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相关试卷

1、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 的直线 $l$ 交椭圆于 $P, Q$ 两点，则（）

A、 $△ P F_{2} Q$ 的周长为4 B、 $| P F_{1} |$ 的取值范围是 $[1, 3]$ C、 $| P Q |$ 的最小值是3 D、若点 $M, N$ 在椭圆上，且线段 $M N$ 中点为 $(1, 1)$ ，则直线 $M N$ 的斜率为 $- \frac{3}{4}$

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2、某种产品的价格x（单位：元/kg）与需求量y（单位：kg）之间的对应数据如下表所示：
x
10
15
20
25
30
y
12
11
9
7
6
根据表中的数据可得回归直线方程 $\hat{y} = \hat{b} x + 15.4$ ，则以下正确的是（）

A、相关系数 $r > 0$ B、第一个样本点对应的残差为-0.2 C、 $\hat{b} = - 0.32$ D、若该产品价格为35元/kg，则日需求量大约为4.2kg

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3、已知某地销售的赣南脐橙来自甲、乙两个果园，甲、乙两个果园提供的赣南脐橙果量（单位：箱）的占比分别为 $60 %$ ， $40 %$ ，且甲、乙两个果园提供的赣南脐橙的优品率分别为 $90 %$ ， $80 %$ ，现从该地销售的赣南脐橙中随机买1箱，则这1箱赣南脐橙为优品的概率为（）

A、 $85 %$ B、 $86 %$ C、 $87 %$ D、 $88 %$

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4、四羊方尊（又称四羊尊）为中国商代晚期青铜器，其盛酒部分可近似视为一个正四棱台（上、下底面的边长分别为 $40 c m$ ， $20 c m$ ，高为 $24 c m$ ），则四羊方尊的容积约为（）（参考公式：棱台的体积 $V = \frac{1}{3} h (S^{'} + \sqrt{S^{'} S} + S)$ ，其中 $S^{'}$ ， $S$ 分别为棱台的上、下底面面积， $h$ 为棱台的高）

A、 $22400 c m^{3}$ B、 $32400 c m^{3}$ C、 $44800 c m^{3}$ D、 $67200 c m^{3}$

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5、抛物线 $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 过点 $P (2, 2)$ ，则其准线方程为（）

A、 $y = - \frac{1}{2}$ B、 $x = - \frac{1}{2}$ C、 $y = \frac{1}{2}$ D、 $x = \frac{1}{2}$

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6、在 $△ A B C$ 中， $A B = 3$ ， $B C = 1$ ， $B = \frac{2 π}{3}$ ，则 $A C =$ （）

A、7 B、 $\sqrt{7}$ C、 $\sqrt{13}$ D、13

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7、定义：若函数 $f (x)$ 图象上恰好存在相异的两点 $P$ ， $Q$ 满足曲线 $y = f (x)$ 在 $P$ 和 $Q$ 处的切线重合，则称 $P$ ， $Q$ 为曲线 $y = f (x)$ 的“双重切点”，直线 $P Q$ 为曲线 $y = f (x)$ 的“双重切线”．

(1)、直线 $y = 2 x$ 是否为曲线 $f (x) = x^{3} + \frac{1}{x}$ 的“双重切线”，请说明理由；

(2)、已知函数 $g (x) = \{\begin{array}{l} e^{x} - \frac{2}{e}, x \leq 0, \\ l n x, x > 0, \end{array}$ 求曲线 $y = g (x)$ 的“双重切线”的方程；

(3)、已知函数 $ℎ (x) = s i n x$ ，直线 $P Q$ 为曲线 $y = ℎ (x)$ 的“双重切线”，记直线 $P Q$ 的斜率所有可能的取值为 $k_{1}$ ， $k_{2} \dots$ ， $k_{n}$ ，若 $k_{1} > k_{2} > k_{i} (i = 3,4, 5, \dots, n)$ ，证明： $\frac{k_{1}}{k_{2}} < \frac{15}{8}$ ．

