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相关试卷

1、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $a \cos C + \sqrt{3} a \sin C - b - c = 0$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{2}$ ， $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长

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2、在五一假期中，某校组织全校学生开展了社会实践活动，抽样调查了其中的100名学生，统计他们参加社会实践活动的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图.另外，根据参加社会实践活动的时间从长到短按 $4 : 4 : 2$ 的比例分别被评为优秀、良好、合格.

(1)、求 $a$ 的值并估计该学校学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）；

(2)、试估计至少参加多少小时的社会实践活动，方可被评为优秀.（结果保留两位小数）.

(3)、根据社会实践活动的成绩，按分层抽样的方式抽取5名学生.从这5名学生中，任选3人，求这3名学生成绩各不相同的概率.

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3、如图，所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，在这两个平行平面内的面叫做拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高，现有一拟柱体，上下底面均为正六边形，下底面边长为 $2 \sqrt{3}$ 且上底面各顶点在下底面的射影点为下底面各边的中点，高为 $\frac{3}{2}$ ，则该拟柱体的表面积为.

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4、一只不透明的袋子中装有形状、大小都相同的5个小球，其中2个黄球、2个白球、1个红球．先后从中无放回地取两次小球，每次随机取出2个小球，记下颜色计算得分，得分规则如下：“2个小球颜色相同”加1分，“2个小球颜色一黄一白”得0分，“2个小球中有红球”减1分，则“两次得分和为0分”的概率为．

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5、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $b = 5$ ， $c = 7$ ， $C = \frac{π}{3}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为．

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6、如图，在棱长为4的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ ， $F$ 分别为棱 $A_{1} D_{1}$ ， $A_{1} B_{1}$ 的中点，点 $P$ 是棱 $A A_{1}$ 上的一点，则下列说法正确的是（　　）

A、存在点 $P$ ，使得 $P C ⊥$ 平面 $A E F$ B、二面角 $A - E F - C$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{17}}{17}$ C、三棱锥 $A_{1} - A E F$ 的内切球的体积为 $\frac{π}{6}$ D、 $△ P B E$ 的周长的最小值为 $6 + 2 \sqrt{13}$

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7、已知事件 $A, B$ ，且 $P (A) = 0.7$ ， $P (B) = 0.2$ ，则下列说法正确的是（　　）

A、若 $B \subseteq A$ ，则 $P (A B) = 0.7$ B、若 $A$ 与 $B$ 互斥，则 $P (A \cup B) = 0.9$ C、若 $A$ 与 $B$ 相互独立，则 $P (\bar{A} B) = 0.06$ D、若 $A$ 与 $B$ 相互独立，则 $P (A \cup B) = 0.9$

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8、在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若 $b^{2} - 2 c \sin B + c^{2} = a^{2}$ ，且 $a = 2$ ，则 $\frac{\tan A}{\tan B \tan C}$ 的最大值为（）

A、 $\sqrt{5} - 2$ B、 $3 - \sqrt{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{4}$

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9、如图正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（）

A、 $9 \sqrt{2}$ B、 $\frac{28}{3} \sqrt{2}$ C、 $28 \sqrt{3}$ D、 $\frac{28}{3} \sqrt{3}$

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10、某高中为增强学生的海洋国防意识，组织本校1000名学生参加了“逐梦深蓝，山河荣耀”的国防知识竞赛，从中随机抽取200名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（）
①频率分布直方图中a的值为0.005
②估计这200名学生竞赛成绩的第60百分位数为80
③估计这200名学生竞赛成绩的众数为78
④估计总体中成绩落在 $[60, 70)$ 内的学生人数为150

A、①②③ B、①②④ C、①③④ D、②④

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11、已知复数 $z$ 满足 $(1 - i) z = 2 + i$ ，则复数 $z$ 的虚部为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $\frac{3}{2} i$ D、 $- \frac{3}{2} i$

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12、如图，点 $O$ 是 $△ A B C$ 的重心，点 $D$ 是边 $B C$ 上一点，且 $\vec{B C} = 4 \vec{D C}$ ， $\vec{O D} = m \vec{A B} + n \vec{A C}$ ，则 $\frac{m}{n} =$ （）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $- \frac{1}{4}$ C、 $- \frac{1}{5}$ D、 $\frac{1}{4}$

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13、函数 $f (x) = (1 - \frac{2}{e^{x} + 1}) cos (2 π - x)$ 的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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14、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $D (- \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，且离心率为 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、已知圆 $O : x^{2} + y^{2} = 1$ .过点 $A (m, 0) (m > 1)$ 作直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ ，且两直线的斜率之积等于 $1, l_{1}$ 与圆 $O$ 相切于点 $P, l_{2}$ 与椭圆相交于不同的两点 $M, N$ .
①求 $m$ 的取值范围；
②求 $△ O M N$ 面积的最大值.

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15、已知递增的等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{3} = 4$ ，且 $a_{2}, a_{3}, a_{4} - 2$ 成等差数列.

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \{\begin{array}{l} a_{n} - 1 (n 为奇数), \\ \frac{1}{2} a_{n} (n 为偶数), \end{array}$ 求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $2 n$ 项和.

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16、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为直角梯形， $P D = C D = A D = 2 A B = 2, A B / /$ $C D, A D ⊥ C D$ .

(1)、在棱 $P D$ 上是否存在点 $E$ ，使得 $A E / /$ 平面 $P B C$ ？若存在，请指出点 $E$ 的位置，并证明；若不存在，请说明理由；

(2)、求平面 $P B C$ 与平面 $P A B$ 的夹角的大小.

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17、已知过点 $M (2, 2)$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C : x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 交于 $A, B$ 两点，且当 $l$ 的斜率为1时， $M$ 恰为 $A B$ 的中点.

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、当 $l$ 经过抛物线 $C$ 的焦点时，求 $△ O A B$ （ $O$ 为原点）的面积.

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18、已知 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，且 $a_{1} = 1, n S_{n + 1} - (n + 1) S_{n} = n (n + 1), n \in N^{*}$ .

(1)、证明：数列 $\{\frac{S_{n}}{n}\}$ 为等差数列，并求 $\{S_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{2}{a_{n} \cdot a_{n + 1}}$ ，设数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{n}$ .

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19、已知直线 $l : 3 x - 4 y + 5 = 0$ 与圆 $C : {(x - 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 5 - a$ 相切.

(1)、求实数 $a$ 的值及圆 $C$ 的半径；

(2)、已知直线 $m : k x - y + 2 = 0$ 与圆 $C$ 相交于 $A, B$ 两点，若 $△ A B C$ 的面积为2，求直线 $m$ 的方程.

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20、过双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左焦点 $F$ 作 $C$ 的一条渐近线的垂线，垂足为 $P$ ，这条垂线与另一条渐近线在第一象限内交于点 $A, O$ 为坐标原点，若 $|O P| + |O A| = 2 |P A|$ ，则 $C$ 的离心率为.

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