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相关试卷

1、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是公差不为0的等差数列，数列 $\{a_{k_{n}}\}$ 为等比数列，数列 $\{k_{n}\}$ 的前三项分别为 $1, 2, 6$ ，则数列 $\{a_{k_{n}}\}$ 的公比是.

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2、在空间直角坐标系中，已知三点 $A (3, 2, - 1), B (2, 1, 2), C (3, 1, - 1)$ ，则点 $C$ 到直线 $A B$ 的距离为.

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3、与圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y + 3 = 0$ 有相同圆心，且过点 $(4, - 2)$ 的圆的标准方程是.

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4、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} = 2, a_{n + 1} = 2 - \frac{1}{a_{n}}$ ，则（）

A、 $\{a_{n}\}$ 是递减数列 B、 $\{\frac{1}{a_{n} - 1}\}$ 是等比数列 C、 $a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + \dots + 10 a_{10} = 105$ D、当 $n \geq 2$ 时， $a_{1} a_{2} \dots a_{n - 1} (a_{n} - 1) = 1$

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5、已知抛物线 $y^{2} = 8 x$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 的直线 $l$ 交抛物线于 $M, N$ 两点，则下列结论正确的是（）

A、抛物线的焦点坐标是 $(- 2, 0)$ B、焦点到准线的距离是4 C、若点 $P$ 的坐标为 $(4, 3)$ ，则 $|M P| + |M F|$ 的最小值为6 D、若 $Q$ 为线段 $M N$ 的中点，则 $Q$ 的坐标可以是 $(6, 4)$

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6、已知圆 $Q_{1} : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ 和圆 $Q_{2} : {(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 5$ 的交点为 $A, B$ ，则（）

A、公共弦 $A B$ 所在直线的方程为 $x - y = 0$ B、线段 $A B$ 的中垂线方程为 $x + y - 1 = 0$ C、公共弦 $A B$ 的长为 $\sqrt{2}$ D、 $P$ 为圆 $Q_{1}$ 上一动点，则 $P$ 到直线 $A B$ 距离的最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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7、下列命题中，正确的是（）

A、两条不重合直线 $l_{1}, l_{2}$ 的方向向量分别是 $\vec{a} = (2, 0, - 1), \vec{b} = (- 4, 0, 2)$ ，则 $l_{1}$ $∥$ $l_{2}$ B、直线 $l$ 的方向向量 $\vec{c} = (1, - 1, 2)$ ，平面 $α$ 的法向量 $\vec{m} = (6, 4, - 1)$ ，则 $l ⊥ α$ C、两个不同的平面 $α, β$ 的法向量分别是 $\vec{u} = (2, 2, - 1), \vec{v} = (- 3, 4, 2)$ ，则 $α ⊥ β$ D、直线 $l$ 的方向向量 $\vec{d} = (0, 1, 1)$ ，平面 $α$ 的法向量 $\vec{n} = (1, 0, 1)$ ，则直线 $l$ 与平面 $α$ 所成角的大小为 $\frac{π}{6}$

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8、设 $F_{1}, F_{2}$ 分别是椭圆的左､右焦点，点 $P$ 是以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长 $P F_{2}$ 与椭圆交于点 $Q$ ，若 $|P F_{1}| = 6 |Q F_{2}|$ ，则直线 $P F_{2}$ 的斜率为（）

A、4 B、 $- 4$ C、 $- 2$ D、 $- 1$

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9、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的第二项为1，则“ $a_{2020} < a_{2023}$ ”是“ $a_{2022} < a_{2024}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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10、已知数列 $\{a_{n}\}, \{b_{n}\}$ 均为等差数列，且 $a_{1} = 1, b_{1} = 5, a_{2} + b_{2} = 8$ ，设数列 $\{a_{n} + b_{n}\}$ 的前 $n$ 项的和为 $S_{n}$ ，则 $S_{30} =$ （）

A、1335 B、900 C、1020 D、1050

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11、如图1，在四面体 $O A B C$ 中，点 $M, N$ 分别为线段 $O A, B C$ 的中点，若 $\vec{M N} = x \vec{O A} + y \vec{O B} + z \vec{O C}$ ，则 $x + y - z$ 的值为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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12、若直线 $m x + y - 4 m - 1 = 0$ 的斜率小于0，那么该直线不经过（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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13、若数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = 2^{n} + 1$ ，则 $\frac{a_{5} + a_{6}}{a_{2}} =$ （）

A、7 B、8 C、12 D、24

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14、准线方程为 $y = 1$ 的抛物线的标准方程是（）

A、 $x^{2} = - 4 y$ B、 $y^{2} = 8 x$ C、 $y^{2} = - 4 x$ D、 $x^{2} = - 8 y$

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15、双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的渐近线方程是（）

A、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ B、 $y = \pm \sqrt{3} x$ C、 $y = \pm 3 x$ D、 $y = \pm \frac{1}{3} x$

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16、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过点 $H (1, - \frac{3}{2})$ ，离心率 $e = \frac{1}{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、设过点 $P (4, 3)$ 且倾斜角为 $135^{\circ}$ 的直线 $l$ 与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于点 $M, N$ ，点 $R$ 为椭圆 $C$ 上任意一点，求 $△ R M N$ 面积的最小值.

(3)、如图，过点 $P (4, 3)$ 作两条直线 $A B, C D$ 分别与椭圆 $C$ 相交于点 $A, B, C, D$ ，设直线 $A D$ 和 $B C$ 相交于点 $Q$ .证明点 $Q$ 在定直线上.

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17、已知函数 $f (x) = x e^{x}$ .

(1)、若关于 $x$ 的方程 $f (x) = k$ 有且只有一个实数根，求实数 $k$ 的取值范围；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) + f (1 - x) \geq a$ 对 $\forall x \in [\frac{1}{2}, 2]$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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18、已知函数 $f (x) = x + 1, g (x) = x^{2} - 1$ .

(1)、若 $a \in R$ ，求不等式 $a f (x) + g (x) < 0$ 的解集；

(2)、若 $b \in R$ ，对 $\forall x_{1} \in [1, 2], \exists x_{2} \in [4, 5]$ ，使得 $b f (x_{1}) + f (x_{2}) = g (x_{1}) + b + 8$ 成立，求 $b$ 的取值范围.

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19、设数列 $\{a_{n}\}$ 是各项均为正实数的等比数列，且 $a_{3} - a_{2} = 4, a_{1} = 2$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = a_{n} + {log}_{2} a_{n}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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20、如图，为我国数学家赵爽验证勾股定理的示意图，用五种颜色（其中一种为黄色）对图中四个区域 $A, B, C, E$ 进行染色，每个区域只能用一种染色.若必须使用黄色，则四个区域中有且只有一组相邻区域同色的染色方法有种；若不使用黄色，则四个区域中所有相邻区域都不同色的染色方法有种.

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