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相关试卷

1、已知在 $(a x - x^{- \frac{1}{3}})^{n} (a > 0)$ 的展开式中，第 $4$ 项与第 $6$ 项的二项式系数相等．

(1)、求 $n$ 的值；

(2)、求展开式中的有理项；

(3)、若其展开式中 $x^{4}$ 项的系数为 $- 1792$ ，求其展开式中系数的绝对值最大的项．

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2、请回答下列问题：

(1)、现有 $6$ 份不同的礼物，平均分给甲乙丙 $3$ 人，有多少种分法？

(2)、由 $0$ ， $1$ ， $2$ ， $3$ ， $4$ ， $5$ 这 $6$ 个数字组成没有重复数字的四位偶数有多少个？

(3)、某旅行社有导游 $8$ 人，其中 $3$ 人只会英语， $4$ 人只会日语， $1$ 人既会英语，也会日语，现从中选 $6$ 人，其中 $3$ 人进行英语导游，另外 $3$ 人进行日语导游，则不同的选择方法有多少种？

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3、将 $1$ ， $2$ ， $3$ ， $\dots$ ， $9$ 这 $9$ 个数填入如图所示的格子中 $($ 要求每个数都要填入，每个格子中只能填一个数 $)$ ，记第 $1$ 行中最大的数为 $a$ ，第 $2$ 行中最大的数为 $b$ ，第 $3$ 行中最大的数为 $c$ ，则 $a < b < c$ 的填法共有种 $. ($ 用数字作答 $)$

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4、曲线 $f (x) = x^{3} - 2 x^{2}$ 过原点的切线方程为．

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5、设 $x^{2022} = a_{0} + a_{1} (x + 1) + a_{2} (x + 1)^{2} + \dots + a_{2022} (x + 1)^{2022}$ ，则下列选项正确的是( )

A、 $a_{1} = - 2022$ B、 $a_{0} - a_{1} + a_{2} - \dots + a_{2022} = 2^{2022}$ C、 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{2022} = 1$ D、 $\frac{a_{1}}{2} + \frac{a_{2}}{2^{2}} + \frac{a_{3}}{2^{3}} + \dots + \frac{a_{2022}}{2^{2022}} = (\frac{1}{2})^{2022}$

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6、下列结论正确的是( )

A、 $C_{7}^{3} = \frac{A_{7}^{3}}{4!}$ B、 $A_{n}^{m} = n A_{n - 1}^{m - 1} (m, n$ 为正整数且 $n > m > 1)$ C、 $C_{6}^{2} + C_{6}^{3} = C_{7}^{3}$ D、满足方程 $C_{16}^{x^{2} - x} = C_{16}^{5 x - 5}$ 的 $x$ 值可能为 $x = 1$ 或 $x = 5$ 或 $x = - 7$ 或 $x = 3$

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7、设 $\sqrt[4]{258}$ 的小数部分为 $x$ ，则 $x^{4} + 16 x^{3} + 96 x^{2} + 256 x =$ ( )

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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8、如图，在边长为 $a$ 的正三角形的三个角处各剪去一个四边形 $.$ 这个四边形是由两个全等的直角三角形组成的，并且这三个四边形也全等，如图 $① .$ 若用剩下的部分折成一个无盖的正三棱柱形容器，如图 $② .$ 则这个容器的容积的最大值为( )

A、 $\frac{a^{3}}{27}$ B、 $\frac{a^{3}}{36}$ C、 $\frac{a^{3}}{54}$ D、 $\frac{a^{3}}{72}$

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9、已知 $a = \frac{1}{2} l n \frac{1}{2}$ ， $b = l n (l n 3)$ ， $c = - \frac{1}{e}$ ，则( )

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $b > c > a$ D、 $c > a > b$

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10、已知函数 $f (x) = a e^{x} - l n x$ 在 $(1,2)$ 上是单调递增函数，则实数 $a$ 的取值范围是( )

