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相关试卷

1、某校为了解学生阅读文学名著的情况，随机抽取了校内200名学生，调查他们一年时间内的文学名著阅读的达标情况，所得数据如下表：

阅读达标
阅读不达标
合计
女生
70
30
100
男生
40
60
100
合计
110
90
200

(1)、根据上述数据，依据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，能否认为阅读达标情况与性别有关联?

(2)、从阅读不达标的学生中按男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取6人进行座谈，再从这6人中任选2人，记这2人中女生的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望.
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
$α$
0.050
0.010
0.001
$x_{a}$
3.841
6.635
10.828

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2、如图，一只蚂蚁从正四面体 $O A B C$ 的顶点 $O$ 出发，每一步 (均为等可能性的)经过一条边到达另一顶点，设该蚂蚁经过 $n$ 步回到点 $O$ 的概率 $P_{n}$ ，则 $P_{2} =$ ， $P_{n} =$ .

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3、已知 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 分别是函数 $f (x) = a x^{3} + x^{2} + a x + 1$ 的极大值点和极小值点. 若 $x_{1} > x_{2}$ ，则 $a$ 的取值范围是.

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4、已知函数 $f (x)$ 的定义域和值域均为 $[- 3, 3]$ ，则函数 $g (x) = 2 f (2 x + 1)$ 的定义域和值域分别为.

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5、已知函数 $f (x) = (x - a e^{x}) (\ln x - a x)$ 恰好有三个零点，分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $x_{2} = e^{x_{1}}$ B、 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ 成等差数列 C、 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ 成等比数列 D、 $\frac{x_{3} \ln \frac{x_{1}}{x_{2}}}{\ln x_{3}} < \frac{1}{e}$

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6、甲和乙两个箱子中各装有 10 个球，其中甲箱中有 5 个白球、 5 个红球，乙箱中有 8 个红球、 2 个白球. 掷一枚质地均匀的骰子，若点数为 5 或 6 ，则从甲箱中随机摸出 1 个球不放回；若点数为 $1 ， 2 ， 3 ， 4$ ，则从乙箱中随机摸出 1 个球不放回. 下列结论正确的是（）

A、掷骰子一次，摸出的是红球的概率为 $\frac{11}{15}$ B、掷骰子一次，若摸出的是红球，则该球来自甲箱的概率为 $\frac{5}{21}$ C、掷骰子两次，摸出的 2 个球都来自甲箱的概率为 $\frac{1}{9}$ D、掷骰子两次，摸出 2 个红球的概率为 $\frac{194}{405}$

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7、对于 ${(\sqrt{x} - \frac{3}{x^{2}})}^{5}$ 的展开式，下列说法正确的是（）

A、展开式共有 5 项 B、展开式的各项系数之和为 $- 32$ C、展开式中的常数项是 15 D、展开式的各二项式系数之和为 32

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8、在平面直角坐标系中，如果将函数 $y = f (x)$ 的图象绕坐标原点逆时针旋转 $\frac{π}{3}$ 后，所得曲线仍然是某个函数的图象，那么称 $f (x)$ 为“旋转函数”. 下列四个函数中“旋转函数”的个数为（）
① $y = - x$ ； ② $y = e^{x} - 1$ ； ③ $y = ln (x + 1)$ ； ④ $y = \sqrt{x + 1} - 1 (x \geq 0)$ .

A、1 B、2 C、3 D、4

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9、已知 $f (x + 5)$ 为偶函数，若函数 $y = |x - 5|$ 与 $y = f (x)$ 图象的交点为 $(x_{1}, y_{1})$ ， $(x_{2}, y_{2})$ ， …， $(x_{9}, y_{9})$ ，则 $\sum_{i = 1}^{9} x_{i} =$ （）

A、45 B、 $- 45$ C、90 D、 $- 90$

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10、要安排4名学生（包括甲）到A，B两个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有1名志愿者，且甲不去A乡村，则不同的安排方法共有（）

A、7种 B、8种 C、12种 D、14种

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11、已知正实数 $a, b$ ，则 “ $a + b \leq 2$ ” 是 “ $a^{2} + b^{2} \leq 2$ ” 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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12、为了研究某产品的年研发费用 $x$ (单位：万元) 对年利润 $y$ (单位：万元) 的关系，该公司统计了最近 8 年每年投入该产品的年研发费用与年利润的数据，根据统计数据的散点图可以看出 $y$ 与 $x$ 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ . 已知 $\sum_{i = 1}^{8} x_{i} = 80, \sum_{i = 1}^{8} y_{i} = 200, \hat{b} = 2$ . 若该公司对该产品预投入的年研发费用为 25 万元，则预测年利润为（）

A、55 万元 B、57 万元 C、60 万元 D、62 万元

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13、若曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线的斜率为 $- 3$ ，则 $lim_{Δ x \to 0} \frac{f (1) - f (1 + 2 Δ x)}{Δ x} =$ （）

