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相关试卷

1、以曲线 $Y = c e^{k X}$ 拟合一组数据时，经 $Z = ln Y$ 代换后的线性回归方程为 $Z = 3 X + 5$ ，则 $c =$ ．

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2、一枚质地均匀的正方体骰子，其中1点和4点所在面为红色，其余各面均为黑色．将这枚骰子抛掷两次，记事件 $A =$ “向上一面的颜色均是红色”， $B =$ “向上一面的颜色不相同”， $C =$ “向上一面的点数之和为5”， $D =$ “向上一面的点数之和为奇数”，则（）

A、事件A与事件C相互独立 B、事件B与事件D相互独立 C、 $P (C | A) = P (D | B)$ D、 $P (C | \bar{A}) = P (D | \bar{B})$

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3、下列有关回归分析的结论中，正确的是（）

A、若回归方程为 $\hat{y} = 6 - 2.5 x$ ，则变量y与x负相关 B、运用最小二乘法求得的经验回归直线一定经过样本点的中心 $(\bar{x}, \bar{y})$ C、若线性相关系数 $|r|$ 越小，说明两个变量之间的线性相关性越强 D、若散点图中所有点都在直线 $y = 0.92 x - 4.21$ ，则相关系数 $r = 0.92$

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4、若函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，满足 $f (0) = 2$ ， $\forall x \in R$ ，都有 $f (x) + f^{'} (x) > 1$ ，则关于 $x$ 的不等式 $f (x) > e^{- x} + 1$ 的解集为（）

A、 $\{x |x > 1\}$ B、 $\{x |x > e\}$ C、 $\{x |x < 0\}$ D、 $\{x |x > 0\}$

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5、已知随机变量 $X_{i} (i = 1, 2)$ 的分布列如表所示：
$X_{i}$
0
$\frac{1}{3} + p_{i}$
$1 + p_{i}$
p
$\frac{1}{3}$
$p_{i}$
$\frac{2}{3} - p_{i}$
其中 $0 < p_{i} < \frac{2}{3}$ ，若 $p_{1} < p_{2}$ ，且 $p_{1} + p_{2} = \frac{2}{3}$ ，则（）

A、 $E (X_{1}) = E (X_{2}), D (X_{1}) = D (X_{2})$ B、 $E (X_{1}) > E (X_{2}), D (X_{1}) > D (X_{2})$ C、 $E (X_{1}) = E (X_{2}), D (X_{1}) > D (X_{2})$ D、 $E (X_{1}) < E (X_{2}), D (X_{1}) < D (X_{2})$

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6、 $(1 + 2 x^{5}) {(1 - \frac{1}{x})}^{7}$ 展开式的常数项为（）

A、 $- 42$ B、 $- 41$ C、42 D、43

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7、已知随机变量 $X ~ N (2, σ^{2}), P (X \leq 0) = 0.15$ ，则 $P (2 \leq X \leq 4)$ 等于（）

A、 $0.85$ B、 $0.15$ C、 $0.35$ D、 $0.30$

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8、 $C_{8}^{0} + C_{8}^{2} + C_{8}^{4} + C_{8}^{6} + C_{8}^{8} =$ （）

A、36 B、64 C、128 D、256

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9、某宿舍6名同学排成一排照相，其中甲与乙必须相邻的不同排法有（）

A、120种 B、240种 C、216种 D、256种

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10、已知函数 $f (x) = s i n x + 4 x, 则 \underset{Δ x \to 0}{l i m} \frac{f (π + Δ x) - f (π)}{2 Δ x}$ （）

A、12 B、 $\frac{3}{2}$ C、3 D、6

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11、材料一：在伯努利试验中，记每次试验中事件 $A$ 发生的概率为 $p$ ，试验进行到事件 $A$ 第一次发生时停止，此时所进行的试验次数为 $ξ$ ，其分布列为 $P (ξ = k) = {(1 - p)}^{k - 1} \cdot p (k = 1, 2, 3, \dots)$ ，我们称 $ξ$ 服从几何分布，记为 $ξ \sim G E (p)$ .
材料二：求无穷数列的所有项的和，如求 $S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} + \dots = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{2^{k - 1}}$ ，没有办法把所有项真的加完，可以先求数列前 $n$ 项和 $S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{2^{k - 1}} = 2 (1 - \frac{1}{2^{n}})$ ，再求 $n \to \infty$ 时 $S_{n}$ 的极限： $S = \lim_{n \to \infty} S_{n} = \lim_{n \to \infty} 2 (1 - \frac{1}{2^{n}}) = 2$
根据以上材料，我们重复抛掷一颗均匀的骰子，直到第一次出现“6点”时停止.设停止时抛掷骰子的次数为随机变量 $X$ .

