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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = sin (2 x - \frac{π}{6}) - {sin}^{4} x + {cos}^{4} x$ ，则下列关于函数 $f (x)$ 的说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 在 $[\frac{2 π}{3}, π]$ 上单调递增 B、函数 $f (x)$ 的图象可以由 $y = sin 2 x$ 图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度得到 C、 $f (x) = f (\frac{π}{6} - x)$ D、若函数 $y = f (x) + \frac{1}{2}$ 在 $[a, b]$ 上至少有11个零点，则 $b - a$ 的最小值为 $5 π$

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2、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1， $E$ 为 $B A_{1}$ 的中点.下列说法正确的是（）

A、直线 $E C_{1}$ 与直线 $A D$ 是异面直线 B、在直线 $A_{1} C_{1}$ 上存在点 $F$ ，使 $E F ⊥$ 平面 $A_{1} C D$ C、直线 $B A_{1}$ 与平面 $A_{1} C D$ 所成角是 $\frac{π}{3}$ D、点 $B$ 到平面 $A_{1} C D$ 的距离是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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3、已知平面向量 $\vec{a} = (2, - 3)$ ， $\vec{b} = (2, 1)$ ，则（）

A、 $(\vec{a} - 2 \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ B、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 可作为一组基底向量 C、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{65}}{65}$ D、 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量的坐标为 $(\frac{2}{3}, \frac{1}{3})$

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4、在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ， $△ A B C$ 的面积为 $S$ ，若 $sin (A + C) = \frac{2 S}{b^{2} - a^{2}}$ ，则 $tan A$ 的取值范围为（）

A、 $(\frac{\sqrt{3}}{3}, + \infty)$ B、 $(\sqrt{3}, 1)$ C、 $(\frac{\sqrt{3}}{3}, 1)$ D、 $(\sqrt{3}, + \infty)$

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5、自1950年以来，每年于4月7日庆祝世界卫生日，旨在引起世界各国人民对卫生､健康工作的关注，提高人们对卫生领域的素质和认识，强调健康对于劳动创造和幸福生活的重要性.为了让大家了解更多的健康知识，某中学组织三个年级的学生进行日常卫生知识竞赛，经统计，得到前200名学生分布的饼状图（如图1）和前200名学生中高一学生排名分布的频率条形图（如图2），则下列说法错误的是（）

A、成绩在前200名的学生中，高一人数比高二人数多30 B、成绩在第1~50名的学生中，高三最多有32人 C、高一学生成绩在第101~150名的人数一定比高三学生成绩在第1~50名的人数多 D、成绩在第51~100名的学生中，高二人数比高一人数多

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6、已知 $\sin (α + \frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{2}}{3}$ ，则 $\sin (2 α + \frac{π}{6}) =$ （）

A、 $\frac{5}{9}$ B、 $\frac{4}{9}$ C、 $- \frac{4}{9}$ D、 $- \frac{5}{9}$

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7、设 $m$ ， $n$ 是两条不同的直线， $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，则下列命题正确的为（）

A、若 $n ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ，则 $α ⊥ β$ B、若 $m / / n$ ， $m / / β$ ，则 $n / / β$ C、若 $m / / α$ ， $m / / β$ ，则 $α / / β$ D、若 $m / / n$ ， $n ⊥ β$ ，则 $m ⊥ β$

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8、要得到函数 $y = 4 \cos (2 x - \frac{π}{4})$ 的图象，只需将 $y = 4 \sin x$ 的图象上所有的点（）

A、横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ （纵坐标不变），再向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度 B、横坐标变为原来的 $2$ 倍（纵坐标不变），再向左平移 $\frac{π}{4}$ 单位长度 C、横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ （纵坐标不变），再向左平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度 D、横坐标变为原来的 $2$ 倍（纵坐标不变），再向左平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度

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9、已知 $A (2, 3)$ ， $B (5, 1)$ ， $C (m, 2)$ ，且 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点共线，则 $m =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{7}{2}$

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10、已知数列 $\{a_{n}\}$ ，记集合 $T = \{S (i, j) ∣ S (i, j) = a_{i} + a_{i + 1} + \dots + a_{j}, 1 \leq i < j \leq n, i, j \in N^{*}\}$ .

