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相关试卷

1、某校高一年级有学生1800人，高二年级有学生1500人，高三年级有1200人，为了调查学生的视力状况，采用分层抽样的方法抽取学生，若在抽取的样本中，高一年级的学生有60人，则该样本中高三年级的学生人数为 $($ $)$

A、60 B、50 C、40 D、30

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2、给出以下三个材料：
$①$ 若函数 $f (x)$ 的导数为 $f^{'} (x)$ ， $f^{'} (x)$ 的导数叫做 $f (x)$ 的二阶导数，记作 $f ″ (x) .$ 类似地，二阶导数 $f^{'}^{'} (x)$ 的导数叫做 $f (x)$ 的三阶导数，记作 $f^{(3)} (x)$ ，三阶导数 $f^{(3)} (x)$ 的导数叫做 $f (x)$ 的四阶导数 $\dots$ ，一般地， $n - 1$ 阶导数的导数叫做 $f (x)$ 的 $n$ 阶导数，即 $f^{(n)} (x) = [f^{(n - 1)} (x)]^{'}$ ， $n \geq 4;$
$②$ 若 $n \in N^{*}$ ，定义 $n! = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \dots \times 3 \times 2 \times 1;$
$③$ 若函数 $f (x)$ 在包含 $x_{0}$ 的某个开区间 $(a, b)$ 上具有 $n$ 阶的导数，那么对于 $\forall x \in (a, b)$ 有 $g (x) = f (x_{0}) + \frac{f^{'} (x_{0})}{1!} (x - x_{0}) + \frac{f^{'}^{'} (x_{0})}{2!} (x - x_{0})^{2} + \frac{f^{'}^{'}^{'} (x_{0})}{3!} (x - x_{0})^{3} + \dots + \frac{f^{(n)} (x_{0})}{n ！} (x - x_{0})^{n}$ ，我们将 $g (x)$ 称为函数 $f (x)$ 在点 $x = x_{0}$ 处的 $n$ 阶泰勒展开式 $.$ 例如， $y = e^{x}$ 在点 $x = 0$ 处的 $n$ 阶泰勒展开式为 $1 + x + \frac{1}{2} x^{2} + \dots + \frac{1}{n!} x^{n} .$ 根据以上三段材料，完成下面的题目：

(1)、若 $f_{1} (x) = c o s x$ ， $f_{2} (x) = s i n x$ 在点 $x = 0$ 处的 $3$ 阶泰勒展开式分别为 $g_{1} (x)$ ， $g_{2} (x)$ ，求出 $g_{1} (x)$ ， $g_{2} (x);$

(2)、比较 $(1)$ 中 $f_{1} (x)$ 与 $g_{1} (x)$ 的大小 $;$

(3)、证明： $e^{x} + s i n x + c o s x \geq 2 + 2 x$ ．

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3、已知集合 $A = {x | \frac{2 x - 2}{x + 1} < 1}$ ，集合 $B = {x | x^{2} + x + a - a^{2} < 0}$ ．

(1)、若存在 $x_{0} \in A$ ，使得 $B \neq ⌀$ ，求 $a$ 的取值范围 $;$

(2)、若“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的充分不必要条件，求实数 $a$ 的取值范围．

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4、某从业者绘制了他在 $26$ 岁 $\sim 35$ 岁 $(2014$ 年 $\sim 2023$ 年 $)$ 之间各年的月平均收入 $($ 单位：千元 $)$ 的散点图：
附注：
$①$ 参考数据： $\sum_{i = 1}^{10} x_{i} = 55$ ， $\sum_{i = 1}^{10} y_{i} = 155.5$ ， $\sum_{i = 1}^{10} (x_{i} - \bar{x})^{2} = 82.5$ ， $\sum_{i = 1}^{10} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = 94.9$ ， $\sum_{i = 1}^{10} t_{i} = 15.1$ ， $\sum_{i = 1}^{10} (t_{i} - \bar{t})^{2} = 4.84$ ， $\sum_{i = 1}^{10} (t_{i} - \bar{t}) (y_{i} - \bar{y}) = 24.2$ ，其中 $t_{i} = l n x_{i}$ ，取 $l n 11 = 2.4$ ， $l n 36 = 3.6$
$②$ 参考公式：经验回归直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中斜率和截距的最小二乘估计分别为： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} x;$
$χ^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$

