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相关试卷

1、已知圆 $O : x^{2} + y^{2} = 1$ 和点 $M (1, \sqrt{3}) .$

(1)、过点M作圆O的切线，求切线的方程；

(2)、已知 $A (2, 4)$ ，设P为满足方程 ${|P A|}^{2} + {|P O|}^{2} = 34$ 的任意一点，过点P向圆O引切线，切点为B，试探究：平面内是否存在一定点N，使得 $\frac{{|P B|}^{2}}{{|P N|}^{2}}$ 为定值?若存在，则求出定点N的坐标，并指出相应的定值；若不存在，则说明理由；

(3)、过点M作直线l交圆O于两个不同的点C， $D ($ 线段CD不经过圆心 $O)$ ，分别在点C，D处作圆O的切线，两条切线交于点E，求证：点E在一条定直线上，并求出该直线的方程.

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2、下列命题中，正确命题的个数为（）
①若直线 $l$ 的一个方向向量是 $\vec{a} = (2, 1, 3)$ ，平面 $α$ 的一个法向量是 $\vec{n} = (- 2, 1, 1)$ ，则 $l ∥ α$
②若向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 3$ ，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 6$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影向量为 $- \frac{2}{3} \vec{a}$
③若 $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$ ，则 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角是钝角
④已知正四面体 $O A B C$ 的棱长为1，则 $(\vec{O A} + \vec{O B}) \cdot (\vec{C A} + \vec{C B}) = 1$

A、4 B、3 C、2 D、1

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3、古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆 $C$ 的中心为原点，焦点 $F_{1}, F_{2}$ 均在 $x$ 轴上， $C$ 的面积为 $3 \sqrt{5} π$ ，过点 $F_{1}$ 的直线交 $C$ 于点 $A, B$ ，且 $△ A B F_{2}$ 的周长为12.则 $C$ 的标准方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{5} + y^{2} = 1$

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4、已知 $Q : a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k}$ 为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的 $n \in {1, 2, \dots, m}$ ，在Q中存在 $a_{i}, a_{i + 1}, a_{i + 2}, \dots, a_{i + j} (j \geq 0)$ ，使得 $a_{i} + a_{i + 1} + a_{i + 2} + \dots + a_{i + j} = n$ ，则称Q为 $m -$ 连续可表数列．

(1)、判断 $Q : 2, 1, 4$ 是否为 $5 -$ 连续可表数列？是否为 $6 -$ 连续可表数列？说明理由；

(2)、若 $Q : a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k}$ 为 $8 -$ 连续可表数列，求证：k的最小值为4；

(3)、若 $Q : a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k}$ 为 $20 -$ 连续可表数列，且 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{k} < 20$ ，求证： $k \geq 7$ ．

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5、定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 的值域为 $(- \infty, 0)$ ，且 $f (2 x) + f (x + y) f (x - y) = 0$ ，则（）

A、 $f (0) = - 1$ B、 $f (4) + {[f (1)]}^{2} = 0$ C、 $f (x) f (- x) = 1$ D、 $f (x) + f (- x) \leq - 2$

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6、已知集合 $A = \{(x, y)| x, y \in Z, 且 x y = 4\}$ ， $B = \{(x, y)| x \leq y\}$ ，则 $A \cap B$ 的子集的个数为（）

A、3 B、4 C、8 D、16

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7、如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，已知 $A B = 4$ ， $A D = 3$ ， $A A_{1} = 2$ ． $E, F$ 分别是线段 $A B, B C$ 上的点，且 $E B = F B = 1$ .

(1)、求直线 $E C_{1}$ 与 $F D_{1}$ 所成角α的余弦值；

(2)、求二面角 $C - D E - C_{1}$ 的余弦值.

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8、如图，设Ox，Oy是平面内相交成 $60 °$ 角的两条数轴， $\vec{e_{1}}$ 、 $\vec{e_{2}}$ 分别是x轴，y轴正方向同向的单位向量，若向量 $\vec{O P} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}}$ ，则把有序数对 $(x, y)$ 叫做向量 $\vec{O P}$ 在坐标系xOy中的坐标，假设 $\vec{O P} = 3 \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$ .

