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相关试卷

1、如图，已知四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B ∥ C D$ ， $A B = 1$ ， $B C = 1$ ， $C D = 2$ ，点 $A$ 在平面 $P C D$ 内的投影恰好是△ $P C D$ 的重心 $G$ ．

(1)、求证：平面 $P A B ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、求直线 $D G$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值．

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2、杭州是国家历史文化名城，为了给来杭州的客人提供最好的旅游服务，某景点推出了预订优惠活动，下表是该景点在某App平台10天预订票销售情况：
日期 $t$
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
销售量 $y$ （万张）
1.93
1.95
1.97
1.98
2.01
2.02
2.02
2.05
2.07
0.5
经计算可得： $\bar{y} = \frac{1}{10} \sum_{i = 1}^{10} y_{i} = 1.85, \sum_{i = 1}^{10} t_{i} y_{i} = 96, \sum_{i = 1}^{10} t_{i}^{2} = 385$ .

(1)、因为该景点今年预订票购买火爆程度远超预期，该App平台在第10天时系统异常，现剔除第10天数据，求 $y$ 关于 $t$ 的线性回归方程（结果中的数值用分数表示）；

(2)、该景点推出团体票，每份团体票包含四张门票，其中 $X$ 张为有奖门票（可凭票兑换景点纪念品）， $X$ 的分布列如下：
$X$
2
3
4
$P$
$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{3}$
$\frac{1}{6}$
今从某份团体票中随机抽取2张，恰有1张为有奖门票，求该份团体票中共有3张有奖门票的概率.
附：对于一组数据 $(u_{1}, v_{1}), (u_{2}, v_{2}), \dots, (u_{n}, v_{n})$ ，其回归线 $\hat{v} = \hat{α} + \hat{β} u$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为： $\hat{β} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} u_{i} v_{i} - n \bar{u} \bar{v}}{\sum_{i = 1}^{n} u_{i}^{2} - n {(\bar{u})}^{2}}, \hat{α} = \bar{v} - \hat{β} \bar{u}$

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3、已知四棱锥 $S - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 为矩形，其中 $A D = 2 A B = 2 A S = 4$ ，点 $S A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，点M，N分别在线段 $A B$ ， $S D$ 上（不含端点位置），其中 $\frac{A M}{A B} = \frac{D N}{D S}$ ，则四面体 $C B M N$ 的体积最大值为.

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4、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $sin A : sin B : sin C = 2 : 3 : 4$ ，则 $sin C =$ .

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5、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 4 x - x^{2}, x \geq 0, \\ 3^{- x} - 1, x < 0, \end{array}$ 其中 $f (a) = f (b) = f (c) = λ$ ，且 $a < b < c$ ，则（）

A、 $f [f (- 2)] = - 32$ B、函数 $g (x) = f (x) - f (λ)$ 有2个零点 C、 $a + b + c \in (4 + \log_{3} \frac{1}{5}, 4)$ D、 $a b c \in (- 4 \log_{3} 5, 0)$

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6、已知 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $0 < φ < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示，则（）

A、 $A = 2$ B、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ C、 $f (x)$ 在 $(- \frac{5π}{12}, \frac{5π}{6})$ 内有3个极值点 D、 $f (x)$ 在区间 $[\frac{11 π}{6}, 2 π]$ 上的最大值为 $\sqrt{3}$

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7、已知 $f (x) = \frac{e^{a x} - 1}{e^{x}} (a \neq 0)$ 是奇函数，则 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线方程是（）

A、 $y = 0$ B、 $y = x$ C、 $y = 2 x$ D、 $y = e x$

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8、将一枚均匀的骰子独立投掷两次，所得的点数依次记为x，y，记A事件为“ $C_{8}^{x}$ > $C_{8}^{y}$ ”，则 $P (A) =$ （）

A、 $\frac{11}{36}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{13}{36}$ D、 $\frac{5}{12}$

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9、某外来入侵植物生长迅速，繁殖能力强，大量繁殖会排挤本地植物，容易形成单一优势种群，导致原有植物种群的衰退甚至消失，使当地生态系统的物种多样性下降，从而破坏生态平衡.假如不加控制，它的总数量每经过一年就增长一倍.则该外来入侵植物由入侵的1株变成100万株大约需要（）（参考数据： $\lg 2 \approx 0.301$ ）

A、40年 B、30年 C、20年 D、10年

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10、某学校为了解本学期学生参加公益劳动的情况，从学校内随机抽取了500名高中学生进行在线调查，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）分配情况等数据，并将样本数据分成 $[0, 2], (2, 4]$ ， $(4, 6], (6, 8], (8, 10], (10, 12], (12, 14], (14, 16]$ ， $(16, 18]$ 九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.

(1)、为进一步了解这500名学生参加公益劳动时间的分配情况，从参加公益劳动时间在 $(12, 14], (14, 16], (16, 18]$ 三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人.记参加公益劳动时间在 $(14, 16]$ 内的学生人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和期望；

(2)、以调查结果的频率估计概率，从该学校所有高中学生中随机抽取20名学生，用“ $P_{20} (k)$ ”表示这20名学生中恰有 $k$ 名学生参加公益劳动时间在 $(10, 12$ ]（单位：小时）内的概率，其中 $k = 0, 1, 2, \dots, 20$ .当 $P_{20} (k)$ 最大时，写出 $k$ 的值.