$α$

$0.050$

$0.010$

$0.001$

$x_{α}$

$3.841$

$6.635$

$10.828$

(1)、由散点图知，可用经验回归方程 $\hat{y} = \hat{b} l n x + \hat{a}$ 拟合月平均收入 $y$ 与年龄代码 $x$ 的关系，试根据附注中提供的有关数据求出所选经验回归方程 $;$

(2)、若把月收入不低于 $2$ 万元称为“高收入者” $.$ 试利用 $(1)$ 的结果，估计他 $36$ 岁时能否称为“高收入者” $?$
给定以下列联表的数据，依据 $α = 0.05$ 的独立性检验，能否认为年龄高于 $35$ 岁与成为高收入者有关系 $?$

为高收入者
不为高收入者
高于 $35$ 岁
$40$
$10$
不高于 $35$ 岁
$30$
$20$

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5、已知函数 $f (x) = x^{3} + a x + b$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性 $;$

(2)、若函数 $f (x)$ 的图象是曲线 $C$ ，直线 $y = k x + 1$ 与曲线 $C$ 相切于点 $(2,3) .$ 求函数 $g (x) = f (x) - x - 1$ 在区间 $[0,2]$ 上的最大值和最小值．

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6、已知函数 $f (x) = a x + x l n x$ 的图像在 $x = e ($ 其中 $e$ 为自然对数的底数 $)$ 处的切线斜率为 $3 .$ 若 $k \in Z$ ，且 $k < \frac{f (x)}{x - 1}$ 对任意 $x > 1$ 恒成立，则 $k$ 的最大值为．

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7、 $2024$ 年 $5$ 月 $15$ 日至 $17$ 日“一节一赛”水上运动大赛在重庆彭水举行，甲、乙、丙、丁、戊 $5$ 名志愿者承担调度服务、安检服务、驾驶服务 $3$ 个项目志愿服务，每名志愿者需承担 $1$ 项工作，每项工作至少需要 $1$ 名志愿者，甲不承担驾驶服务，则不同的安排方法有种 $. ($ 用数字作答 $)$

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8、已知不等式 $a x^{2} + b x + c < 0$ 的解集为 $(- 1,3)$ ，则不等式 $c x^{2} + b x + a < 0$ 的解集为．

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9、设 $(1 - 2 x)^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + \dots + a_{n} x^{n}$ ， $x \in R$ ， $n \in N^{*}$ ，则下列结论中正确的是( )

A、 $- \frac{a_{1}}{2} + \frac{a_{2}}{2^{2}} - \frac{a_{1}}{2^{3}} + \dots + (- 1)^{n} \frac{a_{n}}{2^{n}} = 2^{n} - 1$ B、若 $| a_{8} | > | a_{7} |$ ， $| a_{8} | > | a_{9} |$ ，则 $n = 11$ C、当 $x = - \frac{1}{2000}$ ， $n = 2024$ 时， $(1 - 2 x)^{n} > 5$ D、当 $n \geq 3$ 时， $2 a_{2} + 6 a_{3} + \dots + n (n - 1) a_{n} = 4 n (n - 1)$

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10、袋中装有 $5$ 张相同的卡片，分别标有数字 $1$ ， $2$ ， $3$ ， $4$ ， $5$ ，从中有放回地随机取两次，每次取 $1$ 张卡片 $. A$ 表示事件“第一次取出的卡片数字是奇数”， $B$ 表示事件“第二次取出的卡片数字是偶数”， $C$ 表示事件“两次取出的卡片数字之和是 $6$ ”，则( )

A、 $P (A \cup B) = 1$ B、 $P (B \cup C) = \frac{13}{25}$ C、 $A$ 与 $B$ 相互独立 D、 $P (C | B) = \frac{1}{5}$

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11、下列命题中，正确的有( )

A、若随机变量X~B(5， $\frac{1}{2}$ )，则D(X)= $\frac{5}{4}$ B、若随机变量X~N(5， $σ^{2}$ )，且P(3 $\leq$ X $\leq$ 5)=0.3，则P(X $\geq$ 7)=0.2 C、若10件产品中有4件次品和6件正品.现从中随机抽取3件产品，记取得的次品数为随机变量X ，无论是有放回的抽取还是无放回的抽取，D(X)相等 D、从2，4，5，7，9，11，13，15，17，19中任取一个数，这个数比a大的概率为 $\frac{2}{5}$ ，若a恰为以上数据的第m百分位数，则m的值可能是60