A、 $(\frac{1}{e}, + \infty)$ B、 $(\frac{1}{2 e^{2}}, + \infty)$ C、 $[\frac{1}{e}, + \infty)$ D、 $[\frac{1}{2 e^{2}}, + \infty)$

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11、已知函数 $y = f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则 $f (x)$ 的图象可能是( )

A、 B、 C、 D、

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12、已知函数 $f (x) = 2 x^{2} - x + 1$ ，则 $f (x)$ 从 $1$ 到 $1 + Δ x$ 的平均变化率为( )

A、 $2 Δ x + 3$ B、 $4 Δ x + 3$ C、 $2 (Δ x)^{2} + 3 Δ x$ D、 $2 (Δ x)^{2} - Δ x + 1$

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13、已知 $f (x) = x^{2} - 1$ ，则 $f^{'} (2) =$ ( )

A、 $2$ B、 $3$ C、 $4$ D、 $5$

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14、已知函数 $f (x) = (m + 1) x^{2} - (m - 1) x + m - 1$

(1)、若不等式 $f (x) < 1$ 的解集为 $R$ ，求 $m$ 的取值范围；

(2)、解关于 $x$ 的不等式 $f (x) \geq (m + 1) x$ ；

(3)、若不等式 $f (x) \geq 0$ 对一切 $x \in [- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围．

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15、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A D / / B C$ ， $A D ⊥ D C$ ， $B C = C D = \frac{1}{2} A D = 1$ ， $E$ 为棱 $A D$ 的中点， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ．

(1)、求证： $A B / /$ 平面 $P C E$ ；

(2)、求证：平面 $P A B ⊥$ 平面 $P B D$ ；

(3)、若二面角 $P - C D - A$ 的大小为 $45 °$ ，求直线 $P A$ 与平面 $P B D$ 所成角的正弦值．

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16、在 $① \frac{b}{a} = \frac{c o s B + 1}{\sqrt{3} s i n A}$ ， $② 2 b s i n A = a t a n B$ ， $③ c - a = b c o s A - a c o s B$ 这三个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题 $. △ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 ▲ $($ 只需填序号 $)$ ．
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．

(1)、求角 $B$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 是锐角三角形，边长 $c = 2$ ，求 $△ A B C$ 面积的取值范围．

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17、已知向量 $\vec{a} = (s i n α, c o s α)$ ， $\vec{b} = (1, \sqrt{3})$ ， $\vec{c} = (c o s β, - s i n β)$ ， $α \in (0, π)$ ．

(1)、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，求 $α$ 的值；

(2)、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ， $\vec{a} \cdot \vec{c} = \frac{3}{5}$ ， $β \in (\frac{π}{6}, \frac{π}{2})$ ，求 $s i n β$ 的值．

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18、平面向量 $\vec{m}, \vec{n}$ 满足 $| \vec{m} | = | \vec{n} | = 1$ ，对任意的实数 $t$ ，不等式 $| \vec{m} - \frac{1}{2} \vec{n} | \leq | \vec{m} + t \vec{n} |$ 恒成立，则 $| \vec{n} - t \vec{m} |$ 的最小值为．

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19、在一个如图所示的直角梯形 $A B C D$ 内挖去一个扇形， $E$ 恰好是梯形的下底边的中点，将所得平面图形绕直线 $D E$ 旋转一圈，则所得几何体的体积为．

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20、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 棱长为 $1$ ， $P$ 是 $A_{1} D$ 上的一个动点，下列结论中正确的是( )

A、 $B P$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ B、当 $P$ 在 $A_{1} D$ 上运动时，都有 $C_{1} P ⊥ B D_{1}$ C、当 $P$ 在直线 $A_{1} D$ 上运动时，三棱锥 $A - B_{1} P C$ 的体积不变 D、 $P A + P C$ 的最小值为 $\sqrt{2 - \sqrt{2}}$

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