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相关试卷

1、已知 $a, b$ 为实数，函数 $f (x) = e^{x} - a x + b - 1$ （其中 $e = 2.71828 \dots \dots$ 是自然对数的底数）.

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若对任意的 $x \in R, f (x) \geq 0$ 恒成立，求 $a + b$ 的最小值.

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2、对于平面凸四边形 $A B C D$ ，若 $\vec{A C} = (4, 3), \vec{B D} = (1, 2)$ ，则四边形 $A B C D$ 的面积为（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、 $\frac{5 \sqrt{5}}{2}$ D、大小不确定

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3、如图，平面四边形 $A B C D$ 中， $A D = B C = 3$ ， $A B = 4$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A D ⊥ A C$ ，沿 $A C$ 将 $△ A D C$ 折起成直二面角 $P - A C - B$ （折起后原来平面图形的D点变为空间图形的P点），则折起后四面体 $P A B C$ 的内切球半径为．

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4、如图，已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，斜率为 $1$ 的直线 $l$ 经过 $F$ 且交 $C$ 于 $A_{1} 、 B_{1}$ 两点（ $A_{1}$ 在第一象限）.

(1)、求 $A_{1} 、 B_{1}$ 的坐标与 $|A_{1} B_{1}|$ 的长；

(2)、设 $P_{n} (- \frac{n (n + 3)}{2}, 2)$ ，如下构造 $A_{n} 、 B_{n}$ ：直线 $P_{n - 1} B_{n - 1} 、 P_{n - 1} A_{n - 1}$ 分别与 $C$ 交于 $B_{n} 、 A_{n}$ ，证明：
（ⅰ） $B_{n}$ 的纵坐标 $y_{n}$ 是等差数列 $\{y_{n}\}$ ；
（ⅱ） $\forall n \in N^{*}, A_{n} B_{n + 1} / / A_{n + 1} B_{n + 2}$ .

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5、在 $△ A B C$ 中， $A B = \sqrt{7} A C$ ，点D在BC上，满足 $\vec{C D} = 2 \vec{D B}$ ， $A D = \sqrt{3}$ ．

(1)、若 $A C = B D$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、求 $∠ A D C$ 余弦值的最小值．

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6、如图，在以 $A, B, C, D, E, F$ 为顶点的五面体中，四边形 $A B C D$ 与四边形 $C D E F$ 均为等腰梯形， $A B$ $∥$ $C D, E F$ $∥$ $C D, C D = 2 A B = 2 E F = 4$ ， $A D = D E = \sqrt{5}, A E = 2 \sqrt{2}$ .

(1)、证明：平面 $A B C D ⊥$ 平面 $C D E F$ ；

(2)、若 $M$ 为线段 $C D$ 上一点，且 $C M = 1$ ，求二面角 $A - E M - B$ 的余弦值.

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7、如图①，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆．许多人从纯几何的角度出发对这个问题进行过研究，其中比利时数学家Germinal dandelin（1794-1847）的方法非常巧妙，极具创造性．在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面，截面相切，两个球分别与截面相切于E，F，在截口曲线上任取一点A，过A作圆锥的母线，分别与两个球相切于C，B，由球和圆的几何性质，可以知道，AE=AC，AF=AB，于是AE+AF=AB+AC=BC．由B，C的产生方法可知，它们之间的距离BC是定值，由椭圆定义可知，截口曲线是以E，F为焦点的椭圆．
如图②，一个半径为2的球放在桌面上，桌面上方有一个点光源P，则球在桌面上的投影是椭圆．已知 $A_{1} A_{2}$ 是椭圆的长轴， $P A_{1}$ 垂直于桌面且与球相切， $P A_{1} = 5$ ，则椭圆的离心率为．

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8、函数 $y = f (x)$ 的图象与 $y = 2^{x}$ 的图象关于直线 $y = x$ 对称，则函数 $y = f (\sin x)$ 的递减区间是．

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9、 $\sqrt{{(π - 8)}^{2}} - 4^{{l o g}_{2} 3} + {l o g}_{3} 7 \cdot {l o g}_{7} 9 - {l o g}_{15} 5 - {l o g}_{15} 3$ 的值为．

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10、对于一元三次函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (a \neq 0)$ 图象上任一点 $M$ ，若 $f (x)$ 在点 $M$ 处的切线与 $f (x)$ 的图象交于另一点 $N$ ，则称 $N$ 为 $M$ 的“伴随割点”，关于“伴随割点”，下列说法正确的有（）

