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相关试卷

1、2021年根据移动通信协会监测，某校全体教师通讯费用（单位：元）如图所示，数据分组依次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．

(1)、若该校有200名教师，采用分层抽样的方法从这200名教师中抽取容量为20的样本，求每组应抽取的样本量；

(2)、估计该校教师话费的80%分位数；

(3)、估计该校教师通讯费用的众数和平均数．

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2、在 $△ A B C$ 中，三边 $a$ ， $b$ ， $c$ 所对的角分别为 $A$ ， $B$ ， $C$ ，已知 $a = 3$ ， $\frac{\cos B + \cos A \cos C}{\sin B \cos C} = \frac{a \sqrt{3}}{b}$ .
（1）若 $c = 2 \sqrt{3}$ ，求 $\sin A$ ；
（2）若 $A B$ 边上的中线长为 $\frac{\sqrt{37}}{2}$ ，求 $A B$ 的长.

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3、设 $\overset{⃑}{e_{1}}$ ， $\overset{⃑}{e_{2}}$ 是两个不共线的向量，已知 $\overset{⃑}{A B} = 2 \overset{⃑}{e_{1}} - 8 \overset{⃑}{e_{2}}$ ， $\overset{⃑}{C B} = \overset{⃑}{e_{1}} + 3 \overset{⃑}{e_{2}}$ ， $\overset{⃑}{C D} = 2 \overset{⃑}{e_{1}} - \overset{⃑}{e_{2}}$ .
（1）求证：A，B，D三点共线；
（2）若 $\overset{⃑}{B F} = 3 \overset{⃑}{e_{1}} - k \overset{⃑}{e_{2}}$ ，且B，D，F三点共线，求k的值.

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4、已知复数 $z_{1} = 3 + 4 i$ ， $z_{2} = - 2 i$ ， i为虚数单位．

(1)、若 $z = \frac{z_{1}}{z_{2}}$ ，求z的共轭复数；

(2)、若复数 $a z_{1} + z_{2}$ 在复平面上对应的点在第四象限，求实数 $a$ 的取值范围．

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5、已知 $z_{n} = (1 + i) (1 + \frac{i}{\sqrt{2}}) \cdot \cdot \cdot (1 + \frac{i}{\sqrt{n}})$ （ $n \in N^{*}$ ），则 $|z_{2023} - z_{2024}|$ 的值为．

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6、如图，在平面四边形 $A B C D$ 中， $∠ C D A = ∠ C B A = 90^{°}$ ， $∠ B A D = 120^{°}$ ， $A B = A D = 1$ ，若点 $E$ 为 $C D$ 边上的动点，则 $\vec{A E} \cdot \vec{B E}$ 的最小值为．

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7、在 $△ A B C$ 中，已知 $B = 120 °$ ， $A C = \sqrt{19}$ ， $A B = 2$ ，则 $B C =$ .

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8、对于 $△ A B C$ 中，有如下判断，其中正确的判断是（）．

A、若 $a = 8$ ， $c = 10$ ， $A = 60 °$ ，则符合条件的 $△ A B C$ 有两个 B、若 $\sin^{2} A + \sin^{2} B > \sin^{2} C$ ，则 $△ A B C$ 是锐角三角形 C、若 $S_{△ A B C} = a^{2} \sin A$ ，则 $\cos A$ 的最小值为 $\frac{3}{4}$ D、若点P在 $△ A B C$ 所在平面且 $\vec{O P} = \frac{\vec{O B} + \vec{O C}}{2} + λ (\frac{\vec{A B}}{|\vec{A B}| \cos B} + \frac{\vec{A C}}{|\vec{A C}| \cos C})$ ， $λ \in [0, + \infty)$ ，则点P的轨迹经过 $△ A B C$ 的外心．

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9、在 $△ A B C$ 中，边 $a, b, c$ 所对的角分别为 $A, B, C$ ，若 $a^{2} = b^{2} + c^{2} - \sqrt{3} b c, \sin C = 2 \cos B$ ，则（）

A、 $a = \sqrt{3} b$ B、 $b = \sqrt{3} a$ C、 $c = \sqrt{3} b$ D、 $c = 2 a$

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10、如图，在 $△ O A B$ 中，点 $C$ 满足 $B C = 2 C A$ ，点 $P$ 为 $O C$ 的中点，过点 $P$ 的直线分别交线段 $O A$ ， $O B$ 于点 $M$ ， $N$ ，若 $O M = λ O A$ ， $O N = μ O B$ ，则 $2 λ + μ$ 的最小值为（）

