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相关试卷

1、已知函数f（x）＝x²﹣2ax+2lnx ．

(1)、当 $a = 2 \sqrt{2}$ 时，求曲线y＝f（x）的单调减区间；

(2)、若y＝f（x）有两个极值点x₁ ， x₂ ，且x₁＜x₂ ， $a \geq \frac{5}{2}$ ，若不等式f（x₁）≥mx₂恒成立，求实数m的取值范围．

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2、随着人工智能的进一步发展，ChatGPT逐渐进入大众视野．ChatGPT是一种基于人工智能的语言模型，具备卓越的自然语言处理能力、广泛的知识覆盖范围和富有创造性的回答能力，是人们学习、工作与生活中的出色助手．尽管如此，也有部分人认为ChatGPT会对人类未来工作产生威胁，由于其在提高工作效率方面的出色表现，将在未来取代一部分人的职业．现对200家IT企业开展调查，统计每家企业一年内应用ChatGPT的广泛性及招聘人数的增减，得到数据结果统计如下表所示：

20．附： $x^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中n＝a+b+c+d ．

α	0.1	0.05	0.01
x_a	2.706	3.841	6.635

ChatGPT应用广泛性

招聘人数减少

招聘人数增加

合计

广泛应用

110

没有广泛应用

合计

100

200

(1)、根据小概率α＝0.01的独立性检验，是否有99%的把握认为IT企业招聘人数的增减与ChatGPT应用的广泛性有关？

(2)、用频率估计概率，从招聘人数减少的企业中随机抽取30家企业，记其中广泛应用ChatGPT的企业有X家，事件“X＝k”的概率为P（X＝k）．求X的分布列并计算使P（X＝k）取得最大值时k的值．

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3、已知直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，侧面AA₁B₁B为正方形，AB＝BC＝2，E ， F分别为AC和CC₁的中点，D为棱A₁B₁上的点，BF⊥A₁B₁ ．

(1)、证明：BF⊥DE；

(2)、当B₁D为何值时，面BB₁C₁C与面DFE所成的二面角的正弦值最小？

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4、端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．

(1)、求三种粽子各取到1个的概率；

(2)、设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列；

(3)、设Y表示取到的粽子的种类，求Y的分布列．

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5、已知F₁、F₂为椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，点P为该椭圆上一点，且满足∠F₁PF₂＝60°，若△PF₁F₂的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，则该椭圆的离心率为．

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6、某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%，一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，如下表是过去200例类似项目开发的实施结果：
投资成功
投资失败
192次
8次
则该公司一年后估计可获收益的期望是（元）．

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7、过点（﹣1，1）与曲线f（x）＝ln（x+1）﹣3e^x+2相切的直线方程为．

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8、将两个各棱长均为1的正三棱锥D﹣ABC和E﹣ABC的底面重合，得到如图所示的六面体，则（）

A、该几何体的表面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ B、该几何体的体积为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ C、过该多面体任意三个顶点的截面中存在两个平面互相垂直 D、直线AD∥平面BCE

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9、若f（x）图象上存在两点A ， B关于原点对称，则点对[A ， B]称为函数f（x）的“友情点对”（点对[A ， B]与[B ， A]视为同一个“友情点对”）若 $f (x) = \{\begin{matrix} \frac{x^{3}}{e^{x}}, x \geq 0 \\ a x^{2}, x < 0 \end{matrix}$ 恰有两个“友情点对”，则实数a的值可以是（）

A、0 B、 $- \frac{1}{2018}$ C、 $- \frac{1}{e}$ D、 $- \frac{1}{2021}$

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10、下列说法中正确的是（）
附：χ²独立性检验中几个常用的概率值与相应的临界值
α
0.1
0.05
0.01
χ_a
2.706
3.841
6.635

A、已知离散型随机变量 $X ~ B (4, \frac{1}{3})$ ，则 $D (3 X + 2) = \frac{14}{3}$ B、一组数据148，149，154，155，155，156，157，158，159，161的第75百分位数为158 C、若 $P (A) = \frac{1}{4}$ ， $P (\bar{B}) = \frac{2}{3}$ ， $P (A B) = \frac{1}{12}$ ，则事件A与B相互独立 D、根据分类变量x与y的观测数据，计算得到χ²＝3.154，依据α＝0.05的独立性检验可得：变量x与y独立，这个结论错误的概率不超过0.05

