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相关试卷

1、图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到．图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为（）
图一图二图三

A、 $2^{n} - 1; n$ B、 $2^{n} - 1; n + 1$ C、 $2^{n - 1} - 1; n$ D、 $2^{n + 1} - 1; n + 1$

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2、已知方程 $\frac{x^{2}}{k + 2} + \frac{y^{2}}{2 - k} = 1$ 表示焦点在 $y$ 轴上的椭圆，则实数 $k$ 的取值范围为（）

A、 $(- 2, 0)$ B、 $(0, 2)$ C、 $(- 2, 2)$ D、 $(- 2, 0) \cup (0, 2)$

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3、在锐角 $△ A B C$ 中，记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ， $2 b cos A = a cos C + c cos A$ ，点 $O$ 为 $△ A B C$ 的所在平面内一点，且满足 $(\vec{O A} + \vec{O B}) \cdot \vec{A B} = (\vec{O B} + \vec{O C}) \cdot \vec{B C} = 0$ ．

(1)、若 $a = \sqrt{3}$ ，求 $|A O|$ 的值；

(2)、在（1）条件下，求 $|3 \vec{O A} + 2 \vec{O B} + \vec{O C}|$ 的最小值；

(3)、若 $\vec{A O} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ ，求 $x + y$ 的取值范围．

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4、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形， $△ P A B$ 是边长为1的正三角形，且 $∠ P B C = ∠ P A D = \frac{π}{2}, E, F$ 分别是棱 $P D, P C$ 上的动点， $H$ 为 $A B$ 中点．

(1)、若 $E$ 为 $P D$ 中点，证明： $A E$ ∥面 $P H C$

(2)、求 $A E + E F + B F$ 的最小值

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5、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且满足 $2 a \sin C - \sqrt{3} c = 0$

(1)、求角 $A$ 的值；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{3}$ 且 $a \leq b$ ，求 $b - \frac{c}{2}$ 的取值范围．

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6、如图，在几何体 $A B C D F E$ 中，四边形 $A B C D$ 为直角梯形， $D C = 2 A B, G C = 2 F G$ ，平面 $A B E F \cap$ 平面 $C D E F = E F$

(1)、证明： $A F$ $/ /$ 平面 $B D G$

(2)、证明： $A B / / E F$

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7、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，面积为 $S$ ，且 $S = \frac{a b c}{4}$ ．

(1)、求 $△ A B C$ 的外接圆的半径；

(2)、若 $b + c = 2$ ，且 $B C$ 边上的高 $h = \frac{1}{2}$ ，求角 $A$ ．

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8、设 $\vec{a}, \vec{b}$ 是不共线的两个非零向量．

(1)、若 $\vec{O A} = \vec{a} + 2 \vec{b}, \vec{O B} = 2 \vec{a} - \vec{b}, \vec{O C} = 5 \vec{a} - 10 \vec{b}$ ，求证： $A, B, C$ 三点共线；

(2)、若 $3 \vec{a} + k \vec{b}$ 与 $\frac{1}{3} \vec{a} + 2 \vec{b}$ 平行，求实数 $k$ 的值．

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9、已知 $△ A B C$ 中， $B C = 4$ ， $A = \frac{π}{3}$ ，若 $△ A B C$ 在平面内一点 $D$ 满足 $3 \vec{D B} + 3 \vec{D C} + \vec{D A} = \vec{0}$ ，则 $\vec{D B} \cdot \vec{D C}$ 的最大值为

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10、四棱锥 $P - A B C D$ 的底面是边长为1的正方形，如图所示，点 $E$ 是棱 $P D$ 上一点， $P E = \frac{3}{5} P D$ ，若 $\vec{P F} = λ \vec{P C}$ 且满足 $B F / /$ 平面 $A C E$ ，则 $λ =$

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11、如图，甲乙两人做游戏，甲在 $A$ 处发现乙在北偏东 $45 °$ 方向，相距6百米的 $B$ 处，乙正以每分钟5百米的速度沿南偏东 $75 °$ 方向前进，甲立即以每分钟7百米的速度，沿北偏东 $(45 ° + α)$ 方向追赶乙，则甲追赶上乙最少需要分钟．

