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相关试卷

1、已知 $|\vec{a}| = 1, |\vec{b}| = 2, |\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{3}$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $\frac{1}{2} \vec{b}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a}$ C、 $\frac{1}{4} \vec{b}$ D、 $\frac{1}{4} \vec{a}$

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2、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = - \frac{1}{4}, a_{n + 1} = 1 - \frac{1}{a_{n}}$ ，则 $a_{6} =$ （）

A、 $- \frac{1}{4}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、5

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3、已知随机变量 $X \sim N (2, σ^{2})$ ，且 $P (X > 3) = 0.2$ ，则 $P (1 < X \leq 3) =$ （）

A、0.8 B、0.6 C、0.4 D、0.3

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4、已知 $2 - i$ （ $i$ 是虚数单位）是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + b x + c = 0 (b, c \in R)$ 的一个根，则 $b + c =$ （）

A、9 B、1 C、 $- 7$ D、 $2 i - 5$

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5、已知全集 $U = A \cup B = \{x \in N ∣ 0 \leq x \leq 6\}, (∁_{U} A) \cap B = \{2, 4, 6\}$ ，则集合 $A =$ （）

A、 $\{3, 5\}$ B、 $\{0, 3, 5\}$ C、 $\{1, 3, 5\}$ D、 $\{0, 1, 3, 5\}$

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6、定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”，例如：数列 $1, 2, 3$ 经过第一次“和扩充”后得到数列 $1, 3, 2, 5, 3$ ；第二次“和扩充”后得到数列 $1, 4, 3, 5, 2, 7, 5, 8, 3$ .设数列 $a, b, c$ 经过 $n$ 次“和扩充”后得到的数列的项数为 $P_{n}$ ，所有项的和为 $S_{n}$ .

(1)、若 $a = 2, b = 3, c = 4$ ，求 $P_{2}, S_{2}$ ；

(2)、若 $P_{n} \geq 2024$ ，求正整数 $n$ 的最小值；

(3)、是否存在数列 $a, b, c (a, b, c \in R)$ ，使得数列 $\{S_{n}\}$ 为等比数列？请说明理由.

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7、已知函数 $f (x) = x - \frac{1}{a} ln x$ 与函数 $g (x) = e^{a x} - x$ ，其中 $a > 0$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $g (x) > 0$ ，求 $a$ 的取值范围；

(3)、若曲线 $y = f (x)$ 与 $x$ 轴有两个不同的交点，求证：曲线 $y = f (x)$ 与曲线 $y = g (x)$ 共有三个不同的交点.

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8、已知曲线 $C$ 上的点到点 $F (- 1, 0)$ 的距离比到直线 $x = 3$ 的距离小 $2, O$ 为坐标原点.直线 $l$ 过定点 $A (0, 1)$ .

(1)、直线 $l$ 与曲线 $C$ 仅有一个公共点，求直线 $l$ 的方程；

(2)、曲线 $C$ 与直线 $l$ 交于 $M, N$ 两点，试分别判断直线 $O M, O N$ 的斜率之和､斜率之积是否为定值？并说明理由.

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9、第7届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在湖北武汉举行，赛期10天，共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项，329个小项．共有来自100多个国家的近万名现役军人同台竞技．前期为迎接军运会顺利召开，武汉市很多单位和部门都开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解军运会的相关知识，并倡议大家做文明公民．武汉市体育局为了解广大民众对军运会知识的知晓情况，在全市开展了网上问卷调查，民众参与度极高，现从大批参与者中随机抽取200名幸运参与者，他们得分（满分100分）数据，统计结果如下：
组别
$[30, 40)$
$[40, 50)$
$[50, 60)$
$[60, 70)$
$[70, 80)$
$[80, 90)$
$[90, 100)$
频数
5
30
40
50
45
20
10
（1）若此次问卷调查得分整体服从正态分布，用样本来估计总体，设 $μ, σ$ 分别为这200人得分的平均值和标准差（同一组数据用该区间中点值作为代表），求 $μ, σ$ 的值（ $μ, σ$ 的值四舍五入取整数），并计算 $P (51 < X < 93)$ ；
（2）在（1）的条件下，为感谢大家参与这次活动，市体育局还对参加问卷调查的幸运市民制定如下奖励方案：得分低于 $μ$ 的可以获得1次抽奖机会，得分不低于 $μ$ 的可获得2次抽奖机会，在一次抽奖中，抽中价值为15元的纪念品A的概率为 $\frac{2}{3}$ ，抽中价值为30元的纪念品B的概率为 $\frac{1}{3}$ ．现有市民张先生参加了此次问卷调查并成为幸运参与者，记Y为他参加活动获得纪念品的总价值，求Y的分布列和数学期望．
（参考数据： $P (μ - δ < X \leq μ + δ) \approx 0.6827$ ； $P (μ - 2 δ < X \leq μ + 2 δ) \approx 0.9545$ ； $P (μ - 3 δ < X \leq μ + 3 δ) \approx 0.9973$ ．）

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10、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A B / / C D$ ， $A D = C D = a$ ， $∠ B A D = 120 °$ ， $∠ A C B = 90 °$ .

