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相关试卷

1、已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域均为 $R$ ，记 $g (x) = f^{'} (x)$ .若 $f (2 x + 1) - 2 x$ 与 $g (x + 2)$ 均为偶函数，则（）

A、 $g (1) = 1$ B、函数 $\frac{f (x + 1)}{x}$ 的图象关于点 $(0, 1)$ 对称 C、函数 $g (x)$ 的周期为2 D、 $\sum_{k = 1}^{2024} [g (k) - 1] [g (k + 1) + 1] = 0$

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2、已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球、一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球、一个3号球；3号盒子内装有三个1号球、两个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（）

A、在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为 $\frac{1}{2}$ B、第二次抽到3号球的概率为 $\frac{11}{48}$ C、如果第二次抽到的是1号球，则它来自2号盒子的概率最大 D、如果将5个不同的小球放入这三个盒子内，每个盒子至少放1个，则不同的放法有150种

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3、设函数 $f (x) = \cos 2 ω x + \sqrt{3} \sin 2 ω x$ （ $ω > 0$ ）的最小正周期为 $π$ ，则（）

A、 $ω = 1$ B、函数 $y = f (x)$ 的图象可由函数 $y = 2 \sin 2 x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个长度单位得到 C、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{5 π}{12}, 0)$ 中心对称 D、函数 $f (x)$ 在区间 $(- \frac{π}{4}, \frac{π}{8})$ 上单调递增

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4、为了提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素与学生对体育锻炼的喜好是否有影响，为此对学生是否喜欢体育锻炼的情况进行普查.得到下表：
性别
体育锻炼
合计
喜欢
不喜欢
男生
280
q
280+q
女生
p
120
120+p
合计
280+p
120+q
400+p+q
附：χ²＝ $\frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， n＝a＋b＋c＋d.
α
0.10
0.05
0.010
0.001
x_α
2.706
3.841
6.635
10.828
已知男生喜欢体育锻炼的人数占男生人数的 $\frac{7}{10}$ ，女生喜欢体育锻炼的人数占女生人数的 $\frac{3}{5}$ ，则下列说法正确的是（）

A、列联表中q的值为120，p的值为180 B、随机对一名学生进行调查，此学生有90%的可能喜欢体育锻炼 C、根据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为学生的性别与其对体育锻炼的喜好有关系，此推断犯错误的概率不超过0.01 D、根据小概率值α＝0.001的独立性检验，认为学生的性别与其对体育锻炼的喜好无关

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5、为推进体育教学改革和发展，提升体育教学质量中丰富学校体育教学内容，某市根据各学校工作实际，在4所学校设立兼职教练岗位．现聘请甲、乙等6名教练去这4所中学指导体育教学，要求每名教练只能去一所中学，每所中学至少有一名教练，则甲、乙分在同一所中学的不同的安排方法种数为（）

A、96 B、120 C、144 D、240

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6、“ $a \geq \frac{\sqrt{2}}{2}$ ”是“圆 $C_{1}$ ： $x^{2} + y^{2} = 4$ 与圆 $C_{2}$ ： ${(x - a)}^{2} + {(y + a)}^{2} = 1$ 有公切线”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7、古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础．现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点 $A$ 是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上 $B$ ， $C$ 两点与点 $A$ 在同一条直线上，且在点 $A$ 的同侧．若在 $B$ ， $C$ 处分别测得球体建筑物的最大仰角为 $60 °$ 和 $20 °$ ，且 $B C = 100 m$ ，则该球体建筑物的高度约为（）（ $\cos 10 ° \approx 0.985$ ）

A、49.25 m B、50.76 m C、56.74 m D、58.60 m

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8、设复数 $z = \frac{1}{1 - i}$ （其中 $i$ 为虚数单位）， $\bar{z}$ 是 $z$ 的共轭复数，则 $z + \bar{z} =$ （）

A、 $- 1$ B、 $1$ C、 $i$ D、 $\frac{1 + i}{2}$

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9、若集合 $A = {x| y = \sqrt{x - 2}}, B = {y| y = \sqrt{x - 2}}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $(0, 2]$ B、 $[2, + \infty)$ C、 $[0, + \infty)$ D、 $\emptyset$

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10、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ B C, A B = A A_{1} = \sqrt{3}, B C = 1, P$ 是 $B C_{1}$ 上一动点， $\vec{B P} = λ \vec{B C_{1}} (0 < λ < 1), M$ 是 $C C_{1}$ 的中点， $Q$ 是 $A M$ 的中点.

