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相关试卷

1、如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥侧面得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）．在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，截面分别与球 $O_{1}$ ，球 $O_{2}$ 切于点E，F（E，F是截口椭圆C的焦点）．设图中球 $O_{1}$ ，球 $O_{2}$ 的半径分别为4和1，球心距 $|O_{1} O_{2}| = \sqrt{34}$ ，则（）

A、椭圆C的中心不在直线 $O_{1} O_{2}$ 上 B、 $|E F| = 4$ C、直线 $O_{1} O_{2}$ 与椭圆C所在平面所成的角的正弦值为 $\frac{5 \sqrt{34}}{34}$ D、椭圆C的离心率为 $\frac{3}{5}$

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2、已知函数 $f (x) = A cos (2 x + φ) - 1$ $(A > 0, 0 < φ < π)$ ，若函数 $y = |f (x)|$ 的部分图象如图所示，函数 $g (x) = A \sin (A x - φ)$ ，则下列结论不正确的是（　　）

A、将函数 $y = f (x) + 1$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度可得到函数 $g (x)$ 的图象 B、函数 $y = g (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{π}{6}, 0)$ 对称 C、函数 $g (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的单调递减区间为 $[\frac{π}{12}, \frac{π}{2}]$ D、若函数 $g (x + θ) (θ \geq 0)$ 为偶函数，则θ的最小值为 $\frac{7}{12} π$

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3、如图正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积 $($ 　　 $)$

A、 $2 \sqrt{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、 $2 (1 + \sqrt{2})$

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4、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，E，F，G分别为线段 $B C, C C_{1}, B B_{1}$ 上的动点（不含端点），

①异面直线 $D_{1} D$ 与AF所成角可以为 $\frac{π}{4}$
②当G为中点时，存在点E，F使直线 $A_{1} G$ 与平面AEF平行
③当E，F为中点时，平面AEF截正方体所得的截面面积为 $\frac{9}{8}$
④存在点G，使点C与点G到平面AEF的距离相等
则上述结论正确的是（）

A、①③ B、②④ C、②③ D、①④

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5、已知复数 $z = \frac{2 - i}{i^{2022}}$ ，则（）

A、 $z$ 的虚部为 $i$ B、 $z$ 的实部为 $- 2$ C、 $z < 2$ D、 $| z | < 2$

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6、在 $△ A B C$ 中，点 $D ， E$ 满足 $\vec{B D} = \vec{D C} ， \vec{A E} = 2 \vec{E C} ， B E$ 与 $A D$ 交于点 $P$ ，若 $\vec{A P} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ ，则 $x y =$ （）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{4}{25}$ D、 $\frac{4}{9}$

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7、函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ 的图象如图所示，其中 $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $|φ| < \frac{π}{2}$ ，则下列关于函数 $f (x)$ 的说法中错误的是（）

A、在 $(- π, - \frac{5 π}{6})$ 上单调递减 B、 $φ = - \frac{π}{6}$ C、最小正周期是 $π$ D、对称轴是直线 $x = \frac{π}{3} + \frac{k π}{2} (k \in Z)$

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8、设集合 $A = \{(x, y) |\frac{y - 1}{x - 2} = 1\}$ ， $B = \{(x, y) |y = x^{2} - 2 x + 1\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 $\{(1, 0), (2, 1)\}$ C、 $\{(2, 1)\}$ D、 $\{(1, 0)\}$

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9、已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， A为C的上顶点，且 $△ A F_{1} F_{2}$ 的周长为 $4 + 2 \sqrt{3}$ ．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、直线l： $y = k x + m (m \neq 0)$ 与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，当k为何值， ${|O M|}^{2} + {|O N|}^{2}$ 恒为定值，并求此时 $△ M O N$ 面积的最大值．

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10、已知函数 $f (x) = \frac{\ln x}{x}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的极值点和零点；

(2)、若 $f (x) < k x - \frac{1}{x}$ 恒成立，求实数k的取值范围．

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11、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形ABCD为平行四边形， $A C \cap B D = O, A D = B D = 2, ∠ A D B = 90^{\circ}$ ，在等腰直角 $△ B P D$ 中， $∠ B P D = 90^{\circ}$ ， M为PD的中点， $P O ⊥ A C$ ．

(1)、求证： $O M / /$ 平面BCP；

(2)、求二面角 $C - B P - A$ 的正弦值．

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12、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 2$ ，且 $S_{n} = a_{n + 1} - 2$ .
（1）求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（2）求数列 $\{(2 n + 1) \cdot a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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13、已知O为坐标原点，动点P到两个定点 $O (0, 0), A (3, 0)$ 的距离的比 $\frac{1}{2}$ ，记动点P的轨迹为曲线C，

