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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中，已知 $A = 60 °$ ， $B C = 2$ ， $D$ 为 $B C$ 的中点，则线段 $A D$ 长度的最大值为（）

A、3 B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{2}$

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2、已知正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的上、下底面边长分别为2和4，若侧棱 $A A_{1}$ 长为 $2 \sqrt{2}$ ，则该正四棱台的体积为（）

A、 $28 \sqrt{3}$ B、 $84 \sqrt{2}$ C、 $\frac{28 \sqrt{6}}{3}$ D、 $28 \sqrt{2}$

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3、已知复数 $z_{1} = 2 + a i$ ， $a \in R$ ， $z_{2} = 1 - 2 i$ ，若 $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ 为纯虚数，则 $|z_{1}| =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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4、在 $△ A B C$ 中，已知 $A = 45^{\circ}$ ， $B = 30^{°}$ ， $a = 2$ ，则 $b$ 等于（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、1

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5、边长为 $2 \sqrt{2}$ 的正方形，其水平放置的直观图的面积为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $8 \sqrt{2}$ D、 $16 \sqrt{2}$

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6、若函数 $f (x)$ 在 $x \in [a, b]$ 时，函数值 $y$ 的取值区间恰为 $[\frac{1}{b}, \frac{1}{a}]$ ，就称区间 $[a, b]$ 为 $f (x)$ 的一个“倒域区间”．定义在 $[- 2, 2]$ 上的奇函数 $g (x)$ ，当 $x \in [0, 2]$ 时， $g (x) = - x^{2} + 2 x$ ．
（1）求 $g (x)$ 的解析式；
（2）求函数 $g (x)$ 在 $[1, 2]$ 内的“倒域区间”；
（3）若函数 $g (x)$ 在定义域内所有“倒域区间”上的图象作为函数 $y = h (x)$ 的图象，是否存在实数 $m$ ，使集合 $\{(x, y)| y = h (x)\} \cap \{(x, y)| y = x^{2} + m\}$ 恰含有2个元素？若存在，求出 $m$ 的值；若不存在，请说明理由．

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7、如图，正四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B = 1$ ，侧棱 $P A$ 与底面 $A B C D$ 所成角的正切值为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ ．

(1)、求侧面 $P A D$ 与底面 $A B C D$ 所成二面角的大小；

(2)、若 $E$ 是 $P B$ 中点，求异面直线 $P D$ 与 $A E$ 所成角的正切值．

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8、4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”.已知某学校高一学生共有800人，为了解该学校高一学生阅读时间的分配情况，从该学校随机抽取了100名高一学生进行调查，得到了这100名学生的日平均阅读时间（单位：分钟），将样本数据按 $[30, 40), [40, 50), \dots, [90, 100]$ 分成7组，并整理得到如下频率分布直方图：

(1)、从总体中随机抽取1名学生，估计其日平均阅读时间大于或等于60分钟的概率；

(2)、求样本数据的中位数的估计值；

(3)、已知样本中日平均阅读时间大于或等于70分钟的学生中，男､女学生恰好各占一半，日平均阅读时间小于70分钟的学生中男生占 $40 %$ ；估计该学校高一男学生的人数.

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9、如图， $A C$ 是半圆 $O$ 的直径， $A C = \sqrt{10}$ ， $B$ 为圆周上一点， $B E ⊥$ 平面 $A B C$ ， $B C / / D E$ ， $B E = 3 B C$ ， $D E = 2 B C$ ， $C D = \sqrt{10}$ .
（1）求证：平面 $A E B ⊥$ 平面 $A E D$ ；
（2）在线段 $A D$ 上是否存在点 $M$ ，且使得 $C M ⊥$ 平面 $A E D$ ？若存在，求出点 $M$ 的位置；若不存在，请说明理由.

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10、已知函数 $f (x) = 2 sin (ω x + φ)$ ，其中 $(ω > 0, 0 < φ < \frac{π}{2})$ ，该函数以 $(\frac{π}{4}, 0)$ 为对称中心，且与其相邻的一条对称轴为 $x = \frac{π}{12}$ .

