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相关试卷

1、已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (- 3, 1)$ .

(1)、若 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - k \vec{b})$ ，求 $k$ 的值；

(2)、若 $t \in R$ ，求 $|\vec{a} - t \vec{b}|$ 的最小值.

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2、某市高一年级36000名学生参加了一次数学竞赛，为了解本次竞赛情况，随机抽取了500名学生的成绩，并根据这500名学生成绩，绘制频率分布直方图如图所示.

(1)、求a的值，并估计该市高一年级的及格（60分以上）人数；

(2)、估计该市高一年级学生成绩的 $71 %$ 分位数.

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3、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 $c = 2 b \sin A$ ，则 $\frac{b}{a}$ 的最大值是.

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4、已知某圆台的上底面和下底面的面积之比为 $1 : 4$ ，轴截面面积为6，母线长为上底面半径的 $\sqrt{5}$ 倍，则该圆台的体积为.

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5、已知事件 $A$ 与事件 $B$ 发生的概率分别为 $P (A) = 0.3$ ， $P (B) = 0.5$ ，且 $P (A \cap B) = 0.1$ ，则 $P (A \cup B) =$ .

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6、已知点 $P$ 在 $△ A B C$ 所在的平面内，则下列命题正确的是（）

A、若 $P$ 为 $△ A B C$ 的垂心，且 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 3$ ，则 $\vec{A P} \cdot \vec{A C} = 3$ B、若 $\vec{P A} + 2 \vec{P B} + 3 \vec{P C} = \vec{0}$ ，则 $△ A B C$ 的面积与 $△ A B P$ 的面积之比为 $3 : 1$ C、若 $\vec{A P} = (\frac{1}{|\vec{A B}| \cos B} + \frac{1}{2}) \vec{A B} + (\frac{1}{|\vec{A C}| \cos C} + \frac{1}{2}) \vec{A C}$ ，则动点 $P$ 的轨迹经过 $△ A B C$ 的外心 D、若E，F，G分别为 $A B$ ， $B C$ ， $A C$ 的中点，且 $A C = B G = 2$ ， $\vec{P A} \cdot \vec{P C} = 0$ ，则 $\vec{P E} \cdot \vec{P F}$ 的最大值为 $\frac{15}{4}$

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7、如图，连接正方体各个面的中心得到一个每个面都是正三角形的八面体，如果四边形 $A B C D$ 是边长为2的正方形，则（）

A、异面直线 $A E$ 与 $D F$ 所成角的大小为 $\frac{π}{3}$ B、二面角 $A - E B - C$ 的平面角的余弦值为 $\frac{1}{3}$ C、平面 $A E C ⊥$ 平面 $B F D E$ D、此八面体的外接球表面积为 $8 π$

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8、已知复数 $z_{1} = - 2 + a i$ ， $z_{2} = a - 4 i (a \in R)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $|z_{1}| < |z_{2}|$ B、存在实数 $a$ ，使得 $z_{1} z_{2}$ 为实数 C、若 $z_{1} + z_{2}$ 为纯虚数，则 $a = 2$ D、 ${(z_{1} + z_{2})}^{2} = {|z_{1} + z_{2}|}^{2}$

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9、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，P为底面ABCD内一动点，直线 $D_{1} P$ 与平面ABCD所成角为 $\frac{π}{4}$ ， $E$ 为正方形 $A_{1} A D D_{1}$ 的中心，点 $M$ 为线段 $D_{1} B$ 上一动点，则 $M P + M E$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{10 - 2 \sqrt{2}}$ B、 $\sqrt{10 - 4 \sqrt{2}}$ C、 $\sqrt{12 - 2 \sqrt{2}}$ D、 $\sqrt{12 - 4 \sqrt{2}}$

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10、已知对任意平面向量 $\vec{A B} = (x, y)$ ，把 $\vec{A B}$ 绕其起点沿逆时针方向旋转 $θ$ 角得到向量 $\vec{A P} = (x \cos θ - y \sin θ, x \sin θ + y \cos θ)$ ，叫做点 $B$ 绕点 $A$ 沿逆时针方向旋转 $θ$ 角得到点 $P$ .已知平面内点 $A (0, 1)$ ，点 $B (\sqrt{2}, 1 - 2 \sqrt{2})$ ，把点 $B$ 绕点 $A$ 沿顺时针方向旋转 $\frac{π}{4}$ 后得到点 $P$ ，则点 $P$ 的坐标为（）

A、 $(- 3, - 1)$ B、 $(- 3, 0)$ C、 $(- 1, - 2)$ D、 $(- 1, - 3)$

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11、若数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{10}$ 的平均数为3，方差为4，则下列说法错误的是（）

A、数据 $4 x_{1} + 1, 4 x_{2} + 1, \dots, 4 x_{10} + 1$ 的平均数为13 B、数据 $3 x_{1}, 3 x_{2}, \dots, 3 x_{10}$ 的方差为12 C、 $\sum_{i = 1}^{10} x_{i} = 30$ D、 $\sum_{i = 1}^{10} x_{i}^{2} = 130$