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11、按照《中华人民共和国环境保护法》的规定，每年生态环境部都会会同国家发展改革委等部门共同编制《中国生态环境状况公报》，并向社会公开发布．下表是2017-2021年五年《中国生态环境状况公报》中酸雨区面积约占国土面积的百分比 $(y_{i} %)$
年份
2017年
2018年
2019年
2020年
2021年
年份代码 $x_{i}$
1
2
3
4
5
$y_{i}$
6.4
5.5
5.0
4.8
3.8

(1)、请表示2017—2021年年份代码 $x_{i}$ 与 $y_{i}$ 的样本相关系数（精确到0.01），说明其相关性.

(2)、请用样本相关系数说明该组数据中y与x之间的关系可用一元线性回归模型进行描述，并求出y关于x的经验回归方程；并预测2024年的酸雨区面积占国土面积的百分比．
（回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}, (\sum_{i \times 1}^{5} x_{i} y_{i} = 70.6, \sum_{i = 1}^{5} y_{i}^{2} = 133.69)$
附：样本相关系数， $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}, \sqrt{36.4} \approx 6$ ．

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12、根据历史资料显示，某种慢性疾病患者的自然痊愈率为5%.为试验种新药，在有关部门批准后，医院将此药给10位病人服用，试验方案为：若这10人中至少有2人痊愈，则认为该药有效，提高了治愈率；否则，则认为该药无效.
（1）如果在该次试验中有5人痊愈，院方欲从参加该次试验的10人中随机选2人了解服药期间的感受，记抽到痊愈的人的个数为 $X$ ，求 $X$ 的概率分布及数学期望；
（2）如果新药有效，将治愈率提高到了50%，求通过试验却认定新药无效的概率 $p$ ，并根据 $p$ 的值解释该试验方案的合理性.
（参考结论：通常认为发生概率小于5%的事件可视为小概率事件）

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13、已知函数 $f (x) = e^{2 x} - 2 e x$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[\frac{1}{4}, 2]$ 上的最大值和最小值.

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14、甲、乙等5人参加A，B，C这三项活动，要求每人只参加一项活动，且每项活动至少有1人参加，若甲，乙不参加同一项活动，且只有1人参加A活动，则他们参加活动的不同方案有种.

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15、已知函数 $f (x) = x^{2023} - \sin x + e^{x} - \frac{1}{e^{x}}$ ，其中e是自然对数的底数，若 $f (a - 1) + f (2 a^{2}) \leq 0$ ，则实数a的取值范围是

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16、已知随机变量 $X \sim N (μ, σ^{2}), Y \sim B (6, p)$ ，且 $P (X \geq 3) = \frac{1}{2}, E (X) = E (Y)$ ，则 $p =$ ．

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17、已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x \in (0, + \infty)$ 时， $f (x) = x^{3} - 3 x - 2$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的极大值点为 $- 1$ B、函数 $y = f (x) - \sqrt{10}$ 的零点个数为3 C、函数 $y = f (f (x))$ 的零点个数为7 D、 $f (f (x)) > 0$ 的解集为 $(- 2, 0) \cup (2, + \infty)$

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18、下列说法正确的是（）

A、空间有 $10$ 个点，其中任何 $4$ 点不共面，以每 $4$ 个点为顶点作 $1$ 个四面体，则一共可以作 $210$ 个不同的四面体 B、甲､乙､丙 $3$ 个人值周，从周一到周六，每人值 $2$ 天，但甲不值周一，乙不值周六，则可以排出48种不同的值周表 C、从 $0, 1, 2, \dots, 9$ 这 $10$ 个数字中选出 $5$ 个不同的数字组成五位数，其中大于 $13000$ 的共有 $26544$ 个 D、 $4$ 个不同的小球放入编号为 $1, 2, 3, 4$ 的 $4$ 个盒子中，恰有 $1$ 个空盒的放法共有 $144$ 种

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19、函数 $f (x)$ 是定义在 $(- π, 0) \cup (0, π)$ 上的奇函数，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，且 $f (\frac{π}{2}) = 0$ ，当 $0 < x < π$ 时， $f^{'} (x) \sin x - f (x) \cos x < 0$ ，则关于 $x$ 的不等式 $f (x) < 0$ 的解集为（）

A、 $(- \frac{π}{2}, 0) \cup (0, \frac{π}{2})$ B、 $(- \frac{π}{2}, 0) \cup (\frac{π}{2}, π)$ C、 $(- π, 0) \cup (0, \frac{π}{2})$ D、 $(- π, 0) \cup (\frac{π}{2}, π)$

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20、已知函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{x - a} (a > 0)$ 在 $(1, 2)$ 上单调递减，则实数a的取值范围是（）

A、 $a \leq 1$ 或 $a \geq 2$ B、 $a \geq 2$ C、 $a \geq 2$ 或 $a = 1$ D、 $a \geq 1$

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日期 $t$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
销售量 $y$ （万张）	1.93	1.95	1.97	1.98	2.01	2.02	2.02	2.05	2.07	0.5

年份	2017年	2018年	2019年	2020年	2021年
年份代码 $x_{i}$	1	2	3	4	5
$y_{i}$	6.4	5.5	5.0	4.8	3.8

$X$	2	3	4
$P$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{6}$