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相关试卷

1、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M, N$ 分别为 $A A_{1}$ 和 $B C$ 的中点.

(1)、证明：直线 $M N //$ 平面 $A_{1} C D$ .

(2)、求平面 $A M N$ 与平面 $A_{1} C D$ 夹角的余弦值.

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2、已知圆 $M$ 经过点 $A (1, 4)$ ， $B (2, 3)$ ， $C (2, 5)$ .

(1)、求圆 $M$ 的标准方程；

(2)、若倾斜角为 $\frac{3 π}{4}$ 的直线 $l$ 经过点 $P (2, \frac{7}{2})$ ，且l与圆M相交于E，F两点，求 $|E F|$ .

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3、已知P是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为C的左、右焦点，且P满足 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ， $|P F_{1}| = 3 |P F_{2}|$ .若 $∠ F_{1} P F_{2}$ 的角平分线与x轴交于点 $Q (\frac{1}{2}, 0)$ ，则椭圆C的长轴长为.

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4、在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是平行四边形，点E满足 $\vec{E D} = 2 \vec{P E}$ ，点F满足 $\vec{B F} = λ \vec{B E}$ ，若 $P, A, C, F$ 四点共面，则 $λ =$ .

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5、直线 $x + m y + 3 + m = 0$ 在两坐标轴上的截距互为相反数，则m的值为.

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6、已知 $m > 0$ ， $n < 0$ ， $C (x, y)$ 是曲线 $y = \sqrt{4 x - x^{2}}$ 上的任意一点，若 $|x - y + m| + |x - y + n|$ 的值与 $x, y$ 无关，则（）

A、m的取值范围为 $[2 \sqrt{2} - 2, + \infty)$ B、n的取值范围为 $(- \infty, - 2 \sqrt{2} - 2]$ C、 $|x - y + 3|$ 的最大值为7 D、 $|x - y + m| + |x - y + n|$ 的最小值为 $2 + 2 \sqrt{2}$

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7、在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P (- 1, - 3, 3)$ ， $A (1, 0, 1)$ ， $B (0, 1, 1)$ ， $C (- 1, 3, 0)$ ， $D (0, 2, 0)$ ，则下列结论正确的有（）

A、四边形 $A B C D$ 为正方形 B、四边形 $A B C D$ 的面积为 $\sqrt{3}$ C、 $\vec{P A}$ 在 $\vec{A B}$ 上的投影向量的坐标为 $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0)$ D、点 $P$ 到平面 $A B C D$ 的距离为 $\sqrt{3}$

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8、已知曲线 $C : x^{2} + m y^{2} = 1$ ，则下列结论正确的有（）

A、若 $0 < m < 1$ ，则C是焦点在 $y$ 轴上的椭圆 B、若 $m = 1$ ，则C是圆 C、若 $m > 1$ ，则C是焦点在 $y$ 轴上的椭圆 D、若 $m = 0$ ，则C是两条平行于y轴的直线

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9、在空间直角坐标系 $O x y z$ 中，定义：经过点 $P (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 且一个方向向量为 $\vec{m} = (a, b, c) (a b c \neq 0)$ 的直线l的方程为 $\frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} = \frac{z - z_{0}}{c}$ ，经过点 $P (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 且法向量为 $\vec{n} = (λ, μ, ω)$ 的平面的方程为 $λ (x - x_{0}) + μ (y - y_{0}) + ω (z - z_{0}) = 0$ .已知在空间直角坐标系 $O x y z$ 中，经过点 $P (2, 2, 0)$ 的直线 $l$ 的方程为 $2 - x = \frac{y}{2} - 1 = \frac{z}{3}$ ，经过点 $P$ 的平面 $α$ 的方程为 $2 x + y + 2 z - 6 = 0$ ，则直线 $l$ 与平面 $α$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{14}}{7}$ B、 $\frac{\sqrt{14}}{7}$ C、 $\frac{3}{14}$ D、 $\frac{11}{14}$