(1)、证明： $\sum_{k = 1}^{\infty} P (X = k) = 1$ ；

(2)、求随机变量 $X$ 的数学期望 $E (X)$ ；

(3)、求随机变量 $X$ 的方差 $D (X)$ .

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12、已知 $A (2, a)$ 是抛物线 $C : y^{2} = 2 p x$ 上一点， $F$ 是抛物线的焦点，已知 $|A F| = 4$ ，

(1)、求抛物线的方程及 $a$ 的值；

(2)、当 $A$ 在第一象限时， $O$ 为坐标原点， $B$ 是抛物线上一点，且 $△ A O B$ 的面积为1，求点 $B$ 的坐标；

(3)、满足第（2）问的条件下的点中，设平行于 $O A$ 的两个点分别记为 $B_{1}, B_{2}$ ，问抛物线的准线上是否存在一点 $P$ 使得， $P B_{1} ⊥ P B_{2}$ .

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13、已知函数 $f (x) = 2 a x + cos x - e^{x}, a \in R$ .

(1)、若 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递减，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $a = 0$ 时，求证 $f (x) < 1$ 在 $x \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ 上恒成立.

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14、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D, P A = A D = 2, E$ 为线段 $P D$ 的中点， $F$ 为线段 $P C$ （不含端点）上的动点.

(1)、证明：平面 $A E F ⊥$ 平面 $P C D$ ；

(2)、是否存在点 $F$ ，使二面角 $P - A F - E$ 的大小为 $45^{\circ}$ ？若存在，求出 $\frac{P F}{P C}$ 的值，若不存在，请说明理由.

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15、在锐角 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a ， b$ ， $c$ ，且满足 $c sin A cos B = b sin C (1 + cos A)$ .

(1)、证明： $A = 2 B$ ；

(2)、求 $\frac{c}{a}$ 的取值范围.

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16、暑假将临，大学生小明同学准备利用假期探访名胜古迹．已知某座山高䇯入人云，整体呈圆锥形，其半山腰（母线的中点）有一座古寺，与上山入口在同一条母线上，入口和古寺通过一条盘山步道相连，且当时为了节省资金，该条盘山步道是按“到达古寺的路程最短”修建的．如图，已知该座山的底面半径 $R = 2 (km)$ ，高 $h = 4 \sqrt{2} (km)$ ，则盘山步道的长度为，其中上山（到山顶的直线距离减小）和下山（到山顶的直线距离增大）路段的长度之比为.

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17、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} = 1, n a_{n + 1} - (n + 1) a_{n} = n (n + 1)$ ．若 $b_{n} = \frac{n}{(n + 1) a_{n}}$ ，则数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} =$ .

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18、若直线 $l$ ： $k x - y + 2 - 2 k = 0$ 与曲线 $C$ ： $y = \sqrt{4 - x^{2}}$ 有两个不同的交点，则实数 $k$ 的取值范围是.

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19、锐角 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边为 $a, b, c$ .且满足 $a = 4, b = c + 2$ .下列结论正确的是（）

A、点 $A$ 的轨迹的离心率 $e = \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{7} < c < 3$ C、 $△ A B C$ 的外接圆周长 $l \in (4 π, 5 π)$ D、 $△ A B C$ 的面积 $S_{△ A B C} \in (3, 6)$

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20、已知定义域在R上的函数 $f (x)$ 满足： $f (x + 1)$ 是奇函数，且 $f (- 1 + x) = f (- 1 - x)$ ，当 $x \in [- 1, 1]$ ， $f (x) = x^{2} - 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的周期 $T = 4$ B、 $f (\frac{5}{2}) = \frac{3}{4}$ C、 $f (x)$ 在 $[- 5, - 4]$ 上单调递增 D、 $f (x + 2)$ 是偶函数

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$X_{i}$	0	$\frac{1}{3} + p_{i}$	$1 + p_{i}$
p	$\frac{1}{3}$	$p_{i}$	$\frac{2}{3} - p_{i}$