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相关试卷

1、2024年“与辉同行”直播间开播，董宇辉领衔7位主播从“心”出发，其中男性5人，女性3人，现需排班晚8：00黄金档，随机抽取两人，则男生人数的期望为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、 $\frac{4}{3}$

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2、5G技术在我国已经进入调整发展的阶段，5G手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示：
时间x
1
2
3
4
5
销售量y（千只）
0.5
0.8
1.0
1.2
1.5
若x与y线性相关，且线性回归方程为 $y = 0.24 x + \hat{a}$ ，则下列说法不正确的是（）

A、当解释变量x每增加1个单位时，预报变量y平均增加0.24个单位 B、线性回归方程 $y = 0.24 x + \hat{a}$ 中 $\hat{a} = 0.26$ C、由题中数据可知，变量y与x正相关，且相关系数 $r < 1$ D、可以预测 $x = 6$ 时，该商场5G手机销量约为1.72（千只）

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3、某次数学联考成绩的数据分析，20000名考生成绩服从正态分布 $N (72, 8^{2})$ ，则80分以上的人数大约是（）

A、3173 B、6346 C、6827 D、13654

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4、 ${(\frac{1}{x} - \sqrt{x})}^{8}$ 的展开式中含 $x$ 项的系数为（）

A、24 B、28 C、20 D、32

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5、下列函数的求导运算中，错误的是（）

A、 $(x^{2} + 3 e^{x})^{'} = 2 x + 3 e^{x}$ B、 $(2 \sin x - 3)^{'} = 2 \cos x$ C、 $(\frac{\ln x}{x})^{'} = \frac{1 + \ln x}{x^{2}}$ D、 $(x \cos x)^{'} = \cos x - x \sin x$

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6、在平面直角坐标系xOy中，过点 $F (1, 0)$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 交于M，N两点 $(M$ 在第一象限）.

(1)、当 $| M F | = 3 | N F |$ 时，求直线 $l$ 的方程；

(2)、若三角形OMN的外接圆与曲线 $C$ 交于点 $D$ （异于点O，M，N），
（i）证明：△MND的重心的纵坐标为定值，并求出此定值；
（ii）求凸四边形OMDN的面积的取值范围.

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7、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，我们把点 $(x, y), x, y \in N^{*}$ 称为自然点.按如图所示的规则，将每个自然点 $(x, y)$ 进行赋值记为 $P (x, y)$ ，例如 $P (2, 3) = 8$ ， $P (4, 2) = 14, P (2, 5) = 17$ .

(1)、求 $P (x, 1)$ ；

(2)、求证： $2 P (x, y) = P (x - 1, y) + P (x, y + 1)$ ；

(3)、如果 $P (x, y)$ 满足方程 $P (x + 1, y - 1) + P (x, y + 1) + P (x + 1, y) + P (x + 1, y + 1) = 2024$ ，求 $P (x, y)$ 的值.

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8、记复数的一个构造：从数集 $\{0, 1, \sqrt{3}\}$ 中随机取出2个不同的数作为复数的实部和虚部.重复 $n$ 次这样的构造，可得到 $n$ 个复数，将它们的乘积记为 $z_{n}$ .已知复数具有运算性质： $|(a + b i) \cdot (c + d i)| = |(a + b i)| \cdot |(c + d i)|$ ，其中 $a, b, c, d \in R$ .

(1)、当 $n = 2$ 时，记 $|z_{2}|$ 的取值为 $X$ ，求 $X$ 的分布列；

(2)、当 $n = 3$ 时，求满足 $|z_{3}| \leq 2$ 的概率；

(3)、求 $|z_{n}| < 5$ 的概率 $P_{n}$ .

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9、已知函数 $f (x) = \ln x - a x$ ，其中 $a \in R$ .

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线在两坐标轴上的截距相等，求 $a$ 的值；

(2)、是否存在实数 $a$ ，使得 $f (x)$ 在 $x \in (0, e]$ 上的最大值是 $- 3$ ?若存在，求出 $a$ 的值；若不存在，说明理由.