(1)、计算 $| \vec{O P} |$ 的大小；

(2)、是否存在实数n，使得 $\vec{O P}$ 与向量 $\vec{b} = (1, n)$ 垂直，若存在，求出n的值，若不存在请说明理由．

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9、如图，在平面四边形 $A B C D$ 中， $∠ A D C = 90 °$ ， $∠ A = 45 °$ ， $A B = 4$ ， $B D = 10$ ．

(1)、求 $cos ∠ A D B$ ；

(2)、若 $△ B C D$ 的面积为 $4 \sqrt{46}$ ，求 $B C$ ．

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10、已知向量 $\vec{a} = (c o s x, - \frac{1}{2}), \vec{b} = (\sqrt{3} s i n x, c o s 2 x), x \in R$ ，设函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ .
(Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.
(Ⅱ) 求f (x) 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的最大值和最小值.

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11、如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = A D = 2, D C = 2 \sqrt{2}, B D_{1}$ 和 $B_{1} D$ 交于点 $E, F$ 为 $A B$ 的中点.

(1)、求证： $E F / /$ 平面 $A D D_{1} A_{1}$ ；

(2)、求点A到平面 $C E F$ 的距离.

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12、“白日依山尽，黄河入海流”是唐代诗人王之涣形容美景的一首诗词．某数学爱好者用两个函数图象描绘了这两句诗词： $f (x) = |3 sin x| + sin x, x \in [0, 2 π]$ 的图象犹如两座高低不一的大山，太阳从两山之间落下（如图1）， $g (x) = \frac{1}{2} sin 2 x, x \in [0, 2 π]$ 的图象如滚滚波涛，奔腾入海流（如图2）．若存在一点 $x_{0} \neq π$ ，使 $f (x)$ 在 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 处的切线与 $g (x)$ 在 $(x_{0}, g (x_{0}))$ 处的切线平行，则 $cos x_{0}$ 的值为．

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13、若集合 $A = \{x | |3 x - 1| \geq 2\}$ ， $B = \{x | \frac{x - 2}{x - 1} \leq 0\}$ ，则（）

A、 $A \cap B = B$ B、 $A \cap (∁_{R} B) = (- \infty, - \frac{1}{3}]$ C、 $∁_{R} (A \cup B) = (- \frac{1}{3}, 1]$ D、 $(∁_{R} A) \cup B = (- \frac{1}{3}, 1) \cup (1, 2]$

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14、图中阴影部分所表示的集合是（）

A、 $N \cap ∁_{U} M$ B、 $M \cap ∁_{U} N$ C、 $[∁_{U} (M \cap N)] \cap N$ D、 $(∁_{U} M) \cap (∁_{U} N)$

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15、已知首项为 $a_{1}$ ，公比为q的等比数列 $\{a_{n}\}$ ，其前n项和为 $S_{n}$ ，则“ $a_{1} > 0, q > 1$ ”是“ $S_{n}$ 单调递增”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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16、已知 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = \sqrt{3}$ ，且 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = - \frac{7}{2}$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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17、在 $△ A B C$ 中，已知 $B C = 6$ ， $A = 30^{\circ}$ ， $B = 120^{°}$ ，则 $△ A B C$ 的面积等于（）

A、 $9$ B、 $18$ C、 $9 \sqrt{3}$ D、 $18 \sqrt{3}$

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18、已知平面向量 $\overset{⇀}{m}$ ， $\overset{⇀}{n}$ 均为单位向量，若向量 $\overset{⇀}{m}$ ， $\overset{⇀}{n}$ 的夹角为 $\frac{π}{2}$ ，则 $|3 \overset{⇀}{m} + 4 \overset{⇀}{n}| =$ （）

A、25 B、7 C、5 D、 $\sqrt{7}$

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19、设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，P为C上一点.

(1)、已知 $|F_{1} F_{2}| = 4$ ，且点 $M (0, 1)$ 在C上.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求 $|P M|$ 的最大值.

(2)、若 $O$ 为坐标原点， $|O P| = |O F_{2}|$ ，且 $△ F_{1} P F_{2}$ 的面积等于9，求 $b$ 的值和 $a$ 的取值范围.

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20、某中学举办科学竞技活动，报名参加科学竞技活动的同学需要通过两轮选拔.第一轮为笔试，设有三门考试科目且每门是否通过相互独立，至少有两门通过，则认为是笔试合格.若笔试不合格，则不能进入下一轮选拔；若笔试合格，则进入第二轮现场面试.面试合格者代表年级组参加全校的决赛.现有某年级甲、乙两名学生报名参加本次竞技活动，假设笔试中甲每门合格的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，乙每门合格的概率分别是 $\frac{2}{3}$ ， $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{4}$ ，甲、乙面试合格的概率分别是 $\frac{1}{2}$ ， $\frac{8}{11}$ .

(1)、求甲能够代表年级组参加全校的决赛的概率；

(2)、求甲、乙两人中有且只有一人代表年级组参加全校的决赛的概率.

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