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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = 2 \ln (a x + b)$ ，其中a， $b \in R$ ．
（I）若直线 $y = x$ 是曲线 $y = f (x)$ 的切线，求ab的最大值；
（Ⅱ）设 $b = 1$ ，若关于x的方程 $f (x) = a^{2} x^{2} + (a^{2} + 2 a) x + a + 1$ 有两个不相等的实根，求a的最大整数值．（参考数据： $\ln \frac{5}{4} \approx 0.223$ ）

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2、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B ⊥ B C$ ， $D C / / A B$ ， $B C = C D = D P = P A = \frac{1}{2} A B$ ，点E在 $P C$ 上，且 $\overset{⃑}{P E} = 2 \overset{⃑}{E C}$ ．

(1)、证明： $A P / /$ 平面 $B D E$ ；

(2)、求二面角 $D - P C - B$ 的正弦值．

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3、定义在 $[- 2, 2]$ 上的函数 $y = f (x)$ 满足：对任意的 $m, n \in [- 2, 2]$ ，都有 $f (m + n) = f (m) + f (n)$ 成立，且当 $x > 0$ 时， $f (x) > 0$ ．

(1)、求证： $f (x)$ 在 $[- 2, 2]$ 上是单调递增函数 $;$

(2)、解关于 $x$ 的不等式： $f (x) < f (2 x + 1);$

(3)、已知 $f (1) = \frac{1}{2}$ ，若 $f (x) \leq t^{2} - 2 a t - 2$ 对所有的 $x \in [- 2, 2]$ 及 $a \in [- 2, 2]$ 恒成立，求实数 $t$ 的取值范围．

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4、设 $y = m x^{2} + (1 - m) x + m - 2$ ．

(1)、若不等式 $y \geq - 2$ 对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围；

(2)、解关于x的不等式 $m x^{2} + (1 - m) x + m - 2 < m - 1 (m \in R)$ ．

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5、已知集合 $A = \{x| - 1 < x < 2\}$ ， $B = \{x| m + 1 \leq x \leq 2 m + 3\}$ .

(1)、若 $A \cup B = A$ ，求实数m的取值范围；

(2)、若 $A \cap B = \emptyset$ ，求实数m的取值范围.

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6、若不等式 $(a x + 3) (x^{2} - b) \leq 0$ 对任意的 $x \in (0, + \infty)$ 恒成立，则 $a (b + 4)$ 的最大值为.

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7、已知圆 $C : x^{2} + y^{2} + 6 x + 8 y + 21 = 0$ ，点A是圆C上任一点，抛物线 $y^{2} = 8 x$ 的准线为l，设抛物线上任意一点Р到直线l的距离为m，则 $m + |P A|$ 的最小值为

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8、 $y = x - \sqrt{2 x - 1}$ 的值域为．

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9、当 $1 < x_{1} < x_{2}$ 时，不等式 $\frac{x_{2} e^{x_{1}} - x_{1} e^{x_{2}}}{x_{1} - x_{2}} > 0$ 成立．若 $b > e^{a} > e$ ，则（）

A、 $e^{b} > b e^{e - 1}$ B、 $e^{a} \ln b < a b$ C、 $a e^{b} < b \ln a$ D、 $e^{a + b} > b e^{e^{a}}$

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10、若关于 $x$ 的不等式 $x e^{x} - 2 a x + a < 0$ 的非空解集中无整数解，则实数 $a$ 的取值范围是

A、 $[\frac{2}{5 e^{2}}, \frac{1}{3 e})$ B、 $[\frac{1}{3 e}, \frac{\sqrt{e}}{4 e})$ C、 $[\frac{1}{3 e}, e]$ D、 $[\frac{\sqrt{e}}{4 e}, e]$

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11、已知椭圆和双曲线有共同焦点 $F_{1}, F_{2}$ ， $P$ 是它们的一个交点，且 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{3}$ ，记椭圆和双曲线的离心率分别为 $e_{1}, e_{2}$ ，则 $\frac{1}{e_{1} e_{2}}$ 的最大值为

A、3 B、2 C、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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12、设函数 $f (x) = \min {x^{2} - 1, x + 1, - x + 1}$ ，其中 $\min \{x, y, z\}$ 表示 $x, y, z$ 中的最小者，若 $f (a + 2) > f (a)$ ，则实数 $a$ 的取值范围为