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8、 $2020$ 年 $10$ 月 $16$ 日，是第 $40$ 个世界粮食日．中国工程院院士袁隆平海水稻团队迎来了海水稻的测产收割，其中宁夏石嘴山海水稻示范种植基地 $Y C - 801$ 测产，亩产超过 $648.5$ 公斤，通过推广种植海水稻，实现亿亩荒滩变粮仓，大大提高了当地居民收入．某企业引进一条先进食品生产线，以海水稻为原料进行深加工，发明了一种新产品，若该产品的质量指标值为 $m (m \in [70,100])$ ，其质量指标等级划分如表：
质量指标值 $m$
$[70,75)$
$[75,80)$
$[80,85)$
$[85,90)$
$[90,100]$
质量指标等级
良好
优秀
良好
合格
废品
为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产．现从试生产的产品中随机抽取了 $1000$ 件，将其质量指标值 $m$ 的数据作为样本，绘制如下频率分布直方图：

(1)、若将频率作为概率，从该产品中随机抽取 $3$ 件产品，记“抽出的产品中至少有 $1$ 件不是废品”为事件 $A$ ，求事件 $A$ 发生的概率；

(2)、若从质量指标值 $m \geq 85$ 的样本中利用分层抽样的方法抽取 $7$ 件产品，然后从这 $7$ 件产品中任取 $3$ 件产品，求质量指标值 $m \in [90,95)$ 的件数 $X$ 的分布列及数学期望；

(3)、若每件产品的质量指标值 $m$ 与利润 $y ($ 单位：元 $)$ 的关系如表 $(1 < t < 4)$ ：
质量指标值 $m$
$[70,75)$
$[75,80)$
$[80,85)$
$[85,90)$
$[90,100]$
利润 $y ($ 元 $)$
$6 t$
$8 t$
$4 t$
$2 t$
$- \frac{5}{3} e^{t}$
试分析生产该产品能否盈利？若不能，请说明理由；若能，试确定 $t$ 为何值时，每件产品的平均利润达到最大 $($ 参考数值： $l n 2 \approx 0.7$ ， $l n 5 \approx 1.6)$ ．

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9、数据显示，某企业近年加大了科技研发资金的投入，其科技投入 $x ($ 百万元 $)$ 与收益 $y ($ 百万元 $)$ 的数据统计如表：
科技投入 $x$
$1$
$2$
$3$
$4$
$5$
$6$
$7$
收益 $y$
$19$
$20$
$22$
$31$
$40$
$50$
$70$
根据数据特点，甲认为样本点分布在指数型曲线 $y = 2^{b x + a}$ 的周围，据此他对数据进行了一些初步处理 $.$ 如表：

$\bar{z}$

$\sum_{i = 1}^{7} x_{i}^{2}$

$\sum_{i = 1}^{7} x_{i} y_{i}$

$\sum_{i = 1}^{7} x_{i} z_{i}$

$\sum_{i = 1}^{7} (y_{i} - \bar{y})^{2}$

$\sum_{i = 1}^{7} (y_{i} - \overset{\hat{}}{y})^{2}$

$5$

$140$

$1239$

$149$

$2134$

$130$
其中 $z_{i} = {l o g}_{2} y_{i}$ ， $\bar{z} = \frac{1}{7} \sum_{i = 1}^{7} z_{i}$ ．
附：对于一组数据 $(u_{1}, v_{1})$ ， $(u_{2}, v_{2})$ ， $\dots$ ， $(u_{n}, v_{n})$ ，其线性回归直线 $\overset{\hat{}}{v} = \overset{\hat{}}{b} u + \overset{\hat{}}{a}$ 的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 $\overset{\hat{}}{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (u_{i} - \bar{u}) (v_{i} - \bar{v})}{\sum_{i = 1}^{n} (u_{i} - \bar{u})^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} u_{i} v_{i} - n \bar{u v}}{\sum_{i = 1}^{n} u_{i}^{2} - n {\bar{u}}^{2}}$ ， $\overset{\hat{}}{a} = \bar{v} - \overset{\hat{}}{b} \bar{u}$ ，决定系数： $R^{2} = 1 - \frac{\sum_{i = 1}^{n} (v_{i} - \overset{\hat{}}{v})^{2}}{\sum_{i = 1}^{n} (v_{i} - \bar{v})^{2}} .$ 参考数据： ${l o g}_{2} 5 \approx 2.3$ ．