(1)、当 $λ = \frac{1}{4}$ 时，证明： $P Q //$ 平面 $A B C$ ；

(2)、在答题卡的题 (2) 图中作出平面 $A B_{1} P$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 的交线 (保留作图痕迹，无需证明)；

(3)、是否存在 $λ$ ，使得平面 $A B_{1} P$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 所成二面角的余弦值为 $\frac{\sqrt{14}}{4}$ ? 若存在求满足条件的 $λ$ 值，若不存在，则说明理由.

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11、如图，在扇形 $O M N$ 中，半径 $O M = 2$ ，圆心角 $∠ M O N = \frac{π}{3}$ ，矩形 $A B C D$ 内接于该扇形，其中点 $A, B$ 分别在半径 $O M$ 和 $O N$ 上，点 $C, D$ 在 $\overset{⌢}{M N}$ 上， $A B / / M N$ ，记矩形 $A B C D$ 的面积为S.

(1)、当点 $A, B$ 分别为半径 $O M$ 和 $O N$ 的中点时，求S的值；

(2)、设 $∠ D O M = θ (0 < θ < \frac{π}{6})$ ，当 $θ$ 为何值时，S取得最大值，并求此时S的最大值.

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12、如图，已知多面体 $P Q R A B C D$ 中，四边形 $A B C D 、 P A B Q 、 P A D R$ 均为正方形，点 $H$ 是 $△ C Q R$ 的垂心， $P A = 1$ .

(1)、证明： $H$ 是点 $A$ 在平面 $C Q R$ 上的射影；

(2)、求多面体 $P Q R A B C D$ 的体积.

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13、在非直角三角形 $A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且满足 $a = 2 c cos B - b cos C$ .

(1)、求证： $tan C = 2 tan B$ ；

(2)、若 $tan A = 3, a = 3$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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14、某学校高一新生体检，校医室为了解新生的身高情况，随机抽取了 100 名同学的身高数据 (单位： $cm$ )，制作成频率分布直方图如图所示.

(1)、求这 100 名同学的平均身高的估计值 (同一组数据用区间中点值作为代表)；

(2)、用分层抽样的方法从 $[165, 170), [170, 175), [175, 180)$ 中抽出一个容量为17 的样本，如果样本按比例分配，则各区间应抽取多少人?

(3)、估计这 100 名同学身高的上四分位数.

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15、已知 $△ A B C$ 是边长为2的正三角形，点 $D$ 在平面 $A B C$ 内且 $\vec{D A} \cdot \vec{D B} = 0$ ，则 $\vec{D A} \cdot \vec{D C}$ 的最大值为，最小值为.

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16、已知 $4 \cos (θ + \frac{π}{4}) = \cos 2 θ$ ，则 $\sin 2 θ =$ .

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17、已知 $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 1, \vec{b} = (1, 2)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为.

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18、如图，在三棱锥 $P - D E F$ 中， $P E = P F = 1, P D = 2, D E = D F = \sqrt{5}, E F = \sqrt{2}$ ，点 $Q$ 是 $D F$ 上一动点，则（）

A、过 $P E 、 P F 、 D E 、 D F$ 各中点的截面的面积为 $\sqrt{2}$ B、直线 $P E$ 与平面 $D E F$ 所成角的正弦值为 $\frac{2}{3}$ C、 $△ P E Q$ 面积的最小值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、将三棱锥的四个面展开在同一平面得到的平面图形可以是直角三角形或正方形。

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19、关于复数 $z = \cos \frac{π}{3} + i \sin \frac{π}{3}$ ( $i$ 为虚数单位)，下列说法正确的是（）

A、 $z \cdot \bar{z} = 1$ B、 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点位于第二象限 C、 $z^{3} = 1$ D、 $z^{2} - z + 1 = 0$

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20、已知正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}, A B = 2$ ，半球的球心 $O$ 在底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的中心，且半球与该棱台的各棱均相切，则半球的表面积为（）

A、 $9 π$ B、 $18 π$ C、 $27 π$ D、 $36 π$

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性别	体育锻炼		合计
性别	喜欢	不喜欢	合计
男生	280	q	280+q
女生	p	120	120+p
合计	280+p	120+q	400+p+q

α	0.10	0.05	0.010	0.001
x_α	2.706	3.841	6.635	10.828