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10、如图，斜三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底面是直角三角形， $∠ A C B = 90^{°}$ ，点 $B_{1}$ 在底面ABC内的射影恰好是BC的中点，且 $B C = C A = 2$ .

(1)、求证：平面 $A C C_{1} A_{1} ⊥$ 平面 $B_{1} C_{1} C B$ ；

(2)、若斜棱柱的高为 $\sqrt{3}$ ，求平面 $A B B_{1}$ 与平面 $A B_{1} C_{1}$ 夹角的余弦值.

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11、已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域均为 $R$ ，记 $g (x) = f^{'} (x)$ ，若 $f (2 x - 1), g (x - 2)$ 均为偶函数，且当 $x \in [1, 2]$ 时， $f (x) = m x^{3} - 2 x$ ，则 $g (2024) =$ .

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12、直线 $3 x - 4 y + 3 = 0$ 的一个方向向量是.

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13、已知函数 $f (x) = e^{x} \cdot (sin x + cos x)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的零点为 $x = k π - \frac{π}{4}, k \in Z$ B、 $f (x)$ 的单调递增区间为 $[2 k π + \frac{π}{2}, 2 k π + \frac{3 π}{2}], k \in Z$ C、当 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 时，若 $f (x) \geq k x$ 恒成立，则 $k \leq \frac{2}{π} \cdot e^{\frac{π}{2}}$ D、当 $x \in [- \frac{1003 π}{2}, \frac{1005 π}{2}]$ 时，过点 $(\frac{π - 1}{2}, 0)$ 作 $f (x)$ 的图象的所有切线，则所有切点的横坐标之和为 $502 π$

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14、在三棱锥 $A - B C D$ 中，已知 $A B = A C = B D = C D = 3, A D = B C = 2$ ，点M，N分别是AD，BC的中点，则（）

A、 $M N ⊥ A D$ B、异面直线AN，CM所成的角的余弦值是 $\frac{7}{8}$ C、三棱锥 $A - B C D$ 的体积为 $\frac{4 \sqrt{7}}{3}$ D、三棱锥 $A - B C D$ 的外接球的表面积为 $11 π$

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15、在学校组织的《青春如火，初心如炬》主题演讲比赛中，有8位评委对每位选手进行评分（评分互不相同），将选手的得分去掉一个最低评分和一个最高评分，则下列说法中正确的是（）

A、剩下评分的平均值变大 B、剩下评分的极差变小 C、剩下评分的方差变小 D、剩下评分的中位数变大

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16、已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 、A为双曲线的左顶点，以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆交双曲线的一条渐近线于 $P$ 、 $Q$ 两点，且 $∠ P A Q = \frac{2 π}{3}$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{21}}{3}$ D、 $\sqrt{13}$

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17、已知实数x，y满足 $x > 3$ ，且 $x y + 2 x - 3 y = 12$ ，则 $x + y$ 的最小值为（）

A、 $1 + 2 \sqrt{6}$ B、8 C、 $6 \sqrt{2}$ D、 $1 + 2 \sqrt{3}$

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18、设等比数列 $\{a_{n}\}$ 的公比为 $q$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则“ $q = 2$ ”是“ $\{S_{n} + a_{1}\}$ 为等比数列”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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19、已知角 $α$ 的终边过点 $P (- 3, 2 \cos α)$ ，则 $\cos α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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20、设b，c表示两条直线， $α, β$ 表示两个平面，则下列说法中正确的是（）

A、若 $b / / α, c \subset α$ ，则 $b / / c$ B、若 $b / / c, b \subset α$ ，则 $c / / α$ C、若 $α ⊥ β, c / / α$ ，则 $c ⊥ β$ D、若 $c / / α, c ⊥ β$ ，则 $α ⊥ β$

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时间x	1	2	3	4	5
销售量y（千只）	0.5	0.8	1.0	1.2	1.5