(1)、请根据表中数据，建立 $y$ 关于 $x$ 的回归方程 $($ 系数 $\overset{\hat{}}{b}$ 精确到 $0.1)$ ；

(2)、 $①$ 乙认为样本点分布在直线 $y = m x + n$ 的周围，并计算得线性回归方程为 $\overset{\hat{}}{y} = 8.25 x + 3$ ，以及该回归模型的决定系数 $R_{乙}^{2} = 0.893$ ，试比较甲、乙两人所建立的模型，谁的拟合效果更好？
$②$ 由 $①$ 所得的结论，计算该企业欲使收益达到 $1$ 亿元，科技投入的费用至少要多少百万元？ $($ 精确到 $0.1)$

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10、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A = A B$ ， $M$ 是 $P D$ 的中点．

(1)、证明： $P B / /$ 平面 $A C M$ ；

(2)、求直线 $C D$ 与平面 $A C M$ 所成角的正弦值．

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11、针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关“作了一次调查，其中女生人数是男生人数的 $\frac{1}{2}$ ，男生追星的人数占男生人数的 $\frac{1}{3}$ ，女生追星的人数占女生人数的 $\frac{2}{3}$ ，若有 $95 %$ 的把握认为中学生追星与性别有关，则男生至少有人．
参考数据及公式如下：

$P (K^{2} \geq k_{0})$

$0.050$

$0.010$

$0.001$

$k_{0}$

$3.841$

$6.635$

$10.828$
$K^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ ．

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12、直线 $l$ ： $m x - y + 1 = 0$ 截圆 $x^{2} + y^{2} + 4 x - 6 y + 4 = 0$ 的弦为 $M N$ ，则 $| M N |$ 的最小值为．

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13、如图，则 $P (\bar{A} B) =$ ， $P (B) =$ ．

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14、已知函数 $y = f (x)$ 是奇函数，对于任意的 $x \in (0, \frac{π}{2}]$ 满足 $f^{'} (x) s i n x - f (x) c o s x > 0 ($ 其中 $f^{'} (x)$ 是函数 $f (x)$ 的导函数 $)$ ，则下列不等式成立的是( )

A、 $\sqrt{3} f (- \frac{π}{6}) < f (- \frac{π}{3})$ B、 $\sqrt{2} f (- \frac{π}{4}) < - f (\frac{π}{2})$ C、 $f (\frac{π}{4}) > - \sqrt{2} f (- \frac{π}{6})$ D、 $f (\frac{π}{3}) > \sqrt{3} f (\frac{π}{6})$

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15、已知直线 $l$ ： $y = 2 x - 1$ 经过抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x$ 的焦点 $F$ ，且 $l$ 与 $C$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，则下列结论中正确的是( )

A、 $p = 2$ B、 $| A B | = \frac{5}{2}$ C、 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = - \frac{3}{4}$ D、以 $A F$ 为直径的圆和抛物线 $C$ 的准线相切

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16、现要从 $6$ 名学生中选 $4$ 名代表班级参加学校 $4 \times 100 m$ 接力赛，其中已确定 $1$ 人跑第 $1$ 棒或第 $4$ 棒，另有 $2$ 人只能跑第 $2$ ， $3$ 棒，还有 $1$ 人不能跑第 $1$ 棒，那么合适的选择方法种数为( )

A、 $60$ B、 $56$ C、 $84$ D、 $120$

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17、函数 $f (x) = - x^{3} + 3 x$ 在区间 $(a^{2} - 12, a)$ 上有最小值，则实数 $a$ 的取值范围是( )

