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相关试卷

1、已知正数 $m, n$ 满足 $\frac{1}{m} + \frac{3}{n} = 2$ ，则 $m + 3 n$ 的最小值为（）

A、8 B、7 C、6 D、5

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2、如图所示，四边形 $A B C D$ 为菱形， $P A = P D$ ，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A D C$ ，点 $E$ 是棱 $A B$ 的中点．

(1)、求证： $P E ⊥ A C$ ；

(2)、若 $P A = A B = B D = 2$ ，求三棱锥 $E - P C D$ 的体积．

(3)、若 $P A = A B$ ，当二面角 $P - A C - B$ 的正切值为 $- 2$ 时，求直线 $P E$ 与平面 $A B C D$ 所成的角．

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3、某公司生产某种产品，从生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差（质量差＝生产的产品质量－标准质量，单位 $mg$ ）的样本数据统计如下：

(1)、求样本数据的70%分位数；（精确到0.01）

(2)、公司从生产的正品中按产品质量差进行分拣，若质量差在 $(\bar{x} - s ， \bar{x} + s)$ 范围内的产品为一等品，其余为二等品．其中 $\bar{x}$ ， $s$ 分别为样本平均数和样本标准差，计算可得 $s \approx 10$ （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．
①若产品的质量差为 $78 mg$ ，试判断该产品是否属于一等品；
②假如公司包装时要求，3件一等品和2件二等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中摸出2件产品进行检验，求摸出2件产品中至少有1件一等品的概率．

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4、已知函数 $f (x) = sin x cos x + \sqrt{3} {cos}^{2} x - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、已知 $f (α) = \frac{3}{5}$ ，求 $cos (\frac{π}{6} - 2 α)$ 的值.

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5、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 2$ ，且 $(3 \vec{a} + \vec{b}) ⊥ (2 \vec{b} - \vec{a})$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ .

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6、给定一组数5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则（）

A、平均数为3 B、众数为2和3 C、方差为 $\frac{8}{5}$ D、第85百分位数为4.5

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7、在四边形ABCD中， $A (0, 0)$ ， $B (1, 2)$ ， $\vec{A B} = \vec{D C}$ ， $\frac{\vec{B A}}{|\vec{B A}|} + \frac{\vec{B C}}{|\vec{B C}|} = \frac{\sqrt{2} \vec{B D}}{|\vec{B D}|}$ ，则四边形ABCD的面积为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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8、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为a，b，c，如果 $a \cos A = b \cos B$ ，则 $△ A B C$ 一定是（）

A、等腰或直角三角形 B、直角三角形 C、等腰三角形 D、等边三角形

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9、甲、乙、丙三人破译一份密码，若三人各自独立破译出密码的概率为 $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{3}$ ，且他们是否破译出密码互不影响，则这份密码被破译出的概率为（）

A、 $\frac{2}{9}$ B、 $\frac{4}{9}$ C、 $\frac{5}{9}$ D、 $\frac{7}{9}$

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10、当 $1 < m < 2$ 时，复数 $m (2 + i) - (4 + i)$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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11、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $b \cos C + c \cos B = 2 b$ ，且 $\frac{1}{\tan A} + \frac{1}{\tan B} = \frac{1}{\sin C}$ .

(1)、求 $\frac{a}{b}$ 的值；

(2)、求 $tan C$ 的值.

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12、现有一种不断分裂的细胞，每个时间周期 $T$ 内分裂一次，一个细胞每次分裂能生成一个或两个新的细胞，每次分裂后原细胞消失，设每次分裂成一个新细胞的概率为 $p$ ，分裂成两个新细胞的概率为 $1 - p$ ；新细胞在下一个周期 $T$ 内可以继续分裂，每个细胞的分裂相互独立. 设有一个初始的细胞，在第一个周期 $T$ 内开始分裂，记 $n (n \in N^{*})$ 个周期结束后，细胞的数量为 $X_{n}$ ，其中 $p \in (\frac{1}{2}, 1)$ .

(1)、若 $p = \frac{2}{3}$ ，求 $X_{2}$ 的分布列和数学期望；

(2)、求 $P (X_{n} = 2)$ ；

(3)、求证： $P (X_{n} = 3) < \frac{8}{27 p^{2}}$ .

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13、已知直线 $x - y - 1 = 0$ 与抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 交于A，B两点，且 $|A B| = 8$ .

(1)、求p；

(2)、M，N为抛物线C上异于顶点O的两点，F为焦点.若 $\vec{M F} \cdot \vec{N F} = 0$ ，求 $△ M N F$ 面积的最小值.

(3)、若点 $P (- 4, 0)$ ，问x轴上是否存在点 $T$ ，使得过点 $T$ 的任一条直线与抛物线 $C$ 交于点Q、R两点，且点 $T$ 到直线PQ、PR的距离相等？若存在，求出点 $T$ 的坐标；若不存在，说明理由．

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14、已知函数 $f (x) = a x^{2} + (a - 2) x - \ln x, a \in R$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求与 $f (x)$ 相切，且垂直于直线 $x + 3 y = 0$ 的直线方程；

(2)、若 $f (x)$ 有两个零点，求实数 $a$ 的取值范围.

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15、如图，在直三棱柱形状的木料 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = B C = \frac{1}{2} A A_{1} = 1 ， B A ⊥ B C ， D$ 是棱 $C C_{1}$ 的中点，过上底面内一点E在上底面所在平面内作一条直线 $l$ 与 $A E$ 垂直.

(1)、画出直线 $l 并$ 说明作法和理由；

(2)、当E为 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 重心时，求直线l与平面 $A D B_{1}$ 所成的角的正弦值.

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16、已知公差不为零的等差数列 $\{a_{n}\}$ 和等比数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $a_{1} = b_{1} = 1$ ，且 $a_{1}, 2 a_{2}, 4 a_{4}$ 成等比数列， $4 b_{2}, 2 b_{3}, b_{4}$ 成等差数列.

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、令 $c_{n} = 3^{a_{n}}$ ，去掉数列 $\{c_{n}\}$ 中的第 $3 k$ 项 $(k \in N^{*})$ ，余下的项顺序不变，构成新数列 $\{t_{n}\}$ ，写出数列 $\{t_{n}\}$ 的前4项并求 $\{t_{n}\}$ 的前 $2 n$ 项和 $S_{2 n}$ ；

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17、某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）.如图，已知锐角 $△ A B C$ 外接圆的半径为2，且三条圆弧沿 $△ A B C$ 三边翻折后交于点 $P$ .若 $A C : A B : B C = 6 : 5 : 4$ ，则 $\cos ∠ A C B =$ ， $P A$ 的值为.

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18、若 $(x - k \frac{y^{2}}{x} + 1) {(x - y)}^{8}$ 的展开式中 $x^{4} y^{5}$ 的系数为28，则 $k$ 的值为.

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19、椭圆可以看做是由圆经过“压缩”或“拉伸”而来.若将圆O： $x^{2} + y^{2} = 1$ 上各点横坐标“拉伸”到原来的2倍（纵坐标不变），得到椭圆C₁ ．则C₁的离心率为.

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20、已知函数 $f (x)$ 满足：对任意 $x, y \in R, x f (y) + y f (x) = f (x y)$ ，且当 $0 < x < 1$ 时， $f (x) > 0$ .下列说法正确的是（）

A、 $f (0) + f (1) = 0$ B、 $f (x)$ 为偶函数 C、当 $|x| > 1$ 时， $x f (x) < 0$ D、 $f (x)$ 在 $(1, + \infty)$ 上单调递减

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