(1)、求证： $B C ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、若 $P A = \sqrt{3} a$ ，求二面角 $D - P C - A$ 的余弦值.

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11、 $△ A B C$ 为锐角三角形，其三个内角 $A ､ B ､ C$ 的对边分别为 $a ､ b ､ c$ ，且 $b = 1, C = 2 B$ ，则 $△ A B C$ 周长的取值范围为.

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12、已知正三棱锥 $P -$ ABC，点P，A，B，C都在半径为 $\sqrt{3}$ 的球面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为．

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13、设椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为F₁ ， F₂ ， P是C上的点，PF₂⊥F₁F₂ ， $∠ P F_{1} F_{2} = 30^{°}$ ，则C的离心率为．

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14、已知圆 $O : x^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ ，斜率为k的直线l经过圆O内与O点不重合且不在坐标轴上的一个定点P，且与圆O相交于A、B两点，下列选项中正确的是（）

A、若r为定值，则存在k，使得 $O P ⊥ A B$ B、若k为定值，则存在r，使得 $O P ⊥ A B$ C、若r为定值，则存在k，使得圆O上恰有三个点到l的距离均为 $|k|$ D、若k为定值，则存在r，使得圆O上恰有三个点到l的距离均为 $\frac{r}{2}$

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15、已知函数 $f (x) = min \{sin x, cos x\}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 关于直线 $x = - \frac{π}{4}$ 对称 B、 $f (x)$ 的最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ 上不单调 D、在 $(0, 2 π)$ ，方程 $f (x) = m$ （m为常数）最多有4个解

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16、下列论述正确的有（）

A、若 $A, B$ 两组成对数据的样本相关系数分别为 $r_{A} = 0.97, r_{B} = - 0.99$ ，则 $A$ 组数据比 $B$ 组数据的相关性较强 B、数据 $49, 21, 32, 29, 38, 65, 30, 50$ 的第60百分位数为38 C、若随机变量 $X \sim N (7, σ^{2})$ ，且 $P (X > 9) = 0.12$ ，则 $P (5 < X < 7) = 0.38$ D、若样本数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{6}$ 的方差为1，则数据 $2 x_{1} - 1, 2 x_{2} - 1, \dots, 2 x_{6} - 1$ 的方差为4

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17、已知奇函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，对任意的 $x$ 满足 $f (- x) = f (x + 2)$ ，且 $f (x)$ 在区间 $(- 1, 0)$ 上单调递增，若 $a = {log}_{4} 3, b = {log}_{π} 2, c = \frac{1}{4} {log}_{\sqrt{2}} 512 \sqrt{2}$ ，则 $f (a), f (b), f (c)$ 的大小关系为（）

A、 $f (c) > f (a) > f (b)$ B、 $f (c) > f (b) > f (a)$ C、 $f (a) > f (b) > f (c)$ D、 $f (a) > f (c) > f (b)$

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18、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则（）

A、若 $\{a_{n}\}$ 为等差数列，且 $S_{9} > S_{8}, S_{9} > S_{10}$ ，则 $S_{17} > 0, S_{18} < 0$ B、若 $\{a_{n}\}$ 为等差数列，且 $S_{17} > 0, S_{18} < 0$ ，则 $a_{17} > 0, a_{18} < 0$ C、若 $\{a_{n}\}$ 为等比数列，且 $a_{4} > 0$ ，则 $S_{2024} > 0$ D、若 $\{a_{n}\}$ 为等比数列，且 $a_{5} > 0$ ，则 $S_{2023} > 0$

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19、若曲线 $y = ln (x + 2 a)$ 的一条切线为 $y = e x - 2 b$ （ $e$ 为自然对数的底数），其中 $a, b$ 为正实数，则 $\frac{1}{e a} + \frac{1}{b}$ 的取值范围是（）

A、 $[2, e)$ B、 $(e, 4]$ C、 $[4, + \infty)$ D、 $[e, + \infty)$

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20、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右顶点为 $A$ ，若以点 $A$ 为圆心，以 $b$ 为半径的圆与 $C$ 的一条渐近线交于 $M, N$ 两点，且 $\vec{O M} = - 3 \vec{O N}$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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组别	$[30, 40)$	$[40, 50)$	$[50, 60)$	$[60, 70)$	$[70, 80)$	$[80, 90)$	$[90, 100)$
频数	5	30	40	50	45	20	10