(1)、对于数列 $\{a_{n}\} : 2, 4, 6$ ，写出集合 $T$ ；

(2)、若 $a_{n} = 2 n$ ，是否存在 $i, j \in N^{*}$ ，使得 $S (i, j) = 2048$ ?若存在，求出一组符合条件的 $i, j$ ，若不存在，说明理由；

(3)、若 $a_{n} = 2 n - 2$ ，把集合 $T$ 中的元素从小到大排列，得到的新数列为 $\{b_{n}\} : b_{1}, b_{2}, \dots, b_{m}, \dots$ ，若 $b_{m} \leq 2024$ ，求 $m$ 的最大值.

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11、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，长轴长为 $4$ ，焦距长为 $2$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、已知点 $A (0, 3)$ ，点 $G$ 为椭圆 $C$ 上一点，求 $△ A G F_{2}$ 周长的最大值；

(3)、直线 $l : y = k x + m (m > 0)$ 与椭圆 $C$ 交于 $P, Q$ 两点，且 $P, Q$ 关于原点的对称点分别为 $M, N$ ，若 $| O P |^{2} + | O Q |^{2}$ 是一个与 $m$ 无关的常数，则当四边形 $P Q M N$ 面积最大时，求直线 $l$ 的方程.

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12、已知四棱锥 $P - A B C D, E 、 F$ 分别为 $A C, P B$ 的中点， $P A ⊥$ 平面 $A B C D, B C ⊥ P C$ .

(1)、若 $D E ⊥ A C$ ，证明： $D E / /$ 平面 $P B C$ ；

(2)、若 $A C = B C = 2$ ，二面角 $A - F C - B$ 的大小为 $120^{\circ}$ ，求 $P A$ .

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13、已知函数 $f (x) = t x^{2} + x - 3 t + 1, (t \in R)$ .

(1)、若 $f (x)$ 在 $(- \infty, 2)$ 上单调递增，求 $t$ 的取值范围；

(2)、若 $t > 0$ ，设函数 $f (x)$ 在区间 $[- 2, - 1]$ 上的最大值为 $g (t)$ ，求 $g (t)$ 的表达式，并求出 $g (t)$ 的最小值.

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14、已知函数 $f (x) = ln x - 2 x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最大值；

(2)、若不等式 $f (x) \leq (a - 2) x + 2$ 在 $(0, + \infty)$ 上恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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15、设数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1, a_{2} = \sqrt{e}, a_{n}^{2} \sqrt{a_{n - 2}} = a_{n - 1}^{2} (n \geq 3, n \in N^{*})$ ，则 $ln a_{2025} - \frac{1}{2} ln a_{2024}$ 的值为.

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16、已知 $3^{a} = 1 + 3^{b} (a \geq 1)$ ，则 $a - b$ 的最大值为.

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17、已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，体积为 $7 π$ ，则该圆台的母线长为.

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18、曲线 $C$ 的方程为： ${(x^{2} + y^{2})}^{3} = 4 x^{2} y^{2}$ ，该曲线是由四条封闭曲线组成，点 $P$ 为曲线上的一点，下列说法正确的是（）

A、直线 $y = x$ 及直线 $y = - x$ 都是曲线 $C$ 的对称轴 B、点 $A (1, 1)$ 在封闭曲线内部 C、点 $P$ 到原点的距离的最大值为1 D、点 $P$ 的纵坐标的最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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19、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $y = f (x - 1)$ 的图像关于直线 $x = 1$ 对称，且对任意的 $x \in R$ 都有 $f (- x) + f (x + 2) = 2, f (0) = - 1$ ，则下列正确的是（）

A、 $f (x)$ 为偶函数 B、 $f (- 1) = - 1$ C、2是 $f (x)$ 的一个周期 D、 $\sum_{k = 1}^{2025} f (k) = 2025$

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20、已知 $a, b, c \in R$ ，且 $a > b, a b c \neq 0$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $\frac{c}{a} < \frac{c}{b}$ B、 $a c^{2} > b c^{2}$ C、 $c - a < c - b$ D、 $2^{a} > 2^{b}$

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