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10、一条光线从点 $P (0, 4)$ 射出，经直线 $x + y - 3 = 0$ 反射后，与圆 $C : {(x - 5)}^{2} + y^{2} = 1$ 相切于点M，则光线从P到M经过的路程为（）

A、4 B、5 C、 $2 \sqrt{11}$ D、 $2 \sqrt{6}$

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11、已知 $A (\sqrt{3}, - 1)$ ， $B (- 1, - 1)$ ， $C (3, 0)$ ， $D (- 1, 2)$ ， $E (1, \sqrt{2})$ ，若从A，B，C，D，E这五个点中任意选择两个点，则这两个点都落在圆 $x^{2} + y^{2} = 3$ 外的概率为（）

A、 $\frac{1}{10}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{3}{10}$ D、 $\frac{2}{5}$

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12、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ， $O$ 为坐标原点，直线 $x = \frac{a}{2}$ 与椭圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点.若 $△ O A B$ 为直角三角形，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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13、若圆 $x^{2} + y^{2} - 4 a x + 2 y - 1 = 0$ 的圆心到两坐标轴的距离相等，则 $a =$ （）

A、 $\pm 1$ B、1 C、 $\pm \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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14、已知向量 $\vec{a} = (- 1, 1, 0)$ ， $\vec{b} = (2, m, n)$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $m - n =$ （）

A、 $- 2$ B、2 C、 $- 1$ D、1

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15、已知 $A, B, C$ 为随机事件，A与B互斥，B与C互为对立，且 $P (A) = 0.1$ ， $P (C) = 0.4$ ，则 $P (A \cup B) =$ （）

A、0.06 B、0.5 C、0.6 D、0.7

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16、下列直线中，倾斜角最大的是（）

A、 $3 x - y - 2 = 0$ B、 $x = 2$ C、 $3 x + y + 4 = 0$ D、 $y = 2$

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17、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 平面 $A B C D, A B ∥ C D, ∠ A D C = 90^{°}$ ，且 $A D = C D = P D = 2 A B = 2$ .

(1)、求证： $A B ⊥$ 平面 $P A D$ ；

(2)、求平面 $P A D$ 与平面 $P B C$ 夹角的余弦值；

(3)、在棱 $P B$ 上是否存在点 $G$ （ $G$ 与 $P, B$ 不重合），使得 $D G$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值为 $\frac{2}{3}$ ？若存在，求 $\frac{P G}{P B}$ 的值，若不存在，说明理由.

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18、2024年奥运会在巴黎举行，中国代表团获得了40枚金牌，27枚银牌，24枚铜牌，共91枚奖牌，取得了境外举办奥运会的最好成绩，运动员的拼搏精神给人们留下了深刻印象.为了增加学生对奥运知识的了解，弘扬奥运精神，某校组织高二年级学生进行了奥运知识能力测试.根据测试成绩，将所得数据按照 $[40, 50)$ ， $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[70, 80)$ ， $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ 分成6组，其频率分布直方图如图所示.

(1)、求a值和该样本的第75百分位数；

(2)、试估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分；

(3)、该校准备对本次奥运知识能力测试成绩不及格（60分以下）的学生，采用按比例分配的分层随机抽样方法抽出5名同学，再从抽取的这5名同学中随机抽取2名同学进行情况了解，求这2名同学分数在 $[40, 50)$ ， $[50, 60)$ 各一人的概率.

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19、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对边分别为 $a, b, c$ ，且 $a \sin A + c \sin C - b \sin B = a \sin C$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $3 a = 2 b$ .
（i）求 $\cos A$ 的值；
（ii）求 $\sin (2 A + B)$ 的值.

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20、已知空间三点 $A (2, - 5, 1)$ ， $B (2, - 2, 4)$ ， $C (1, - 4, 1)$ ．

(1)、求向量 $\vec{A B}$ 与 $\vec{A C}$ 的夹角；

(2)、若 $(\vec{A B} - k \vec{A C}) ⊥ (\vec{A B} + k \vec{A C})$ ，求实数 $k$ 的值．

(3)、求 $△ A B C$ 的面积.

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