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相关试卷

1、在大数据时代，由于整合不同来源的数据需要以及在数据量庞大的情况下为减少计算量，实际上在计算机中计算方差是使用递推方法进行计算的.先计算前面k个数据的平均数 ${\bar{x}}_{k}$ 和方差 $s^{2}_{k}$ ，再计算前面k+1个数据的平均数 ${\bar{x}}_{k + 1}$ 和方 $s^{2}_{k + 1}$ ，计算 $s^{2}_{k + 1}$ 可利用递推式： $s^{2}_{k + 1} = f (k) \cdot s^{2}_{k} + g (k) \cdot {({\bar{x}}_{k + 1} - {\bar{x}}_{k})}^{2}$ ，则 $f (k) \cdot g (k) =$ .

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2、函数 $y = \tan (\frac{π}{4} x - \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则 $(\overset{⃑}{O A} + \overset{⃑}{O B}) \cdot \overset{⃑}{A B} =$ .

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3、双曲函数是数学中一类重要的函数，在工程技术应用等问题中经常用到，已知：双曲正弦函数 $sh (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ ，双曲余弦函数 $ch (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ ，双曲正切函数 $th (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}}$ ，且当 $x > 0$ 时有 $th (x) < x$ ，则下列选项正确的是（）

A、 ${[ch (x)]}^{2} - {[sh (x)]}^{2} = 1$ B、 $th (x)$ 的值域为 $(- 1, 1)$ C、 $th (x) + th (x - 2) > 0$ ，则 $x < 1$ D、 $f (x) = (x - 1) [sh (x) + ch (x)]$ ，则 $f (\frac{1}{e}) > f (- \frac{1}{e})$

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4、已知矩形 $A B C D$ ， $A B = 2, A D = 1$ ，沿BD将 $△ A B D$ 折起成 $△ A^{'} B D$ 若点 $A^{'}$ 在平面 $B C D$ 上的射影落在 $△ B C D$ 内部（含边界），则在翻折过程中，下列选项正确的是（）

A、四面体 $A^{'} B C D$ 的外接球表面积为5π B、四面体 $A^{'} B C D$ 的体积的最大值为 $\frac{2 \sqrt{5}}{15}$ C、四面体 $A^{'} B C D$ 的体积的最小值为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ D、四面体 $A^{'} B C D$ 的4个面中最多有3个直角三角形

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5、以下选项正确的是（）

A、 $\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) = 0$ B、事件 $A$ 与事件 $B$ 互为对立事件，则事件 $A$ 与事件 $B$ 一定互斥 C、事件 $A$ 与事件 $B$ 相互独立，则事件 $A$ 与事件 $B$ 一定互斥 D、“掷2次硬币出现1个正面”的概率与“掷4次硬币出现2个正面”的概率不相等

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6、甲、乙两位同学进行羽毛球比赛，并约定规则如下：在每个回合中，若发球方赢球，则得1分，并且下一回合继续由其发球；若发球方输球，则双方均不得分，且下一回合交换发球权；比赛持续三回合后结束，若最终甲乙得分相同，则为平局.已知在每回合中，甲获胜的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，各回合比赛结果相互独立，第一回合由甲发球.则甲乙两人在比赛中平局的概率为（）

A、 $\frac{1}{27}$ B、 $\frac{2}{27}$ C、 $\frac{1}{9}$ D、 $\frac{4}{27}$

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7、已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是单位向量， $\vec{a}$ • $\vec{b} =$ 0．若向量 $\vec{c}$ 满足| $\vec{c} - \vec{a} - \vec{b}$ |＝1，则| $\vec{c}$ |的最大值为（　　）

A、 $\sqrt{2} - 1$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{2} + 1$ D、 $\sqrt{2} + 2$

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8、如图，正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的各棱长均为1， $B C$ 的中点为D， $B_{1} C_{1}$ 上有两个动点 $E, F$ ，且 $E F = \frac{1}{2} ，$ 则下列结论中错误的是（）

A、 $A D ⊥ B E$ B、三棱锥 $A - B E F$ 的体积为定值 C、 $E F / /$ 平面 $A B C$ D、 $△ A E F$ 的面积与 $△ B E F$ 的面积相等

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9、现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答.所取的2道题都是同一类题的概率为（）

