来决定谁先发球，抽签方法是从1～10共10个数中各抽取1个，再比较大小，这种抽签方法是公平的 D、昨天没有下雨，则说明关于气象局预报昨天“降水的概率为90%”是错误的

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11、已知全集 $U = R$ ，集合 $A = \{x ∣ - 1 \leq x \leq 4\}, B = {x ∣ x < 1$ 或 $x > 5}$ .

(1)、求 $A \cup B, (∁_{U} A) \cap B$ ；

(2)、求 $A \cap (∁_{U} B)$ .

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12、已知 $f (x)$ 是二次函数，且满足 $f (0) = 4$ ， $f (x + 2) - f (x) = 4 x + 12$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、设函数 $g (x) = f (x) - (4 + 2 t) x$ ，求 $g (x)$ 在区间 $[3, 6]$ 上的最小值 $m (t)$ 的表达式；

(3)、在（2）的条件下，对任意的 $t \in [0, 8]$ ，存在 $λ \in [- 2, 4]$ ，使得不等式 $|m (t)| \leq λ k^{2} + λ k + 4 λ - 80$ 成立，求 $k$ 的取值范围.

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13、函数 $f (x) = a^{x + 1} - 2 (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 过定点 $(m ， n)$ ，则 $m + n =$ ________

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14、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x + 2, x \leq - 1 \\ x^{2}, - 1 < x < 2 \end{array}$ ，则下列关于函数 $f (x)$ 的结论错误的是（）

A、 $f (f (- 1)) = 1$ B、若 $f (x) = 3$ ，则 $x$ 的值是 $\sqrt{3}$ C、 $f (x) < 1$ 的解集为 $(- \infty, 1)$ D、 $f (x)$ 的值域为 $(- \infty, 4)$

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15、已知正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 3$ ， $A A_{1} = 6$ .

(1)、求异面直线 $B D$ 与 $C A_{1}$ 所成角的余弦值；

(2)、求二面角 $A - A_{1} C - D_{1}$ 的余弦值；

(3)、在线段 $C C_{1}$ 上是否存在点 $P$ ，使得平面 $A_{1} C D_{1} ⊥$ 平面 $P B D$ ，若存在，求出 $\frac{C P}{P C_{1}}$ 的值；若不存在，请说明理由.

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16、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形且 $A D = 2 A B = 2$ ，侧面 $P A D ⊥$ 底面 $A B C D$ ，且侧面 $P A D$ 是正三角形， $E$ 、 $F$ 分别是 $A D$ ， $P B$ 的中点.

(1)、求证： $A F / /$ 平面 $P C E$ ；

(2)、求直线 $C F$ 与平面 $P C E$ 所成角的余弦值.

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17、某中学为了组建一支业余足球队，在高一年级随机选取50名男生测量身高，发现被测男生的身高全部在 $160 c m$ 到 $184 c m$ 之间，将测量结果按如下方式分成六组：第1组 $[160, 164)$ ，第2组 $[164, 168)$ ， …，第6组 $[180, 184]$ ，如图是按上述分组得到的频率分布直方图，以频率近似概率.
（1）若学校要从中选1名男生担任足球队长，求被选取的男生恰好在第5组或第6组的概率；
（2）试估计该校高一年级全体男生身高的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）与中位数；
（3）现在从第5与第6组男生中选取两名同学担任守门员，求选取的两人中最多有1名男生来自第5组的概率.

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18、如图，在底面 $A B C D$ 为菱形的平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M ， N$ 分别在棱 $A A_{1} ， C C_{1}$ 上，且 $A_{1} M = \frac{1}{3} A A_{1} ， C N = \frac{1}{3} C C_{1}$ ，且 $∠ A_{1} A D = ∠ A_{1} A B = ∠ D A B = 60^{\circ}$ ．

(1)、用向量 $\vec{A A_{1}} ， \vec{A D} ， \vec{A B}$ 表示向量 $\vec{M N}$ ；

(2)、求证： $D ， M ， B_{1} ， N$ 共面；

(3)、当 $\frac{A A_{1}}{A B}$ 为何值时， $A C_{1} ⊥ A_{1} B$ ．

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19、某同学参加科普知识竞赛，需回答3个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三问题分别得100分、100分、200分，答错得零分，假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8、0.7、0.6，且各题答对与否相互之间没有影响.

(1)、求这名同学得200分的概率；

(2)、求这名同学至少得300分的概率.

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20、如图，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面是边长为1的菱形，高为2， $∠ D A B = 60 °$ ，则点 $A_{1}$ 到截面 $A B_{1} D_{1}$ 的距离为．

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