(1)、求由线C的方程；

(2)、若直线l过点 $B (0, 2)$ ，曲线C截l所得弦长等于 $2 \sqrt{3}$ ，求直线l的方程．

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14、若对任意的 $x_{1}$ 、 $x_{2} \in (m, + \infty)$ ，且当 $x_{1} < x_{2}$ 时，都有 $\frac{2}{x_{1} x_{2}} < \frac{\ln x_{2} - \ln x_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ ，则 $m$ 的最小值是.

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15、已知直线过点 $A (1, - 1, - 1)$ ，且方向向量为 $(1, 0, - 1)$ ，则点 $P (1, 1, 1)$ 到直线 $l$ 的距离为.

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16、双曲线 $x^{2} - m y^{2} = 1 (m > 0)$ 的右焦点坐标为 $(2, 0)$ ，则该双曲线的渐近线方程为．

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17、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2， $E$ ， $F$ ， $G$ 分别为 $A B$ ， $A D$ ， $A_{1} B_{1}$ 的中点， $P$ 是其表面上的一个动点，则下列说法正确的是（）

A、当 $P$ 在表面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 上运动时，三棱锥 $P - A B D$ 的体积为定值 $\frac{2}{3}$ B、当 $P$ 在线段 $B B_{1}$ 中点时，平面 $E F P$ 截正方体所得截面的面积为 $3 \sqrt{3}$ C、当 $P$ 在底面 $A B C D$ 上运动，且满足 $P G ∥$ 平面 $B_{1} C D_{1}$ 时， $P G$ 长度的最小值是 $\sqrt{6}$ D、使直线 $A P$ 与平面 $A B C D$ 所成的角为45°的点 $P$ 的轨迹长度为 $π + 4 \sqrt{2}$

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18、已知直线 $l_{1} : a x + 3 y - 1 = 0, l_{2} : x + (a - 2) y + 1 = 0$ ，下列命题中正确的是（）

A、若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $a = \frac{3}{2}$ B、若 $l_{1} / / l_{2}$ ，则 $a = 3$ 或 $a = - 1$ C、原点到直线 $l_{1}$ 的最大距离为 $\frac{1}{3}$ D、若 $l_{1}, l_{2}$ 的倾斜角分别为 $α_{1}, α_{2}$ ，且 $α_{2} = 2 α_{1}$ ，则 $a = \frac{6 \pm 3 \sqrt{11}}{7}$

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19、下列关于空间向量的命题中，正确的是（）

A、若空间向量 $\overset{⃑}{a}, \overset{⃑}{b}$ ，满足 $|\overset{⃑}{a}| = |\overset{⃑}{b}|$ ，则 $\overset{⃑}{a} = \overset{⃑}{b}$ B、若非零向量 $\overset{⃑}{a}, \overset{⃑}{b}, \overset{⃑}{c}$ ，满足 $\overset{⃑}{a} ⊥ \overset{⃑}{b}, \overset{⃑}{b} ⊥ \overset{⃑}{c}$ ，则有 $\overset{⃑}{a} ∥ \overset{⃑}{c}$ C、若 $\overset{⃑}{O A}, \overset{⃑}{O B}, \overset{⃑}{O C}$ 是空间的一组基底，且 $\overset{⃑}{O D} = \frac{1}{3} \overset{⃑}{O A} + \frac{1}{3} \overset{⃑}{O B} + \frac{1}{3} \overset{⃑}{O C}$ ，则 $A, B, C, D$ 四点共面 D、若向量 $\overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b}, \overset{⃑}{b} + \overset{⃑}{c}, \overset{⃑}{c} + \overset{⃑}{a}$ 是空间的一组基底，则 $\overset{⃑}{a}, \overset{⃑}{b}, \overset{⃑}{c}$ 也是空间的一组基底

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20、已知点 $M (x_{1}, y_{1})$ 在直线 $l_{1} : y = x + 2$ ，点 $N (x_{2}, y_{2})$ 在直线 $l_{2} : y = x$ 上，且 $M N ⊥ l_{1}$ ， $\sqrt{x_{1}^{2} + {(y_{1} - 4)}^{2}} + \sqrt{{(x_{2} - 5)}^{2} + y_{2}^{2}}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{7 \sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{11 \sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{41} - \sqrt{2}$ D、5

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