A、函数 $f (x)$ 图象上所有点都有“伴随割点” B、若点 $(x_{0}, y_{0})$ 的“伴随割点”为点 $(x_{1}, y_{1})$ ，则 $2 x_{0} + x_{1} = - \frac{b}{a}$ C、若 $f (x)$ 的图象上存在一点与其“伴随割点”关于原点对称，则 $d = - \frac{b^{3}}{a^{2}}$ D、若 $f (x)$ 的图象与 $x$ 轴的交点分别为 $A$ ， $B$ ， $C$ ，它们的“伴随割点”存在且分别为 $D$ ， $E$ ， $F$ ，则 $D$ ， $E$ ， $F$ 三点共线

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11、如图所示，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ ， $N$ 分别为棱 $A_{1} D_{1}$ ， $D D_{1}$ 的中点，则以下四个结论正确的是（）

A、 $B_{1} C / / M N$ B、点 $A$ 到平面 $C_{1} M N$ 的距离为1 C、过 $M N$ 作与该正方体所有棱都相切的球的截面，所得截面的面积的最小值为 $\frac{3}{8} π$ D、若 $P$ 为直线 $C C_{1}$ 上的动点，则 $\vec{B_{1} P} \cdot \vec{B_{1} C_{1}}$ 为定值

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12、已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $a_{n} = \frac{n}{4 n^{2} + 25}$ ，则 $a_{n}$ 的最大值为 $\frac{3}{61}$ B、若数列 ${a_{n}}$ 为等差数列，且 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{6}$ 成等比数列，则其公比 $q = 1$ 或 $q = 4$ C、若 $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} > 1$ ，则数列 ${a_{n}}$ 为递增数列 D、若 $S_{n} = - n^{2} + 9 n + 1$ ，则数列 ${a_{n}}$ 为等差数列

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13、已知袋中有除颜色外形状相同的红、黑球共10个，设红球的个数为n，从中随机取出3个球，取出2红1黑的概率记为 $P_{n}$ ，当 $P_{n}$ 最大时，红球个数为（）

A、6 B、7 C、8 D、9

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14、如图， $A B$ ， $C D$ 分别是圆柱上、下底面圆的直径，且 $A B ⊥ C D$ ， $O_{1}$ ， $O_{2}$ 分别为上、下底面圆心，若二面角 $A - C D - B$ 为直二面角，且三棱锥 $A - B C D$ 的体积为 $18$ ，则该圆柱的高为（）

A、6 B、5 C、4 D、3

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15、已知向量 $\vec{a} = (2, m)$ ， $\vec{b} = (m + 1, 1)$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 方向相反，若 $\vec{c} = (2, 1)$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{c}$ 方向上的投影向量的坐标是（）

A、 $(- \frac{1}{2}, - \frac{1}{2})$ B、 $(- \frac{2}{5}, - \frac{1}{5})$ C、 $(\frac{1}{2} ， \frac{1}{2})$ D、 $(\frac{4}{5} ， \frac{2}{5})$

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16、函数 $f （ x ） = \{\begin{matrix} 0, x = 0 \\ \frac{x - s i n x}{l n | x |}, x \neq 0 \end{matrix}$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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17、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $(2, \frac{5}{3})$ ，且离心率为 $\frac{2}{3}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、圆 $F$ 的圆心为椭圆 $C$ 的右焦点，半径为 $r$ ，过点 $F$ 的直线与椭圆 $C$ 及圆 $F$ 交于 $A, P, Q, B$ 四点（如图所示），若存在 $| P Q |^{2} = | A P | | B Q |$ ，求圆 $F$ 的半径 $r$ 取值范围．

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18、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $a_{1} = 1, S_{5} = 3 a_{5}$ ．

(1)、求 $S_{100}$ 的值；

(2)、设 $b_{n} = a_{n} \cdot q^{n} (0 < q < 1)$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求证： $T_{n} < \frac{q}{{(1 - q)}^{2}}$ ．

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19、已知双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的焦距为 $2 \sqrt{5}$ ，渐近线方程为： $x \pm 2 y = 0$ ，双曲线左，右两个顶点分别为 $A, B$ ．

(1)、求双曲线 $E$ 的标准方程；

(2)、过点 $(0, 1)$ 的直线 $l$ 与双曲线 $E$ 交于 $C, D$ 两点．设 $A C, B D$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，若 $\frac{k_{1}}{k_{2}} = - \frac{1}{3}$ ，求 $l$ 的方程．

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20、如图，已知 $△ A B C$ 中， $A C = B C = \sqrt{3}, A B = 3$ ， $D$ 是 $A B$ 上一点，且 $A D = C D$ ，将 $△ A D C$ 沿 $C D$ 翻折至 $△ P D C$ ， $|P B| = \sqrt{6}$ ．

(1)、求证： $B C ⊥ P D$ ；

(2)、求直线 $B C$ 与平面 $P B D$ 所成角的正弦值．

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