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相关试卷

1、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 是菱形， $∠ A B C = 60 °, B D ⊥ P C, A B = 4, A P = \sqrt{10}, C P = 3 \sqrt{2}$ ．

(1)、证明：平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C D$ ．

(2)、求二面角 $C - P D - B$ 的余弦值．

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2、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C, P A = 2, P B = \sqrt{7}, A B = 3, M$ 为棱 $A B$ 上靠近点 $B$ 的三等分点，且 $C M$ 为 $∠ A C B$ 的角平分线，则二面角 $P - A C - B$ 的平面角的正切值的最小值为．

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3、现准备给一半径为 $6 cm$ 的实心球体玩具制作一个圆台型带盖的纸质包装盒，要使制成的包装盒能装下该球体玩具，且该包装盒的下底面是半径为 $4 cm$ 的圆，则制成的包装盒的容积最小为（）

A、 $133 {πcm}^{3}$ B、 $399 {πcm}^{3}$ C、 $266 {πcm}^{3}$ D、 $532 {πcm}^{3}$

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4、已知向量 $\vec{a} = (3 sin θ + cos θ, sin θ - 5 cos θ), \vec{b} = (3 sin θ, cos θ), θ \in (0, \frac{π}{2})$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $tan θ =$ （）

A、 $\frac{4}{9}$ B、 $- 1$ C、 $\frac{7}{9}$ D、 $\frac{5}{9}$

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5、有一组样本数据都在区间 $[1, 21]$ 内，将其制成如图所示的频率分布直方图，估计该组样本数据的平均数为（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（）

A、10 B、10.68 C、10.58 D、12

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6、已知集合 $A = \{x| x^{2} - 3 x > 0\}, B = \{0,1, 2,3, 4\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{0, 1, 2, 3, 4\}$ B、 $\{1, 2, 3\}$ C、 $\{4\}$ D、 $\{0, 3, 4\}$

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7、如图①，在直角梯形 $A B C D$ 中， $∠ A D C = 90 °$ ， $A B ∥ C D$ ， $A D = C D = \frac{1}{2} A B$ ， E为 $A C$ 的中点，将 $△ A C D$ 沿 $A C$ 折起构成几何体 $D - A B C$ ，如图②．在图②所示的几何体 $D - A B C$ 中：

(1)、在棱 $C D$ 上找一点F，满足 $A D ∥$ 平面 $B E F$ ，求几何体 $E - B C F$ 与几何体 $D - A B C$ 的体积比；

(2)、当几何体 $D - A B C$ 的体积最大时，
①求证： $B C ⊥$ 平面 $A C D$ ；
②求二面角 $D - A B - C$ 的余弦值．

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8、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，现有三个条件：
① $(2 a + b) \cos C + c \cos B = 0$ ；
② $\sin^{2} A + \sin^{2} B - \sin^{2} C + \sin A \sin B = 0$ ；
③ $c^{2} - a^{2} - b^{2} = \frac{4 \sqrt{3}}{3} S$ （S为 $△ A B C$ 的面积）．
请从以上三个条件中选择一个填入下面横线上作为前提条件，并求解．（注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分）
已知：______．

(1)、若 $B C = 2$ ， $A B = 2 \sqrt{7}$ ，求 $△ A B C$ 内切圆的半径；

(2)、若点D是 $A B$ 上一点，且 $B D = 2 D A$ ， $△ A B C$ 的面积 $S = \sqrt{3}$ ，求 $C D$ 的最小值．

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9、已知向量 $\vec{m} = (2 \sin ω x, \sin ω x)$ ， $\vec{n} = (\cos ω x, 2 \sqrt{3} \sin ω x) (ω > 0)$ ，函数 $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n} - \sqrt{3}$ 的部分图象如图所示：

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期和单调区间；

(2)、函数 $g (x) = f (x) - m$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 有两个不同的零点，求m的取值范围．

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10、如图所示，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是矩形，侧棱 $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P D = D C$ ， E是 $P C$ 的中点，过点D作 $D F ⊥ P B$ 于点F．求证：