A、 $- 6$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、6

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14、用数字 $0, 1, 2, 3$ 组成三位数，各数位上的数字允许重复，则满足条件的三位数的个数为（）

A、12 B、24 C、48 D、64

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15、已知集合 $A = {x ∣ 1 - x < 0}, B = \{x ∣ x^{2} < 2\}$ ，则 $A \cap B = （）$

A、 $(- 1, \sqrt{2})$ B、 $(- \sqrt{2}, 1)$ C、 $(- \sqrt{2}, - 1)$ D、 $(1, \sqrt{2})$

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16、已知函数 $g (x) = (a^{2} - 2 a + 1) {l o g}_{a + 1} x$ 为对数函数，函数 $y = m (x)$ 的图象与函数 $y = g (x)$ 的图象关于 $y = x$ 对称，设函数 $f (x) = \frac{{[m (x)]}^{2} - n}{m (x)}$ ，且对任意 $x$ 都有 $f (- x + 1) - f (x - 1) = 0$ 恒成立．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若函数 $h (x) = {[m (x)]}^{2} + {[m (x)]}^{- 2} - (2 t + 1) f (x)$ 在 $[{l o g}_{3} 2, + \infty)$ 上的最小值为 $- 3$ ，求实数 $t$ 的值．

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17、已知函数 $f (x)$ 为定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = x^{2} + (a + 1) x$ ．

(1)、当 $a = - 2$ 时，求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $[0, + \infty)$ 上单调递增，
①求实数 $a$ 的取值范围；
②若存在实数 $t$ ，使不等式 $f (2 t + x^{2}) + f (t^{2} - 5 x + 5) < 0$ 成立，求实数 $x$ 的取值范围．

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18、正安县是中国白茶之乡．在饮用中发现，茶水的口感与水的温度有关．经实验表明，用100℃的水泡制，待茶水温度降至60℃时，饮用口感最佳．某实验小组为探究室温下刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔 $1 min$ 测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的数据如下表：
时间 $/ min$
0
1
2
3
4
5
水温 $/$ ℃
100
91
82.9
78.37
72.53
67.27
设茶水温度从100℃经过 $x min$ 后温度变为 $y$ ℃，现给出以下三种函数模型：
① $y = c x + b (c < 0, x \geq 0)$ ；
② $y = c a^{x} + b (c > 0, 0 < a < 1, x \geq 0)$ ；
③ $y = {l o g}_{a} (x + c) (a > 1, c > 0, x \geq 0)$ ．

(1)、从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根据前3组数据求出该解析式；

(2)、根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的白茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到 $0.01$ ）；

(3)、考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，求进行实验时的室温约为多少．（参考数据： $l g 3 = 0.477, l g 5 = 0.699$ ）

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19、《全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》中指出：“逐步完善‘健康知识+基本运动技能+专项运动技能’的学校体育教学模式，教会学生科学锻炼和健康知识，指导学生掌握跑、跳、投等基本运动技能和足球、篮球、排球、田径、游泳、体操、武术、冰雪运动等专项运动技能．健全体育锻炼制度，广泛开展普及性体育运动，定期举办学生运动会或体育节，组建体育兴趣小组、社团和俱乐部，推动学生积极参与常规课余训练和体育竞赛．合理安排校外体育活动时间，着力保障学生每天校内、校外各1个小时体育活动时间，促进学生养成终身锻炼的习惯，加强青少年学生军训．”某市为了解高中生周末体育锻炼时间的情况，通过随机调查获得了3000名学生的周末体育锻炼时间（单位：分钟）数据，将数据按照 $[40 ， 60)$ ， $[60 ， 80)$ ， $[80 ， 100)$ ， $[100 ， 120)$ ， $[120 ， 140)$ ， $[140 ， 160)$ ， $[160 ， 180]$ 分成7组，并得到如下频率分布直方图．

(1)、估计该市高中生周末体育锻炼的平均时间（每组数据用该组中点值代表）；

(2)、为了解本市高中生周末体育锻炼时间规划情况，采用分层抽样的方法从体育锻炼时间在 $[140, 180]$ 中抽取6人，再从6人中随机抽取2人进行访谈，求抽取的2人中恰有1人锻炼时间在 $[140, 160)$ 的概率．

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20、设全集 $U = R$ ，集合 $A = \{x |2 x^{2} + 5 x - 3 < 0\}$ ，集合 $B = \{x |3 - 2 a < x < a + 1\}$ ， $a \in R$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，求图中阴影部分表示的集合；

(2)、若 $A \cap B = A$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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	阅读达标	阅读不达标	合计
女生	70	30	100
男生	40	60	100
合计	110	90	200

$α$	0.050	0.010	0.001
$x_{a}$	3.841	6.635	10.828

时间 $/ min$	0	1	2	3	4	5
水温 $/$ ℃	100	91	82.9	78.37	72.53	67.27