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12、已知 $|\vec{a}| = 2$ ， $|\vec{b}| = 3$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $120 °$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量是（）

A、 $\frac{3}{2} \vec{a}$ B、 $- \frac{3}{2} \vec{a}$ C、 $\frac{3}{4} \vec{a}$ D、 $- \frac{3}{4} \vec{a}$

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13、在 $△ A B C$ 中，若 $\sin A : \sin B : \sin C = 2 : 3 : 4$ ，则 $\cos A =$ （）

A、 $\frac{7}{8}$ B、 $- \frac{7}{8}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $- \frac{1}{4}$

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14、在杭州亚运会期间，共有1.8万多名赛会志愿者参与服务，据统计某高校共有本科生4400人，硕士生400人，博士生200人参与志愿者服务.现用分层抽样的方法从该高校志愿者中抽取部分学生了解服务心得，其中博士生抽取了10人，则本科生抽取的人数为（）

A、250 B、220 C、30 D、20

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15、复数 $1 - 2 i$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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16、已知 $f (x)$ 是定义在 $[a, b]$ 上的函数， $\forall n \in N^{*}$ ，将区间 $[a, b]$ 划分为任意 $n$ 个互不相交的小区间，将分点按从小到大记作 $x_{i} (i = 0, 1, \dots, n)$ ，其中 $x_{0} = a, x_{n} = b$ .若存在一个常数 $M > 0$ ，使得 $\sum_{i = 1}^{n} |f (x_{i}) - f (x_{i - 1})| \leq M$ 恒成立，称函数 $f (x)$ 为 $[a, b]$ 上的有界变差函数.

(1)、证明：若 $f (x)$ 是定义在 $[- 1, 1]$ 的单调递增函数，则 $f (x)$ 为 $[- 1, 1]$ 上的有界变差函数；

(2)、判断 $f (x) = x^{2}$ 在 $[- 1, 1]$ 上是否为有界变差函数？请说明理由；

(3)、判断 $f (x) = \{\begin{array}{l} x cos \frac{π}{x}, & x > 0 \\ 0, & x = 0 \end{array}$ 在 $[0, 1]$ 上是否为有界变差函数？请说明理由.

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17、某中学即将迎来百年校庆，校方准备组织校史知识竞猜比赛.比赛规则如下：比赛分成三轮，每轮比赛没有通过的学生直接淘汰，通过的学生可以领取奖品结束比赛，也可以放弃本轮奖品继续下一轮比赛，三轮都通过的学生可获得奖品一纪念版手办.已知学生每轮通过的概率都为 $\frac{1}{2}$ ，通过第一轮比赛后领取奖品结束比赛的概率为 $\frac{1}{3}$ ，通过第二轮比赛后领取奖品结束比赛的概率为 $\frac{1}{2}$ .

(1)、求学生小杰获得奖品的概率；

(2)、已知学生小杰获得奖品，求他至少通过两轮比赛的概率；

(3)、求学生小杰通过的比赛轮数 $X$ 的分布列与数学期望.

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18、已知 $f (x) = x - \frac{a - 1}{x} - a ln x$ .

(1)、判断 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 的极大值为 $- 3$ ，求实数 $a$ 的值.

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19、随着“特种兵旅行”在网络的爆火，某市文旅局准备在本市的景区推出旅游一卡通（也称旅游年卡）.为了更科学的制定一卡通的有关条例，市文旅局随机调查了2023年到本市景区旅游的1000名游客的年旅游消费支出，其旅游消费支出（单位：百元）近似服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，其中 $μ = 11.8, σ = 3.2$ .

(1)、若2023年到本市景区旅游游客为500万人，试估计2023年有多少游客（单位：万）在本市的年旅游消费支出不低于1500元；

(2)、现将游客来源分为“当地游客”和“外地游客”.若从这1000名游客中随机抽取1人，抽到外地游客的概率为 $\frac{2}{5}$ .规定游客的消费支出不低于1400元为三星客户，否则为一星客户.请根据已知条件完成下面的列联表，并依据小概率值 $α = 0.01$ 的独立性检验，能否认为“客户星级”与“游客来源”有关联？
游客来源
客户星级
合计
三星客户
一星客户
当地游客

外地游客
100

合计
300

1000
参考数据：若随机变量 $X \sim N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) \approx 0.6827, P (μ - 2 σ \leq X \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545, P (μ - 3 σ \leq X \leq μ + 3 σ) \approx 0.9973$ ；
参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
$α$
0.10
0.05
0.01
0.001
$χ_{α}$
2.706
3.841
6.635
10.828

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20、已知在 ${(1 - 2 x)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + \dots + a_{n} x^{n}$ 的展开式中，所有项的二项式系数之和为512.

(1)、求 $n$ 的值，并求展开式中所有项的系数和；

(2)、求展开式中系数绝对值最大的项.

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游客来源	客户星级		合计
游客来源	三星客户	一星客户	合计
当地游客
外地游客	100
合计	300		1000

$α$	0.10	0.05	0.01	0.001
$χ_{α}$	2.706	3.841	6.635	10.828