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相关试卷

1、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，短轴长为 $2 \sqrt{3}$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、记 $C$ 的左顶点为 $A$ ，直线 $l$ 与 $C$ 交于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之积为 $- \frac{1}{4}$ .
（i）证明：直线 $l$ 过定点；
（ii）若 $P$ 在 $x$ 轴上方，直线 $P F_{1}$ 与圆 $M : (x + 1)^{2} + y^{2} = 16$ 交于点 $B$ ，点 $B$ 在 $x$ 轴上方.是否存在点 $P$ ，使得 $△ P B F_{2}$ 与 $△ Q F_{1} F_{2}$ 的面积之比为3：5？若存在，求出点 $P$ 坐标；若不存在，说明理由.

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2、2023年6月7日，21世纪汽车博览会在上海举行，已知某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示：
红色外观
蓝色外观
棕色内饰
12
8
米色内饰
2
3

(1)、若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件 $A$ 为小明取到红色外观的模型，事件 $B$ 为小明取到棕色内饰的模型，求 $P (B)$ 和 $P (B |A)$ ，并判断事件 $A$ 和事件 $B$ 是否独立.

(2)、该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些模型中拿两个汽车模型，拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色、以及仅外观或仅内饰同色.拿到的两个模型仅外观或仅内饰同色，可以获得奖金150元，外观和内饰均为同色可以获得奖金300元，外观和内饰都异色可以获得奖金600元，设 $X$ 为奖金额，写出 $X$ 的分布列并求出 $X$ 的数学期望.

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3、深圳欢乐谷试卖一款纪念品，现统计了该款纪念品的定价 $x$ （单位：元）与销量 $y$ （单位：百件）的对应数据，如下表所示：
$x$
12
12.5
13
13.5
14
$y$
14
13
11
9
8

(1)、求该纪念品定价的平均值 $\bar{x}$ 和销量的平均值 $\bar{y}$ .

(2)、计算 $x$ 与 $y$ 的相关系数 $r$ ；判断能否用线性回归模型拟合 $y$ 与 $x$ 的关系，并说明理由.
参考数据： $\sum_{i = 1}^{5} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = - 8$ ， $\sqrt{\frac{64}{65}} \approx 0.992$ .
参考公式：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ .若 $|r| > 0.75$ ，则 $y$ 与 $x$ 的线性相关性很强.

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4、（1）解方程： $C_{9}^{x} = C_{9}^{2 x - 3}$ （ $x \in N$ ）.
（2）甲乙丙丁戊五个同学计划五一假期去上海、北京、广州游玩，每人只能选择去一个城市，每个城市至少去一人，共有多少种不同游玩方法？

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5、某校举办元旦晚会，有3个语言类节目和4个唱歌节目，要求第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有种排法（数字作答）

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6、已知随机变量 $X \sim B (4, p)$ ，若 $E (X) = \frac{8}{3}$ ，则 $D (X) =$ .

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7、下列说法正确的是（）

A、 $50^{2019} + 1$ 被7除后的余数为5 B、两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是 $\frac{1}{2}$ C、已知 $A_{n}^{2} = C_{n}^{3}$ ，则 $n = 8$ D、从正方体的八个顶点中任取四个顶点，这四点能构成三棱锥的个数为58

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8、对变量 $y$ 和 $x$ 的一组样本数据 $(x_{1}, y_{1})$ ， $(x_{2}, y_{2})$ ， …， $(x_{n}, y_{n})$ 进行回归分析，建立回归模型，则（）

A、残差平方和越小，模型的拟合效果越好 B、用决定系数 $R^{2}$ 来刻画回归效果， $R^{2}$ 越小，说明模型的拟合效果越好 C、若由样本数据得到经验回归直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，则其必过点 $(\bar{x}, \bar{y})$ D、若 $y$ 和 $x$ 的样本相关系数 $r = - 0.95$ ，则 $y$ 和 $x$ 之间具有很强的负线性相关关系

