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相关试卷

1、我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率，求出了精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一.借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线代替在切点附近的曲线来近似计算，例如：求 $\ln 1.01$ ，我们先求得 $y = \ln x$ 在 $x = 1$ 处的切线方程为 $y = x - 1$ ，再把 $x = 1.01$ 代入切线方程，即得 $\ln 1.01 \approx 0.01$ ，类比上述方式，则 $\sqrt[2000]{e} \approx$ （）

A、1.0005 B、1.0001 C、1.005 D、1.001

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2、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 有最小值，且 $- 1 < \frac{a_{2022}}{a_{2023}} < 0$ ，则使 $S_{n} > 0$ 成立的正整数 $n$ 的最小值为（）

A、2022 B、2023 C、4043 D、4044

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3、战国时期成书《经说》记载：“景：日之光，反蚀人，则景在日与人之间”.这是中国古代人民首次对平面镜反射的研究，体现了传统文化中的数学智慧.在平面直角坐标系 $x O y$ 中，一条光线从点 $(2, 3)$ 射出，经 $y$ 轴反射后与圆 $x^{2} - 6 x + y^{2} + 4 y + 12 = 0$ 相切，则反射光线所在直线的斜率为（）

A、 $- \frac{4}{3}$ 或 $- \frac{3}{4}$ B、 $\frac{1}{7}$ C、 $\frac{5}{7}$ D、 $\frac{5}{6}$

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4、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P D = 2 D C$ ， E为 $P C$ 上一点，且 $P C = 4 E C$ ，则异面直线 $A C$ 与 $B E$ 所成角的余弦值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{42}}{14}$ B、 $\frac{\sqrt{42}}{14}$ C、 $\frac{\sqrt{21}}{14}$ D、 $- \frac{\sqrt{21}}{14}$

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5、已知直线 $l_{1} : a x + 2 y + 4 = 0$ ，直线 $l_{2} : x + (a + 1) y + 4 = 0$ ，若 $l_{1} / / l_{2}$ ，则 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的距离为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $3 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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6、已知 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 是空间的一个基底， $\vec{m} = 2 \vec{a} + 3 \vec{b} - \vec{c}$ ， $\vec{n} = x (\vec{a} - \vec{b}) + y (\vec{b} - \vec{c}) + 4 (\vec{a} + \vec{c})$ ，若 $\vec{m} / / \vec{n}$ ，则 $x + y =$ （）

A、 $0$ B、 $- 6$ C、6 D、5

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7、已知 $P$ 是抛物线 $C : x^{2} = 8 y$ 上的一点， $F$ 为 $C$ 的焦点，若 $|P F| = 11$ ，则 $P$ 的纵坐标为（）

A、8 B、9 C、10 D、11

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8、如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中，平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C D$ ， $A B = A D$ ， O为 $B D$ 的中点．

(1)、证明： $O A ⊥ C D$ ；

(2)、若 $△ O C D$ 是边长为1的等边三角形，点E在棱 $A D$ 上， $D E = 2 E A, O A = 1$ ，求二面角 $E - B C - D$ 的大小．

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9、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，椭圆上的点到焦点的距离的最大值为3．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、设A，B两点为椭圆C的左、右顶点，点P（异于左、右顶点）为椭圆C上一动点，直线PA，PB的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，求证： $k_{1} \cdot k_{2}$ 为定值．

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10、已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 的直线 $l$ 交抛物线于 $A$ ， $B$ 两点，当 $l ⊥ x$ 轴时， $|A B| = 12$ ．

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、当线段 $A B$ 的中点的纵坐标为 $3$ 时，求直线 $l$ 的方程．

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11、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是等差数列，且 $a_{2} = - 25, 2 a_{3} + a_{5} = - 50$ .

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求 $S_{n}$ .

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12、已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 1$ 与圆 $C_{2} : {(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 25$ ，则两圆的位置关系为．

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13、直线l过点 $(2, 1)$ ，若l的斜率为3，则直线l的一般式方程为．

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14、已知空间向量 $\vec{a} = (- 3, - 1, 2), \vec{b} = (3, 3, 1)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $(3 \vec{a} + 2 \vec{b}) ∥ \vec{a}$ B、 $\vec{a} ⊥ (5 \vec{a} + 7 \vec{b})$ C、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的余弦值为 $- \frac{5 \sqrt{266}}{133}$ D、若 $\vec{c} = (3, 7, 7)$ ，则 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 共面

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15、已知圆 $C : {(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 1$ ，直线 $l : 3 k x - 3 y + 5 k - 6 = 0$ 上存在点 $P$ ，过点 $P$ 作圆 $C$ 的切线，切点分别为 $A, B$ ，使得 $∠ A P B = 60^{\circ}$ ，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{3}{4}, \frac{14}{5}]$ B、 $[\frac{4}{3}, \frac{14}{5}]$ C、 $[\frac{4}{3}, \frac{12}{5}]$ D、 $[\frac{3}{4}, \frac{12}{5}]$

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16、如图，这是一个落地青花瓷，其中底座和瓶口的直径相等，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为 $40 cm$ ，最大直径为 $60 cm$ ，双曲线的离心率为 $\sqrt{6}$ ，则该花瓶的高为（）

A、 $90 cm$ B、 $100 cm$ C、 $110 cm$ D、 $120 cm$

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17、在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 是线段 $B D$ 上的一点，且 $P D = 3 P B$ ，设 $\vec{A_{1} A} = \vec{a}$ ， $\vec{A_{1} B_{1}} = \vec{b}, \vec{A_{1} D_{1}} = \vec{c}$ ，则 $\vec{P C_{1}} =$ （）

A、 $\vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{3}{4} \vec{c}$ B、 $\frac{1}{4} \vec{a} - \frac{1}{4} \vec{b} + \frac{3}{4} \vec{c}$ C、 $- \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b} + \frac{3}{4} \vec{c}$ D、 $\frac{1}{4} \vec{a} - \frac{3}{4} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{c}$

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18、已知椭圆方程为 $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{64} = 1$ ，则以该椭圆的长轴长为弦长的圆的最小面积是（）

A、 $8 π$ B、 $16 π$ C、 $36 π$ D、 $64 π$

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19、已知直线 $l_{1}$ 经过 $A (3, 7)$ ， $B (2, 8)$ 两点，且直线 $l_{2} ⊥ l_{1}$ ，则直线 $l_{2}$ 的倾斜角为（）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $135 °$ D、 $150 °$

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20、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = n^{2} + 1$ ，则下列数是该数列中的项的是（）

A、7 B、8 C、9 D、10

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