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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} sin (2 x - \frac{π}{6})$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期、振幅、初相及图象的对称轴方程；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，所得图象对应的函数为 $g (x)$ ，当 $x \in [0, \frac{2 π}{3}]$ 时，求函数 $g (x)$ 的值域．

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2、某企业于2024年在其基地投入150万元的研发资金用于养殖业发展，并计划今后10年内在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长20%．

(1)、写出第 $x$ 年（2024年为第1年）该企业投入的研发资金 $y$ （单位：万元）与 $x$ 的函数关系式，并指出函数的定义域；

(2)、该企业从哪一年开始投入的研发资金将超过600万元？
（参考数据： $lg 0.12 \approx - 0.921$ ， $lg 1.2 \approx 0.079$ ， $lg 0.112 \approx - 0.951$ ， $lg 1.12 \approx 0.049$ ， $lg 2 \approx 0.301$ ）

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3、已知函数 $f (x) = cos x$ ．

(1)、若 $f (α) = - sin \frac{π}{12}$ ， $α \in (0, π)$ ，求 $α$ ；

(2)、求 $y = f (2 x + \frac{2 π}{3})$ ， $x \in [\frac{π}{6}, \frac{π}{2}]$ 的值域．

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4、已知 $- π < x < 0$ ， $sin (π + x) - cos x = \frac{1}{5}$ ．

(1)、求 $sin x + cos x$ 的值；

(2)、求 $\frac{\sin x}{1 + \tan x}$ 的值．

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5、（1）已知函数 $f (x)$ 是一次函数，且 $f (f (x) + 2 x) = 5$ ，求函数 $f (x)$ 的解析式；
（2）已知 $f (\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}) = x + \frac{1}{x} - 2$ ，求函数 $f (x)$ 的解析式；

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6、函数 $f (x) = 2 cos (2 ω x + \frac{π}{3})$ 的最小正周期是 $2 π$ ，则 $ω =$ ．

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7、已知 $tan θ = 2$ ，则 $\frac{sin θ + cos θ}{sin θ - cos θ}$ 的值为．

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8、已知 $tan α = - 2$ ， $π < α < 2 π$ ，则（）

A、 $sin α = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $cos α = - \frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $cos α - sin α = \frac{3 \sqrt{5}}{5}$ D、 $cos α + sin α = - \frac{3 \sqrt{5}}{5}$

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9、下列不等式成立的是（）

A、 $\sin \frac{π}{4} > \cos \frac{π}{3}$ B、 $\cos \frac{2 π}{5} < \cos \frac{23 π}{10}$ C、 $\sin (- \frac{π}{5}) > \cos \frac{3 π}{5}$ D、 $\cos (- \frac{3 π}{7}) > \cos (- \frac{43 π}{8})$

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10、若函数 $f (x) = sin ω x (ω < 0)$ 在 $[- \frac{π}{6}, \frac{π}{6}]$ 上单调递减，在 $[\frac{π}{6}, \frac{π}{2}]$ 上单调递增，则 $ω =$ （）

A、 $- 4$ B、 $- 3$ C、 $- 2$ D、 $- 1$

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11、若 $sin (α - \frac{π}{6}) = \frac{1}{3}$ ，则 $cos (α - \frac{2 π}{3}) =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{7}{9}$ D、 $- \frac{7}{9}$

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12、已知角 $α$ 的终边在第二象限，且终边上有一点 $P (- 2, \sqrt{2} m)$ ， $sin α = \frac{\sqrt{2}}{4} m$ ，则 $m =$ （）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $- \sqrt{6}$ C、2 D、 $\pm \sqrt{2}$

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13、若 $a = {(\frac{1}{3})}^{\frac{2}{3}}$ ， $b = \log_{\frac{2}{3}} \frac{1}{3}$ ， $c = {(\frac{2}{3})}^{\frac{1}{3}}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $c > a > b$ B、 $b > c > a$ C、 $b > a > c$ D、 $a > c > b$

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14、设偶函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，在区间 $[0, 4]$ 上单调递减，则（）

A、 $f (π) < f (- 3) < f (- 2)$ B、 $f (π) < f (- 2) < f (- 3)$ C、 $f (- 2) < f (- 3) < f (π)$ D、 $f (- 3) < f (- 2) < f (π)$

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15、下列函数是增函数的是（）

A、 $f (x) = - x$ B、 $f (x) = - \frac{1}{3 x}$ C、 $f (x) = x^{2} + 1$ D、 $f (x) = \sqrt[3]{x - 1}$

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16、已知函数 $f (2 x + 1) = x^{2} + 4 x$ ，则 $f (3) =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、5

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17、不等式 $- 2 x^{2} + 3 x + 5 > 0$ 的解集为（）

A、 $\{x |- 1 < x < \frac{5}{2}\}$ B、 $\{x |- \frac{5}{2} < x < 1\}$ C、 $\{x |x < - \frac{5}{2} 或 x > 1\}$ D、 $\{x |x < - 1 或 x > \frac{5}{2}\}$

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18、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形， $A B = 2$ ， $B C = 4$ ，侧面 $P A D$ 为等边三角形，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， E为PB中点．

(1)、证明：平面 $P A D ⊥$ 平面 $P A B$ ；

(2)、求平面 $E A C$ 与平面 $A C D$ 夹角的余弦值．

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19、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{3} + a_{5} = 22$ ， $1 + 2 a_{2} = a_{4}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n + 1}^{2} = b_{n} b_{n + 2}$ ， $b_{2} = 2 b_{1}$ ， $b_{4} = 8$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；

(3)、求数列 $\{a_{n} b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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20、若定义在 $R$ 上的函数 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 分别存在导函数 $f^{'} (x)$ 和 $g^{'} (x)$ ，且对任意实数 $x$ ，都存在常数 $k$ ，使 $f^{'} (x) \geq k g^{'} (x)$ 成立，则称函数 $y = f (x)$ 是函数 $y = g (x)$ 的“ $k -$ 控制函数”，称 $k$ 为控制系数．

(1)、求证：函数 $f (x) = 3 x + 1$ 是函数 $g (x) = cos x$ 的“ $3 -$ 控制函数”；

(2)、若函数 $f (x) = - x^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} - 20 x$ 是函数 $g (x) = e^{x}$ 的“ $k -$ 控制函数”，求控制系数 $k$ 的取值范围；

(3)、若函数 $p (x) = e^{x} + m e^{- x}$ ，函数 $y = q (x)$ 为偶函数，函数 $y = p (x)$ 是函数 $y = q (x)$ 的“ $1 -$ 控制函数”，求证：“ $m = 1$ ”的充要条件是“存在常数 $c$ ，使得 $p (x) - q (x) = c$ 恒成立”．

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