A、9 B、4 C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{3}{2}$

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11、锐角 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $\frac{\cos C}{c} + \frac{\sin A \tan C}{a} = \frac{1}{\sin 2 C}$ ， $b = \sqrt{3}$ ，则 $a + c$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{3}{2}, 3]$ B、 $(3, 2 \sqrt{3}]$ C、 $(\sqrt{3}, 2 \sqrt{3}]$ D、 $(\sqrt{3}, 3]$

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12、 $2024$ 年3月，树人中学组织三个年级的学生进行党史知识竞赛．经统计，得到前 $200$ 名学生分布的饼状图（如图）和前 $200$ 名中高一学生排名分布的频率条形图（如图），则下列命题错误的是（）

A、成绩前 $200$ 名的 $200$ 人中，高一人数比高二人数多30人 B、成绩第1- $100$ 名的 $100$ 人中，高一人数不超过一半 C、成绩第1-50名的50人中，高三最多有32人 D、成绩第51- $100$ 名的50人中，高二人数比高一的多

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13、已知 $△ A B C$ 的外接圆圆心为 $O$ ， $\vec{A O} = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C})$ ， $|\vec{O A}| = |\vec{A B}|$ ，则 $\vec{A C}$ 在 $\vec{B C}$ 上的投影向量为（）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{4} \vec{B C}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{4} \vec{B C}$ C、 $- \frac{3}{4} \vec{B C}$ D、 $\frac{3}{4} \vec{B C}$

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14、设 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，若 $a = \sqrt{3}$ ， $b = 1$ ， $A = 60 °$ ，则 $B$ 等于（）

A、 $30 °$ B、 $30 °$ 或 $150 °$ C、 $60 °$ D、 $150 °$

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15、已知在 $△ A B C$ 中， $a : b : c = 3 : 2 : 4$ ，那么 $\cos C$ 的值为（）

A、 $- \frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $- \frac{2}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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16、从某地参加计算机水平测试的5000名学生的成绩中抽取200名学生的成绩进行统计分析，在这个问题中，200名学生的成绩是（）

A、总体 B、个体 C、从总体中所取的一个样本 D、总体的容量

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17、已知复数 $z = \frac{2 - 5 i}{i}$ ，则z的虚部为（）

A、2 B、 $- 2$ C、5 D、 $- 5$

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18、一个完美均匀且灵活的项链的两端被悬挂，并只受重力的影响，这个项链形成的曲线形状被称为悬链线.1691年，莱布尼茨、惠根斯和约翰・伯努利等得到“悬链线”方程 $y = \frac{c (e^{\frac{x}{c}} + e^{- \frac{x}{c}})}{2}$ ，其中 $c$ 为参数.当 $c = 1$ 时，就是双曲余弦函数 $ch (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ ，类似地双曲正弦函数 $sh (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ ，它们与正、余弦函数有许多类似的性质.

(1)、类比三角函数的三个性质：
①倍角公式 $sin 2 x = 2 sin x cos x$ ；
②平方关系 ${sin}^{2} x + {cos}^{2} x = 1$ ；
③求导公式 $\{\begin{array}{l} {(sin x)}^{'} = cos x ， \\ {(cos x)}^{'} = - sin x \end{array}$
写出双曲正弦和双曲余弦函数的一个正确的性质并证明；

(2)、当 $x > 0$ 时，双曲正弦函数 $y = sh (x)$ 图象总在直线 $y = k x$ 的上方，求实数 $k$ 的取值范围；

(3)、若 $x_{1} > 0 ， x_{2} > 0$ ，证明： $[ch (x_{2}) + sh (x_{2}) - x_{2} - 1] \cdot [ch (x_{1}) + sh (x_{1})] > sin (x_{1} + x_{2}) - sin x_{1} - x_{2} cos x_{1} .$

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19、已知椭圆 $G : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，右焦点为 $(2 \sqrt{2}, 0)$ ，斜率为1的直线 $l$ 与椭圆 $G$ 交于 $A, B$ 两点，以 $A B$ 为底边作等腰三角形，顶点为 $P (- 3, 2)$ .
（1）求椭圆 $G$ 的方程；
（2）求 $△ P A B$ 的面积.

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20、设函数 $f (x) = m (x + 1) e^{x}, m > 0$ .

(1)、求 $f (x)$ 的极值；

(2)、若对任意 $x \in (- 1, + \infty)$ ，有 $ln f (x) \leq 2 e^{x}$ 恒成立，求 $m$ 的最大值.

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