A、 $\frac{5}{9}$ B、 $\frac{4}{9}$ C、 $\frac{8}{15}$ D、 $\frac{7}{15}$

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10、已知函数 $f (x) = | \ln x |$ ，若 $0 < a < b$ ，且 $f (a) = f (b)$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $a > 1$ B、 $b < 1$ C、 $a + b > 2$ D、 $a + b < 2$

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11、如图，向量 $\vec{a} - \vec{b}$ 等于（）

A、 $- 4 \vec{e_{1}} - 2 \vec{e_{2}}$ B、 $\vec{e_{1}} - 3 \vec{e_{2}}$ C、 $- 2 \vec{e_{1}} - 4 \vec{e_{2}}$ D、 $3 \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$

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12、若复数 $\frac{3 + a i}{1 + i} （ a \in R$ ， i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）

A、 $- 3$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、3

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13、已知集合 $M = \{x |\frac{1}{2} \leq 2^{x} < 4\} ， N = \{x ∣ x \leq a\} ；$ 若 $a \geq - 1$ ，则（）

A、 $M \subseteq N$ B、 $M \cup N = N$ C、 $M \cap N \neq \emptyset$ D、 $M \cap N = \emptyset$

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14、已知点 $O (0 ， 0)$ ， $A (1 ， 0)$ ， $B (4 ， 0)$ ，动点 $P$ 到 $B$ 的距离是 $P$ 到 $A$ 点距离的2倍，记动点 $P$ 的轨迹为曲线 $Γ$ ．

(1)、求曲线 $Γ$ 的轨迹方程；

(2)、已知动点 $Q$ 在直线 $l : y = 2 x + 2$ 上，过 $Q$ 作曲线 $Γ$ 的两条切线 $l_{1} ， l_{2}$ 分别切于 $C ， D$ 两点，直线 $l_{3} : y = 2$ 与 $l_{1} ， l_{2}$ 分别交于 $E ， F$ ，连接 $C F ， D E$ 交于 $K$ ．
（i）直线 $C D$ 是否过定点，如果是，求出定点坐标；如果不是，说明理由；
（ii）求 $|O K|$ 的最小值．

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15、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为4的正方形， $P A ⊥ P C$ ．

(1)、求四棱锥 $P - A B C D$ 的体积 $V$ 的最大值：

(2)、在（1）的条件下，求直线 $P B$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值；

(3)、若 $P D = 4$ ，求平面 $P A B$ 与平面 $P B C$ 夹角的余弦值的最大值．

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16、在平面直角坐标系中．点 $A (2, 4), B (6, 2)$ ，直线 $l_{1} : x + y - 4 = 0$ ， $l_{2} : (m - 1) x + y + 2 m + 2 = 0 ， m \in R$ ．圆 $C$ 经过 $A ， B$ 两点，且圆心 $C$ 在直线 $l_{1}$ 上．

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、当直线 $l_{2}$ 与圆 $C$ 相切时，求实数 $m$ 的值．

(3)、若直线 $l_{2}$ 与圆 $C$ 相交于 $D ， E$ 两点，当 $m$ 变化时，是否存在一个定点 $P$ ，使得 $|D P| \cdot |E P|$ 为定值？若存在，求出一个 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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17、如图，在四面体 $D - A B C$ 中， $A B = B C = C D = D A = 5$ ， $A C = 6 ， B D = 4$ ．

(1)、求二面角 $B - A C - D$ 的平面角的大小；

(2)、求异面直线 $A B$ 与 $C D$ 间的距离．

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18、一个不透明的袋子中有五个大小质地都相同的小球，分别标号0，1，2，3，4．从中不放回的依次取出2个球，分别记录球上的数字为 $x, y$ ，记 $\vec{a} = (x, y)$ ，且 $\vec{b} = (2, - 1)$ ．

(1)、求事件“ $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ”发生的概率；

(2)、求事件“ $|\vec{a}| > |\vec{b}|$ ”发生的概率．

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19、已知三棱锥 $A - B C D$ 中， $∠ A B C = \frac{3 π}{4} ， ∠ A B D = \frac{π}{4} ， B C = B D$ ，则异面直线 $A B$ 和 $C D$ 所成角余弦值的取值范围是．

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20、已知圆 $O : {(x - 3)}^{2} + y^{2} = r^{2}$ ，一条过点 $(0, - \sqrt{3})$ 的直线将圆 $O$ 分成面积相等的两部分，且该直线在碰到直线 $x = 6$ 后反射，射出的直线恰好和圆 $O$ 相切，则 $r$ 的值为．

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