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相关试卷

1、定义在 $(- 1, 1)$ 上的函数 $f (x)$ 满足：对任意的 $x, y \in (- 1, 1)$ ，都有 $f (y) - f (x) = f (\frac{y - x}{1 - x y})$ ，且当 $x \in (- 1, 0)$ 时， $f (x) < 0$ .

(1)、求证： $f (x)$ 是奇函数；

(2)、判断 $f (\frac{1}{2}) + f (- \frac{1}{3})$ 的正负，并说明理由.

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2、 $10^{1 - lg 2} + ln \frac{1}{\sqrt{e}} + {log}_{4} 7 \cdot {log}_{7} 8 =$ .

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3、下列为真命题的是（）

A、函数 $y = x + \frac{1}{x} (x \neq 0)$ 的最小值为2 B、函数 $y = x + \frac{1}{x - 1} (x > 1)$ 的最小值为3 C、函数 $y = 3 x - \frac{4}{x} (x \leq - 1)$ 的最大值为1 D、函数 $y = \frac{x^{2} + 3}{\sqrt{x^{2} + 2}} (x \in R)$ 的最小值为2

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4、设 $m \in R$ ，若过定点A的动直线 $x + m y - m = 0$ 和过定点B的动直线 $m x - y - m + 3 = 0$ 交于点 $P (x, y)$ ， AB中点为Q，则 $|P Q|$ 的值为（　　）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、与m的取值有关

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5、已知圆 $C : {(x + 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 4$ ，直线 $l : x - 2 y - 8 = 0$ ， $M$ 为圆 $C$ 上一动点， $N$ 为直线 $l$ 上一动点，定点 $P (- 7, - 4)$ ，则 $| M N | + | P N |$ 的最小值为.

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6、已知集合 $A = \{1, 2, 3, 4\}, B = \{x |- 1 < x < 4\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1, 2\}$ B、 $\{1, 2, 3\}$ C、 $\{0, 1, 2\}$ D、 $\{0, 1, 2, 3\}$

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7、下列命题不正确的是（）

A、经过定点 $P (x_{0}, y_{0})$ 的直线都可以用方程 $y - y_{0} = k (x - x_{0})$ 表示 B、直线 $l$ 过点 $P (x_{0}, y_{0})$ ，倾斜角为 $90 °$ ，则其方程为 $x = x_{0}$ C、在坐标轴上截距相等的直线都可以用方程 $\frac{x}{a} + \frac{y}{a} = 1$ 来表示 D、直线 $y = x + 2$ 在 $x$ 轴上截距为2

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8、已知集合 $A = \{x ∣ x^{2} - 2 x - 3 = 0\}$ ， $B = {1, a}$ ，若 $A \cap B = {3}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${1, 3}$ B、 ${- 1, 3}$ C、 ${- 1, 1, 3}$ D、 ${- 3, - 1, 3}$

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9、如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 5, A D = 3, A A_{1} = 4, P$ 是线段 $B C_{1}$ 上异于 $B, C_{1}$ 的一点，则 $C P + P D_{1}$ 的最小值为.

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10、已知以点 $C (t, \frac{2}{t}) (t > 0)$ 为圆心的圆经过原点 $O$ ，且与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ．

(1)、求证： $△ A O B$ 的面积为定值．

(2)、设直线 $2 x + y - 4 = 0$ 与圆 $C$ 交于点 $M$ ， $N$ ，若 $|O M| = |O N|$ ，求圆 $C$ 的方程．

(3)、在（2）的条件下，设 $P$ ， $Q$ 分别是直线 $l : x + y + 2 = 0$ 和圆 $C$ 上的动点，求 $|P B| + |P Q|$ 的最小值及此时点 $P$ 的坐标.

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11、如图， $E A$ 和 $D C$ 都垂直于平面 $A B C$ ，且 $E A = 2 D C$ ， $F$ 是 $B E$ 的中点.

(1)、求证： $D F ∥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 是正三角形，且 $E A = A B = 2$ ，求直线 $A D$ 与平面 $A B E$ 所成角的正弦值.

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12、已知函数 $f (x) = x + a e^{x - 1}$ ， $g (x) = x - a e^{- x} + 1 (a > 0)$ 的零点分别为 $m$ ， $n$ .

(1)、若 $a = e^{2}$ ，求 $m$ ；

(2)、是否存在 $a$ ，使 $m + n = 0$ ？说明理由；

(3)、若 $k \leq m + n < 0 (- 1 < k < 0)$ ，用含 $k$ 的代数式表示 $m - n$ 最大值.

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13、如图，在底面边长为2的菱形的四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A = P B = 2$ ，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $∠ A B C = 60 °$ ，设 $E$ 是棱 $P B$ 上一点，三棱锥 $E - A C D$ 的体积为 $\frac{1}{2}$ .

(1)、证明： $P C ⊥ A B$ ；

(2)、求 $B E$ ；

(3)、求二面角 $E - C D - A$ 的正弦值.

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14、梅雨季节，杨梅上市，现有8筐杨梅，其中3筐是A种杨梅，5筐是B种杨梅，两种筐子完全相同.

(1)、从中抽取1筐，直接写出所抽为A种杨梅的概率；

(2)、从中无放回地抽取2筐，求所抽筐都是A种杨梅的概率；

(3)、从中无放回地抽取2筐，求所抽筐中至少有1筐是B种杨梅的概率.

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15、若定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ 满足 $f (- 1) = f (x) + f (x + 1) = 2$ ，则 $f (\frac{1}{2}) =$ ， $f (2023) + f (2024) + f (2025) =$ .

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16、上、下底面面积分别为1，4，高为3的圆台体积为.

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17、数据5，8，9，12，12，15的第75百分位数为.

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18、在 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ， $A C = 3$ ， $B C = 4$ ，则（）

A、 $A > \frac{π}{2}$ B、 $\sin C = \frac{\sqrt{15}}{16}$ C、 $2 B + 3 C = π$ D、 $|\vec{A B} + \vec{A C}| = \sqrt{10}$

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19、现有 $A$ ， $B$ 两个相同的箱子，其中均有除了颜色不同外其他均相同的红白小球各3个，先从两个箱子中各取出一个小球 $a$ ， $b$ ，再将两箱子混合后取出一个小球 $c$ ，事件 $M$ ：“小球 $a$ 为红色”，事件 $N$ ：“小球 $b$ 为白色”，事件 $P$ ：“小球 $c$ 为红色”，则下列说法错误的有（）

A、 $M$ 发生的概率为 $\frac{1}{3}$ B、 $M$ 与 $N$ 互斥 C、 $M$ 与 $N$ 相互独立 D、 $P$ 发生的概率为 $\frac{1}{2}$

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20、已知函数 $f (x) = \log_{m} (x + m) (m > 1)$ 的定义域为 $(- 4, + \infty)$ ，则（）

A、 $m = 4$ B、 $f (- 2) = \frac{1}{2}$ C、3是 $f (x)$ 的零点 D、 $f (\frac{1}{x} + x) > f (2)$

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