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11、已知f（x）＝x﹣lnx ，函数f（x）的导函数为f^'（x），则下列说法正确的是（）

A、f^'（1）＝0 B、单调递增区间为（1，+∞） C、f（x）的极大值为1 D、方程f（x）＝1有两个不同的解

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12、已知 $f (x) = x \log_{2} (\sqrt{4 x^{2} + 1} + 2 x) - c o s x$ ，且 $a = f (\log_{2} \frac{1}{3})$ ， $b = f ({0.9}^{0.1})$ ， $c = f (\log_{3} 4)$ ，则a ， b ， c的大小关系为（）

A、a＞b＞c B、b＞a＞c C、c＞b＞a D、a＞c＞b

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13、已知函数f（x）＝x³﹣3x²+3在区间（a ， a+6）上存在最小值，则实数a的取值范围为（）

A、[﹣1，2） B、 $[- \frac{5}{2}, 1)$ C、 $[- 2, \frac{3}{2})$ D、[﹣1，1）

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14、随机变量ξ服从标准正态分布N（0，1），已知P（ξ≤﹣1.96）＝0.025，则P（|ξ|＜1.96）等于（）

A、0.025 B、0.050 C、0.950 D、0.975

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15、已知双曲线C经过点（0，1），离心率为 $\sqrt{2}$ ，则C的标准方程为（）

A、x²﹣y²＝1 B、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ C、y²﹣x²＝1 D、 $y^{2} - \frac{x^{2}}{3} = 1$

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16、对于一组具有线性相关关系的数据（x_i ， y_i）（i＝1，2，3，……，n），根据最小二乘法求得回归直线方程为 $\bar{y} = \bar{b} x + \bar{a}$ ，则以下说法正确的是（）

A、至少有一个样本点落在回归直线 $\bar{y} = \bar{b} x + \bar{a}$ 上 B、预报变量y的值由解释变量x唯一确定 C、相关指数R²越小，说明该模型的拟合效果越好 D、在残差图中，残差点分布水平带状区域的宽度越窄，则回归方程的预报精确度越高

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17、函数y＝cosx•lnx的导函数为（）

A、 $y' = s i n x ∙ l n x + \frac{c o s x}{x}$ B、 $y' = - s i n x ∙ l n x + \frac{c o s x}{x}$ C、 $y' = - \frac{s i n x}{x}$ D、 $y' = \frac{s i n x}{x}$

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18、已知函数. $f (x) = l n (x + 2) .$

(1)、已知直线l过点( $(- 1, 5),$ 且直线l与曲线 $y = f (x)$ )在x=-1处的切线方程平行，求直线l的方程；

(2)、证明： $e ˣ \geq x + 1;$

(3)、若函数 $ℎ (x) = f (x) - a (x + 2)$ )有且只有两个零点，求a的取值范围.

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19、为提高学生的数学应用能力和创造力，学校打算开设“数学建模”选修课，为了解学生对“数学建模”的兴趣度是否与性别有关，学校随机抽取本校 30名高中学生进行问卷调查，其中感兴趣的人数占70%.
附 $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)},$ 其中 $n = a + b + c + d .$
α
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

(1)、根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表判断，依据小概率值( $α = 0.1$ 的独立性检验，分析学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别是否有关；
感兴趣
不感兴趣
合计
男生
12
女生
5
合计
30

(2)、若感兴趣的女生中恰有4名是高三学生，现从感兴趣的女生中随机选出3名进行二次访谈，记选出高三女生的人数为X，求X的分布列与数学期望.

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20、为弘扬五四爱国主义精神，某学校开展了爱国主义知识竞赛活动.在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回答一个有关历史的问题，每个人回答正确与否互不影响.已知甲回答正确的概率是 $\frac{1}{3}$ .甲、丙两人都回答正确的概率是. $\frac{1}{4},$ 乙、丙两人都回答正确的概率是 $\frac{1}{2}$ .

(1)、若规定三名同学都回答这个问题，求甲、乙、丙三名同学都回答正确的概率；

(2)、若规定三名同学抢答这个问题，已知甲、乙、丙抢到答题机会的概率分别为 $\frac{1}{6}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2},$ 求这个问题被回答正确的概率.

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投资成功	投资失败
192次	8次

α	0.10	0.05	0.01	0.005	0.001
xα	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

	感兴趣	不感兴趣	合计
男生	12
女生		5
合计			30