A、 $(- 1, 0)$ B、 $[- 2, 0]$ C、 $(- \infty, - 2) \cup (- 1, 0)$ D、 $[- 2, + \infty)$

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13、已知函数 $f (x + 2)$ 的定义域为 $(- 3, 4)$ ，则函数 $g (x) = \frac{f (x)}{\sqrt{3 x - 1}}$ 的定义域为（）

A、 $(\frac{1}{3}, 4)$ B、 $(\frac{1}{3}, 2)$ C、 $(\frac{1}{3}, 6)$ D、 $(\frac{1}{3}, 1)$

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14、对于无穷数列 $\{c_{n}\}$ ，若对任意 $m, n \in N^{*}$ ，且 $m \neq n$ ，存在 $k \in N^{*}$ ，使得 $c_{m} + c_{n} = c_{k}$ 成立，则称 $\{c_{n}\}$ 为“ $G$ 数列”.

(1)、若数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式为 $b_{n} = 2 n$ ，试判断数列 $\{b_{n}\}$ 是否为“ $G$ 数列”，并说明理由；

(2)、已知数列 $\{a_{n}\}$ 为等差数列，
①若 $\{a_{n}\}$ 是“ $G$ 数列”， $a_{1} = 8, a_{2} \in N^{*}$ ，且 $a_{2} > a_{1}$ ，求 $a_{2}$ 所有可能的取值；
②若对任意 $n \in N^{*}$ ，存在 $k \in N^{*}$ ，使得 $a_{k} = S_{n}$ 成立，求证：数列 $\{a_{n}\}$ 为“ $G$ 数列”.

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15、已知函数 $f (x) = (x^{2} - 2 x + a) e^{x}, a \in R$ ．

(1)、若 $a = 1$ ，求函数 $f (x)$ 在 $x \in [0, 3]$ 上的最大值和最小值；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性．

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16、随着科技发展的日新月异，人工智能融入了各个行业，促进了社会的快速发展.其中利用人工智能生成的虚拟角色因为拥有更低的人工成本，正逐步取代传统的真人直播带货.某公司使用虚拟角色直播带货销售金额得到逐步提升，以下为该公司自2023年8月使用虚拟角色直播带货后的销售金额情况统计.
年月
2023年8月
2023年9月
2023年10月
2023年11月
2023年12月
2024年1月
月份编号 $x$
1
2
3
4
5
6
销售金额 $y$ /万元
15.4
25.4
35.4
85.4
155.4
195.4
若 $y$ 与 $x$ 的相关关系拟用线性回归模型表示，回答如下问题：

(1)、试求变量 $y$ 与 $x$ 的样本相关系数 $r$ （结果精确到0.01）；

(2)、试求 $y$ 关于 $x$ 的经验回归方程，并据此预测2024年2月份该公司的销售金额.（ $\hat{b}, \hat{a}$ ，均保留一位小数）
附：经验回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，其中 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x},$ ，
样本相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x y}}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} y_{i}^{2} - n {\bar{y}}^{2}}}$
参考数据： $\sum_{i = 1}^{6} x_{i} y_{i} = 2463.4, \sqrt{\sum_{i = 1}^{6} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}} = 20 \sqrt{70}$ .

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17、袋中装有6个白球，3个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球.

(1)、若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为X，求X的分布列；

(2)、若每次抽取后都放回，设取到黑球的个数为Y，求Y的分布列.

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18、用二项式定理展开 ${(2 x + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{12}$ ，

(1)、求展开式中的常数项；

(2)、求展开式中系数最大的项．

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19、设函数 $f (x) = x e^{x}$ 若对任意 $x_{2} \in (0, + \infty)$ ，存在 $x_{1} \in (0, + \infty)$ 不等式 $\frac{f (x_{1})}{x_{1}^{2}} \cdot \frac{f (x_{2})}{e^{x_{2}}} \leq \frac{2 k}{k + 1} [{(x_{2})}^{2} + 1]$ 恒成立，则正数 $k$ 的取值范围是.

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20、一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字 $1 ､ 2 ､ 3 ､ 4$ ，现从盒子中随机抽取卡片，若第一次抽取一张卡片，放回后再抽取1张卡片，则两次抽取的卡片数字之和不大于6的概率是.

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年月	2023年8月	2023年9月	2023年10月	2023年11月	2023年12月	2024年1月
月份编号 $x$	1	2	3	4	5	6
销售金额 $y$ /万元	15.4	25.4	35.4	85.4	155.4	195.4