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12、已知数列 ${a_{n}}$ 共有 $9$ 项，其中 $a_{1} = a_{9} = 1$ ，且对每个 $i \in {1,2, \dots, 8}$ ，都有 $\frac{a_{i + 1}}{a_{i}} \in {2,1, - \frac{1}{2}}$ ，则满足上述条件的数列一共有 $()$ 个。

A、 $461$ B、 $471$ C、 $481$ D、 $491$

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13、设 $m > 0$ ，不等式 $x^{2} l n x - m e^{\frac{m}{x}} \geq 0$ 在 $[e, + \infty)$ 上恒成立，则 $m$ 的最大值为( )

A、 $\frac{1}{e}$ B、 $e$ C、 $2 e$ D、 $e^{2}$

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14、甲、乙、丙三人相互做传球训练，第 $1$ 次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，经过 $6$ 次传球后，球恰好在甲手中的概率为( )

A、 $\frac{5}{16}$ B、 $\frac{31}{96}$ C、 $\frac{11}{32}$ D、 $\frac{17}{48}$

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15、已知 $x$ ， $y$ 均为正实数，且 $\frac{1}{x + 2} + \frac{4}{y + 3} = \frac{1}{2}$ ，则 $x + y$ 的最小值为( )

A、 $10$ B、 $11$ C、 $12$ D、 $13$

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16、有 $3$ 名男生、 $4$ 名女生站成一排，则这 $3$ 名男生互不相邻的站法共有 $()$ 种

A、 $840$ B、 $1020$ C、 $1440$ D、 $1920$

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17、“ $x > y$ ”成立的一个充分条件可以是( )

A、 $2^{x - y} > \frac{1}{2}$ B、 $x^{2} > y^{2}$ C、 $x t^{2} > y t^{2}$ D、 $\frac{x}{y} > 1$

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18、树人中学国旗班共有 $50$ 名学生，其中男女比例 $3 : 2$ ，平均身高 $174 c m$ ，用等比例分层随机抽样的方法，从中抽取一个容量为 $20$ 的样本，若样本中男生的平均身高为 $178 c m$ ，样本中女生人数与女生平均身高的估计值分别为( )

A、 $8$ 人 $168 c m$ B、 $8$ 人 $170 c m$ C、 $12$ 人 $168 c m$ D、 $12$ 人 $170 c m$

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19、已知集合 $A = {x | 1 < 3^{x} \leq 9}$ ， $B = {x \in Z | x \geq 1}$ ，则 $A \cap B =$ ( )

A、 $(1,2]$ B、 ${1,2}$ C、 $[1,2]$ D、 ${1}$

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20、某中医药研究所研制出一种新型抗癌药物，服用后需要检验血液是否为阳性，现有n（n∈N^*）份血液样本，每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n次；（2）混合检验，将其中k（k∈N^* ， 2≤k≤n）份血液样本分别取样混合在一起检验，若结果为阴性，则这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只需检验一次就够了：若检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪份为阳性，就需要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为k+1次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阳性的概率为p（0＜p＜1）．

(1)、假设有6份血液样本，其中只有两份样本为阳性，若采取逐份检验的方式，求恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率．

(2)、现取其中的k（k∈N^* ， 2≤k≤n）份血液样本，记采用逐份检验的方式，样本需要检验的次数为ξ₁；采用混合检验的方式，样本需要检验的总次数为ξ₂ ．
（ⅰ）若Eξ₁＝Eξ₂ ，试运用概率与统计的知识，求p关于k的函数关系p＝f（k）；
（ⅱ）若 $p = 1 - \frac{1}{\sqrt[4]{e}}$ ，采用混合检验的方式需要检验的总次数的期望比逐份检验的总次数的期望少，求k的最大值．（ln4＝1.386，ln5＝1.609，ln6＝1.792，ln7＝1.946，ln8＝2.079，ln9＝2.197）

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	为高收入者	不为高收入者
高于 $35$ 岁	$40$	$10$
不高于 $35$ 岁	$30$	$20$

$α$	$0.050$	$0.010$	$0.001$
$x_{α}$	$3.841$	$6.635$	$10.828$