(1)、 $P A / /$ 平面 $B D E$ ；

(2)、 $P B ⊥$ 平面 $D E F$ ．

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11、已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (- 2, 1)$ ， $\vec{c} = (λ, 1)$ ．

(1)、若 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) ⊥ \vec{c}$ ，求 $λ$ 值；

(2)、若向量 $\vec{a} + \vec{b}$ 在 $\vec{c}$ 方向上的投影向量为 $\frac{1}{5} \vec{c}$ ，求 $λ$ 的值．

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12、在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $B C = 2$ ， E为 $A D$ 的中点，F为 $A B$ 的中点，Q为边 $C D$ 上的动点（包括端点），则 $\vec{Q E} \cdot \vec{Q F}$ 的取值范围为．

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13、已知扇形的半径为3，中心角为 $\frac{2π}{3}$ ，则这个扇形围成的圆锥的内切球的体积是．

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14、已知向量 $\vec{m} = (\cos θ, \sin θ)$ ， $\vec{n} = (- 1, 2)$ ，且 $\vec{m} ∥ \vec{n}$ ，则 $\cos^{2} θ - \frac{1}{2} \sin 2 θ =$ ．

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15、如图所示，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E，F，G分别为 $B C$ ， $C C_{1}$ ， $B B_{1}$ 的中点，则有（）

A、直线 $A_{1} G //$ 平面 $A E F$ B、异面直线 $E F$ 与 $A_{1} C_{1}$ 所成的角为 $\frac{π}{3}$ C、直线 $A_{1} G$ 与平面 $A B C D$ 所成的角为 $\frac{π}{6}$ D、平面 $A E F$ 截正方体所得的截面面积为 $\frac{9}{2}$

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16、已知向量 $\vec{A C} = (k + 3, 1)$ ， $\vec{A B} = (2 k, 4)$ ，且 $△ A B C$ 是直角三角形，则k的值可以是（）

A、 $- 1$ 或 $- 2$ B、1或2 C、 $\pm \sqrt{6}$ D、 $\pm 3$

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17、下列命题正确的是（）

A、复数 $z = - 3 + 2 i$ 的共轭复数是 $\bar{z} = 3 - 2 i$ B、复数 $z = a^{2} + a - 2 + (a^{2} - 3 a + 2) i (a \in R)$ 是纯虚数，则 $a = - 2$ C、复数 $z = m + 1 + i \ln (m^{2} - 1) (m \in R)$ 所对应的点在第二象限，则 $m < - \sqrt{2}$ D、已知 $z_{0} = 3 - 4 i$ ，复数z满足 $|z - z_{0}| = 1$ ，则 $|z|$ 的最大值为6

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18、如图，为了测量花溪河对岸一座塔楼 $C D$ 的高度，测量者小王在岸边点A处测得塔顶D的仰角为 $30 °$ ，塔底C与A的连线与河岸成 $15 °$ 角，小王沿河岸向西走了40米到达M处，测得塔底C与M的连线与河岸成 $60 °$ 角，则塔楼 $C D$ 的高度为（）

A、20米 B、25米 C、 $20 \sqrt{3}$ 米 D、 $20 \sqrt{2}$ 米

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19、已知 $a = \sqrt{x} + \frac{1}{4 \sqrt{x}}, x > 0$ ， $b = e^{- 0.3}$ ， $c = \log_{2} \frac{2}{3}$ ，则有（）

A、 $b > a > c$ B、 $a > b > c$ C、 $c > b > a$ D、 $a > c > b$

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20、在 $△ A B C$ 中，D为边 $B C$ 的中点，E，F分别为边 $A B$ ， $A C$ 上的点，且 $\vec{A B} = 3 \vec{A E}$ ， $\vec{A C} = 4 \vec{A F}$ ，若 $\vec{A D} = λ \vec{A E} + μ \vec{A F}$ ， $λ, μ \in R$ ，则 $2 λ - μ$ 值为（）

A、1 B、 $\frac{7}{2}$ C、3 D、5

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