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12、已知一个球的半径是 $2cm$ ，则它的表面积是 ${cm}^{2}$ ．

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13、“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知 $M$ 是 $△ A B C$ 内一点， $△ B M C, △ A M C, △ A M B$ 的面积分别为 $S_{A}, S_{B}, S_{C}$ ，且 $S_{A} \cdot \vec{M A} + S_{B} \cdot \vec{M B} + S_{C} \cdot \vec{M C} = \vec{0}$ ．以下命题正确的有（）

A、若 $S_{A} : S_{B} : S_{C} = 1 : 1 : 1$ ，则 $M$ 为 $△ A M C$ 的重心 B、若 $M$ 为 $△ A B C$ 的内心，则 $B C \cdot \vec{M A} + A C \cdot \vec{M B} + A B \cdot \vec{M C} = \vec{0}$ C、若 $∠ B A C = 45 °, ∠ A B C = 60 °, M$ 为 $△ A B C$ 的外心，则 $S_{A} : S_{B} : S_{C} = 1 : \sqrt{3} : 2$ D、若 $M$ 为 $△ A B C$ 的垂心， $2 \vec{M A} + 3 \vec{M B} + 4 \vec{M C} = \vec{0}$ ，则 $cos ∠ A M B = - \frac{\sqrt{7}}{7}$

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14、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1， $E 、 F 、 G$ 分别为 $B C, C C_{1}, B B_{1}$ 的中点，则（）

A、直线 $A_{1} G$ 与平面 $A E F$ 平行 B、 $V_{E - A_{1} F G} = \frac{1}{12}$ C、过 $A_{1} C$ 的平面截此正方体所得的截面可能不是四边形 D、过 $A_{1} C$ 的平面截此正方体所得的截面的面积范围是 $[\frac{\sqrt{6}}{2}, \sqrt{2}]$

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15、已知 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 是夹角为 $\frac{2 π}{3}$ 的单位向量，且 $\vec{a} = \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}, \vec{b} = \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $|\vec{a}| = \sqrt{3}$ B、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = - \frac{1}{2}$ C、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\vec{e_{1}}$ 在 $\vec{e_{2}}$ 方向上的投影向量为 $- \frac{1}{2} \vec{e_{2}}$

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16、下列命题是真命题的是（）

A、空间三点可以唯一确定一个平面 B、 $α, β$ 为两个不同的平面，直线 $l \subset α$ ，则“ $l / / β$ ”是“ $α ∥ β$ ”必要不充分条件 C、如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 D、长方体是直平行六面体

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17、如图，四面体各个面都是边长为2的正三角形，其三个顶点在一个圆柱的下底面圆周上，另一个顶点是上底面圆心，则圆柱的体积是（）

A、 $\frac{4 \sqrt{6}}{9} π$ B、 $\frac{4 \sqrt{3}}{9} π$ C、 $\frac{8 \sqrt{6}}{9} π$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3} π$

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18、已知扇形 $A O B$ 的半径为13，以 $O$ 为原点建立如图所示的平面直角坐标系， $\vec{O A} = (13, 0), \vec{O B} = (12, 5)$ ，弧 $A B$ 的中点为 $C$ ，则 $\vec{O C} =$ （）

A、 $(3 \sqrt{13}, 2 \sqrt{13})$ B、 $(\frac{5}{2} \sqrt{26}, \frac{1}{2} \sqrt{26})$ C、 $(4 \sqrt{10}, 3)$ D、 $(\sqrt{153}, 4)$

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19、正四棱台的上、下底面的边长分别为2，8，侧棱长为 $2 \sqrt{5}$ ，则其体积为（）

A、 $84 \sqrt{2}$ B、 $\frac{80 \sqrt{2}}{3}$ C、 $80 \sqrt{2}$ D、 $28 \sqrt{2}$

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20、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，面积为 $S$ ，若 $\sqrt{3} b \sin A = a \cos B$ ， $6 S = \sqrt{3} \vec{A B} \cdot \vec{A C}$ ，则 $△ A B C$ 的形状是（）

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、正三角形 D、等腰直角三角形

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