A、 $(- 1, \sqrt{11})$ B、 $(- 1,2)$ C、 $(- 1,2]$ D、 $(1,4)$

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18、如图，用 $M$ ， $A_{1}$ ， $A_{2}$ 三类不同的元件连接成一个系统，当 $M$ 正常工作且 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知 $M$ ， $A_{1}$ ， $A_{2}$ 正常工作的概率依次是 $\frac{1}{2}$ ， $\frac{3}{4}$ ， $\frac{3}{4}$ ，已知在系统正常工作的前提下，则只有 $M$ 和 $A_{1}$ 正常工作的概率是( )

A、 $\frac{5}{9}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{1}{9}$

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19、函数 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ ，满足关系式 $f (x) = x^{2} + 2 x f^{'} (2) - l n x$ ，则 $f^{'} (2)$ 的值为( )

A、 $- \frac{7}{2}$ B、 $\frac{7}{2}$ C、 $- \frac{9}{2}$ D、 $\frac{9}{2}$

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20、青岛胶东国际机场的显著特点之一是弯曲曲线的运用，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率 $.$ 考察图所示的光滑曲线 $C$ ： $y = f (x)$ 上的曲线段 $\overset{⏜}{A B}$ ，其弧长为 $Δ s$ ，当动点从 $A$ 沿曲线段 $\overset{⏜}{A B}$ 运动到 $B$ 点时， $A$ 点的切线 $l_{A}$ 也随着转动到 $B$ 点的切线 $l_{B}$ ，记这两条切线之间的夹角为 $Δ θ ($ 它等于 $l_{B}$ 的倾斜角与 $l_{A}$ 的倾斜角之差 $) .$ 显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义 $\bar{K} = | \frac{Δ θ}{Δ s} |$ 为曲线段 $\overset{⏜}{A B}$ 的平均曲率；显然当 $B$ 越接近 $A$ ，即 $Δ s$ 越小， $K$ 就越能精确刻画曲线 $C$ 在点 $A$ 处的弯曲程度，因此定义曲线 $y = f (x)$ 在点 $(x, f (x))$ 处的曲率计算公式为 $K = \underset{Δ x \to 0}{l i m} | \frac{Δ θ}{Δ s} | = \frac{| t^{'} (x) |}{(1 + [f^{'} (x)]^{2})^{\frac{3}{2}}}$ ，其中 $t (x) = f^{'} (x)$ ．

(1)、求单位圆上圆心角为 $60 °$ 的圆弧的平均曲率；

(2)、已知函数 $f (x) = \frac{1}{x} (x > 0)$ ，求曲线 $y = f (x)$ 的曲率的最大值；

(3)、已知函数 $g (x) = 6 x^{2} l n x - 2 a x^{3} - 9 x^{2}, ℎ (x) = 2 x e^{x} - 4 e^{x} + a x^{2}, a \in (0, \frac{1}{e})$ ，若 $g (x)$ ， $ℎ (x)$ 曲率为 $0$ 时 $x$ 的最小值分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，求证： $\frac{x_{1}^{2}}{e^{x_{2}}} > e^{\frac{8}{3}}$ ．

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质量指标值 $m$	$[70,75)$	$[75,80)$	$[80,85)$	$[85,90)$	$[90,100]$
质量指标等级	良好	优秀	良好	合格	废品

科技投入 $x$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$
收益 $y$	$19$	$20$	$22$	$31$	$40$	$50$	$70$

$\bar{z}$	$\sum_{i = 1}^{7} x_{i}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{7} x_{i} y_{i}$	$\sum_{i = 1}^{7} x_{i} z_{i}$	$\sum_{i = 1}^{7} (y_{i} - \bar{y})^{2}$	$\sum_{i = 1}^{7} (y_{i} - \overset{\hat{}}{y})^{2}$
$5$	$140$	$1239$	$149$	$2134$	$130$

$P (K^{2} \geq k_{0})$	$0.050$	$0.010$	$0.001$
$k_{0}$	$3.841$	$6.635$	$10.828$