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9、已知 ${(1 + 2 x)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + \cdot \cdot \cdot + a_{n} x^{n}$ ，随机变量 $ξ \sim N (1, \frac{1}{4})$ ，若 $\frac{a_{1}}{a_{2}} = E (ξ) D (ξ)$ ，则 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \cdot \cdot \cdot + a_{n}$ 的值为（）

A、81 B、242 C、243 D、80

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10、“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现.如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，若第n行中从左至右只有第12个数为该行中的最大值，则n=（）

A、21 B、22 C、23 D、24

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11、下列说法不正确的是（）

A、 $P (A B) = P (A) P (B |A)$ B、 $P (A B) \leq P (A)$ C、 $P (A B) = P (A) P (A |B)$ D、 $P (A B) \leq P (B |A)$

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12、对变量 $x$ ， $y$ 有观测数据 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, 3, \dots, 10)$ ，得散点图；对变量 $u$ ， $v$ 有观测数据 $(u_{i}, v_{i}) (i = 1, 2, 3, \dots, 10)$ ，得散点图2．由这两个散点图可以判断（）

A、变量 $x$ 与 $y$ 正相关， $u$ 与 $v$ 正相关 B、变量 $x$ 与 $y$ 正相关， $u$ 与 $v$ 负相关 C、变量 $x$ 与 $y$ 负相关， $u$ 与 $v$ 正相关 D、变量 $x$ 与 $y$ 负相关， $u$ 与 $v$ 负相关

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13、 $A_{5}^{2} + C_{6}^{3}$ 的值为（）

A、60 B、40 C、35 D、20

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14、已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $x + y = 5$ ，若 $\frac{4}{x + 1} + \frac{1}{y + 2} \geq 2 m + 1$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围是.

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15、若函数 $f (x) = x |x - a| (0 \leq x \leq 2)$ 的最大值是1，则实数a的值是．

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16、已知函数 $f (x) = ln x - a x$ ， $g (x) = ln x + (a - 2) x$ ， $(a \in R)$ ．

(1)、若函数 $y = f (x)$ 存在2个零点，求 $a$ 的取值范围；

(2)、记 $h (x) = |f (x)| + |g (x)|$ ，
①当 $a = 1$ 时，求 $h (x)$ 的最小值；
②若 $h (x)$ 的最小值为2，求 $a$ 的取值范围．

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17、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ， $A C = 6$ ，且 $C D = 3 D B$ ， $A C = 3 A E$ ， $F$ 是 $A D$ 和 $B E$ 的交点．

(1)、用 $\vec{A B}$ ， $\vec{A C}$ 表示 $\vec{B E}$ ， $\vec{A D}$ ．

(2)、证明： $A D ⊥ B E$ ．

(3)、证明： $F$ 是线段 $B E$ 的中点．

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18、石凳是以天然石材或人造石为原料制作的凳椅，是一种常见的户外休闲设施．如图，这是某广场的石凳直观图，它是由正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 截去四面体 $A_{1} E I J$ ， $B_{1} F J K$ ， $C_{1} G K L$ ， $D_{1} H L I$ 得到的，其中 $E, F, G, H, I, J, K, L$ 均为各棱的中点，且 $A B = 60$ 厘米．

(1)、求该石凳的体积；

(2)、求该石凳的表面积（不包含底面 $A B C D$ ）．

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19、已知复数 $z_{1} = 3 - 4 i$ ， $z_{2} = 2 + a i$ ，其中 $a \in R$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ ；

(2)、若复数 $z_{1} z_{2}$ 在复平面内所对应的点位于第三象限，求a的取值范围．

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20、若 $(1 + i) (a + 2 i) (a \in R)$ 是纯虚数，则 $a =$ ．

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	红色外观	蓝色外观
棕色内饰	12	8
米色内饰	2	3

$x$	12	12.5	13	13.5	14
$y$	14	13	11	9	8