(1)、求函数 $f (x) = 2 sin (ω x + φ)$ 的周期及表达式；

(2)、若函数 $f (x)$ 对任意 $x \in [\frac{π}{6}, \frac{π}{3}]$ ，都有 $f (x) - 2 a \leq 0$ 恒成立，求参数 $a$ 的取值范围.

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11、在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.如图，四棱锥 $P - A B C D$ 为阳马，侧棱 $P A ⊥$ 底面 $A B C D, P A = A D = 2, A B = 1, E$ 为棱 $P A$ 的中点，则直线 $C E$ 与平面 $P A B$ 所成角的余弦值为.

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12、 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (m, 1)$ ，若 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) ∥ (2 \vec{a} - \vec{b})$ ，则 $m =$ ．

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13、在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $∠ D A B = 60^{\circ}$ ，点 $E$ 为线段 $C D$ 的中点， $A C$ 和 $B D$ 交于点 $O$ ，则（）

A、 $\vec{A C} \cdot \vec{B D} = 0$ B、 $\vec{A B} \cdot \vec{A D} = 2$ C、 $\vec{O E} \cdot \vec{B A} = - \frac{1}{4}$ D、 $\vec{O E} \cdot \vec{A E} = \frac{5}{2}$

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14、对于 $△ A B C$ 有如下命题，其中错误的是（）

A、若 $\sin^{2} A + \sin^{2} B < \sin^{2} C$ ，则 $△ A B C$ 为锐角三角形 B、若 $A B = \sqrt{3}, A C = 1, B = 30 °$ ，则 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、若 $\sin 2 A = \sin 2 B$ ，则 $△ A B C$ 为等腰三角形 D、P在 $△ A B C$ 所在平面内，若 $\overset{⃑}{P A} + \overset{⃑}{P B} + \overset{⃑}{P C} = \overset{⃑}{0}$ ，则P是 $△ A B C$ 的重心

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15、某校举行“歌唱祖国，为青春喝彩”歌唱比赛．比赛由9名专业人士和9名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分．两个评委小组（记为小组A，小组B）对同一名选手打分分值的折线图如下，则（）

A、小组A打分分值的众数为47 B、小组B打分分值第90百分位数为75 C、小组A打分分值的方差大于小组B打分分值的方差 D、小组B打分分值的极差为39

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16、四个半径为2的球刚好装进一个正四面体容器内，此时正四面体各面与球相切，则这个正四面体外接球的表面积为（）

A、 $(168 + 48 \sqrt{6}) π$ B、 $(168 + 42 \sqrt{6}) π$ C、 $(188 + 48 \sqrt{6}) π$ D、 $(168 + 32 \sqrt{6}) π$

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17、若P是 $△ A B C$ 所在平面外一点，且 $P A ⊥ B C$ ， $P B ⊥ A C$ ，则点P在 $△ A B C$ 所在平面内的射影O是 $△ A B C$ 的（）

A、内心 B、外心 C、重心 D、垂心

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18、对以下两组数据进行分析，下列说法不正确的是（       ）
甲：8       12       13       27       24       37       22       20       25       26
乙：9       14       13       11       18       19       20       21       21       23

A、甲的极差是29 B、甲的中位数是25 C、乙的众数是21 D、甲的平均数比乙的大

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19、设 $m ， n$ 是两条不同的直线， $a, β$ 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A、若 $m // α, n // α$ ，则 $m // n$ B、若 $α // β, m \subset α, n \subset β$ ，则 $m // n$ C、若 $m ⊥ α, n ⊥ β, n ⊥ m$ ，则 $a ⊥ β$ D、若 $α \cap β = m, n \subset α, n ⊥ m$ ，则 $n ⊥ β$

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20、设向量 $\vec{a} = (1, 1)$ ， $\vec{b} = (3, - 2)$ ，则 $3 \vec{a} - 2 \vec{b} =$ （）

A、 $(- 3 \begin{matrix} , & 7) \end{matrix}$ B、 $(0 \begin{matrix} , & 7) \end{matrix}$ C、 $(3 \begin{matrix} , & 5) \end{matrix}$ D、 $(- 3 \begin{matrix} , & 5) \end{matrix}$

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